複素数の定義
まず，複素数の定義について述べる．実数から複素数を構成する詳しい方法(集合論的構成)や，代数的性質については別記事で述べている．
素朴な定義
$x$についての$2$次方程式
\[ x^2+1=0\]
は実数解を持たない．ここで，この方程式を満たす実数でない解の1つとして，虚数単位(imaginary unit)$i$を定めることにする．すなわち
\[ i^2=-1\]
が成り立つ．
この虚数単位$i$を用いて，実数を拡張してみよう．
$a,b\in \mathbb{R}$を用いて，$a+bi$で表される数は実数でない．そこで，集合$\mathbb{C}$を
\[ \mathbb{C}\coloneqq \{ a+bi\mid a,b\in \mathbb{R}\} \]
により定め，$\mathbb{C}$上の演算を次のように定義しよう．
$\alpha =a+bi,\beta =c+di\in \mathbb{C}$に対して，$\alpha$と$\beta$の和(sum)を
\[ \alpha +\beta \coloneqq (a+c)+(b+d)i\]
により定め，$\alpha$と$\beta$の積(product)を
\[ \alpha \beta \coloneqq (ac-bd)+(ad+bc)i\]
により定めると，$\mathbb{C}$は体であり，複素数(complex number)と定義することができる．
この定義では，2乗すると$-1$になる数を実数に加えることによって，複素数を定義している．
$\mathbb{R}^2$による定義
$\mathbb{R}$と$\mathbb{R}$の直積$\mathbb{R}^2$上の演算を次のように定義しよう．
$\alpha =(a,b),\beta =(c,d)\in \mathbb{R}^2$に対して，$\alpha$と$\beta$の和(sum)を
\[ \alpha +\beta \coloneqq (a+c,b+d)\]
により定め，$\alpha$と$\beta$の積(product)を
\[ \alpha \beta \coloneqq (ac-bd,ad+bc)\]
により定めると，$\mathbb{R}^2$は体となる．
ここで，$a,b\in \mathbb{R}$に対して
\[ a\coloneqq (a,0),\quad i\coloneqq (0,1)\]
とおくと
\[ (a,b)=(a,0)+(b,0)(0,1)=a+bi\]
と表すことができる．このとき$i$を虚数単位(imaginary unit)といい，集合
\[ \mathbb{C}\coloneqq \{ a+bi\mid a,b\in \mathbb{R}\} \]
を複素数(complex number)と定義することができる．
この定義では，$2$次元平面$\mathbb{R}^2$から1つの数への対応を考えることによって，複素数を定義している．
行列による定義
$M$を実数成分の$2$次正方行列全体の集合，すなわち
\[ M\coloneqq \left\{ \begin{pmatrix}a&b\\ -b&a\end{pmatrix}\ \middle| \ a,b\in \mathbb{R}\right\} \]
とする．このとき，$M$上の演算を次のように定義しよう．
$\alpha =\begin{pmatrix}a&b\\ -b&a\end{pmatrix},\beta =\begin{pmatrix}c&d\\ -d&c\end{pmatrix}\in M$に対して，$\alpha$と$\beta$の和(sum)を
\[ \alpha +\beta \coloneqq \begin{pmatrix}a+c&b+d\\ -b-d&a+c\end{pmatrix}\]
により定め，$\alpha$と$\beta$の積(product)を
\[ \alpha \beta \coloneqq \begin{pmatrix}ac-bd&ad+bc\\ -ad-bc&ac-bd\end{pmatrix}\]
により定めると，$M$は体となる．
ここで，$a,b\in \mathbb{R}$に対して
\[ a\coloneqq \begin{pmatrix}a&0\\ 0&a\end{pmatrix},\quad i\coloneqq \begin{pmatrix}0&1\\ -1&0\end{pmatrix}\]
とおくと
\[ \begin{pmatrix}a&b\\ -b&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&0\\ 0&a\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b&0\\ 0&-b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\ -1&0\end{pmatrix}=a+bi\]
と表すことができる．このとき$i$を虚数単位(imaginary unit)といい，集合
\[ \mathbb{C}\coloneqq \{ a+bi\mid a,b\in \mathbb{R}\} \]
を複素数(complex number)と定義することができる．
この定義では，$2$次元平面$\mathbb{R}^2$上の回転から1つの数への対応を考えることによって，複素数を定義している．
どの定義も，複素数を2つの実数の組を用いて定義していることに変わりはない．この2つの実数はそれぞれ実部，虚部と呼ばれている．
$z=a+bi\in \mathbb{C}$とする．
- $a$を$z$の実部(real part)といい，$\operatorname{Re}z$(または$\Re z$)で表す．
- $b$を$z$の虚部(imaginary part)といい．$\operatorname{Im}z$(または$\Im z$)で表す．
- $b\neq 0$であるとき，$z$を虚数(imaginary number)という．
- $a=0$かつ$b\neq 0$であるとき，$z$を純虚数(pure imaginary number)という．
複素数$\mathbb{C}$には四則演算が定義できるが，実数$\mathbb{R}$のような大小関係は定義されないことに注意が必要である．
共役複素数
複素数に対して，その虚部の符号を変えた複素数を考えてみる．
$a+bi\in \mathbb{C}$とする．
$a-bi\in \mathbb{C}$を$a+bi$の共役複素数(または複素共役，共役)(complex conjugate)といい，$\overline{a+bi}$で表す．
共役複素数には，次のような性質がある．
$z,w\in \mathbb{C}$とする．
- $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
- $\overline{zw}=\overline{z}\overline{w}$
$z=a+bi,w=c+di\in \mathbb{C}$とおく．
- \[ \begin{aligned}\overline{z+w}&=\overline{(a+c)+(b+d)i}\\ &=(a+c)-(b+d)i\\ &=(a-bi)+(c-di)\\ &=\overline{z}+\overline{w}\quad \blacksquare \end{aligned}\]
- \[ \begin{aligned}\overline{zw}&=\overline{(ac-bd)+(ad+bc)i}\\ &=(ac-bd)-(ad+bc)i\\ &=(a-bi)(c-di)\\ &=\overline{z}\overline{w}\quad \blacksquare \end{aligned}\]
$z\in \mathbb{C}$とする．
- $z\in \mathbb{R}$であるための必要十分条件は，$z=\overline{z}$が成り立つことである．
- $z$が純虚数であるための必要十分条件は，$z=-\overline{z}$かつ$z\neq 0$が成り立つことである．
- まず，必要性を示す．$z\in \mathbb{R}$ならば
\[ \overline{z}=\overline{z+0i}=z-0i=z\]
である．
次に，十分性を示す．ある$a,b\in \mathbb{R}$が存在して，$z=a+bi$となるから
\[ a+bi=\overline{a+bi}=a-bi\]
よって，$2bi=0$であるから，$b=0$すなわち$z\in \mathbb{R}$である．$\blacksquare$ - まず，必要性を示す．$z$が純虚数ならば，ある$b\in \mathbb{R}$が存在して，$z=bi$となるから
\[ \overline{z}=\overline{bi}=-bi=-z\]
である．
次に，十分性を示す．ある$a,b\in \mathbb{R}$が存在して，$z=a+bi$となるから
\[ a+bi=-\overline{a+bi}=-a+bi\]
よって，$2a=0$であるから，$a=0$
$z\neq 0$のとき，$z$は純虚数である．$\blacksquare$
共役複素数を用いると，複素数の実部と虚部の表示を与えることができる．
$z\in \mathbb{C}$とする．
- $\operatorname{Re}z=\dfrac{1}{2}(z+\overline{z})$
- $\operatorname{Im}z=\dfrac{1}{2i}(z-\overline{z})$
$z=a+bi\in \mathbb{C}$とおく，
- \[ \frac{1}{2}(z+\overline{z})=\frac{1}{2}(a+bi+a-bi)=a=\operatorname{Re}z\quad \blacksquare \]
- \[ \frac{1}{2i}(z-\overline{z})=\frac{1}{2i}(a+bi-a+bi)=b=\operatorname{Im}z\quad \blacksquare \]
複素数の絶対値
複素数の絶対値は，次のように定義する．
$z=a+bi\in \mathbb{C}$とする．
$\sqrt{a^2+b^2}$を$z$の絶対値(absolute value)といい，$|z|$で表す．
定義3は，実数の絶対値と整合している．
実際，$a\in \mathbb{R}$に対して
\[ |a|=\sqrt{a^2}=\begin{cases}a&(a\ge 0)\\ -a&(a<0)\end{cases}\]
が成り立つ．
絶対値には，次のような性質がある．
$z\in \mathbb{C}$とする．
\[ |z|^2=z\overline{z}\]
$z=a+bi\in \mathbb{C}$とおく，
\[ \begin{aligned}z\overline{z}&=(a+bi)\overline{a+bi}=(a+bi)(a-bi)\\ &=a^2-(bi)^2=a^2+b^2\quad \blacksquare \end{aligned}\]
$z,w\in \mathbb{C}$とする．
- $|z|\ge 0$
等号成立条件は$z=0$ - $|z+w|\le |z|+|w|$
- $|zw|=|z||w|$
- $|\overline{z}|=|z|$
$z=a+bi,w=c+di\in \mathbb{C}$とおく．
- 明らかに
\[ |z|=\sqrt{a^2+b^2}\ge 0\]
であり，等号成立条件は$a=b=0$，すなわち$z=0$である．$\blacksquare$ - コーシー･シュワルツの不等式1より
\[ \begin{aligned}|z+w|^2&=|(a+c)+(b+d)i|^2\\ &=(a+c)^2+(b+d)^2\\ &=a^2+b^2+2(ac+bd)+c^2+d^2\\ &=|z|^2+2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}+|w|^2\\ &=|z|^2+2|z||w|+|w|^2\\ &=(|z|+|w|)^2\end{aligned}\]
であるから，①より
\[ |z+w|\le |z|+|w|\quad \blacksquare \] - ブラーマグプタ･フィボナッチ恒等式2より
\[ \begin{aligned}|zw|^2&=|(a+bi)(c+di)|^2\\ &=|(ac-bd)+(ad+bc)i|^2\\ &=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\\ &=a^2c^2-2abcd+b^2d^2+a^2d^2+2abcd+b^2c^2\\ &=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\\ &=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=|z|^2|w|^2=(|z||w|)^2\end{aligned}\]
であるから，①より
\[ |zw|=|z||w|\quad \blacksquare \] - \[ \begin{aligned}|\overline{z}|&=|\overline{a+bi}|=|a-bi|\\ &=a^2+(-b)^2=a^2+b^2=|z|^2\quad \blacksquare \end{aligned}\]
ここまで，複素数の定義と重要概念について述べてきた．これらを直感的に理解することができる幾何的イメージについては，次の記事で詳しく解説している．合わせて参照するとよい．
- コーシー･シュワルツの不等式(Cauchy–Schwarz inequality)とは，任意の$a,b,c,d\in \mathbb{R}$に対して成り立つ不等式
\[ (ac+bd)^2\le (a^2+b^2)(c^2+d^2)\]
のことをいう．
証明はいくつか知られているが，ここでは2つ紹介しておく．
① (右辺)$-$(左辺)を計算
\[ \begin{aligned}&(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2\\ =&a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2-a^2c^2-2abcd-b^2d^2\\ =&a^2d^2-2abcd+b^2c^2=(ad-bc)^2\ge 0\end{aligned}\]
② ベクトル的視点
2つのベクトル$\bm{x}=(a,b),\bm{y}=(c,d)$について考える．
$\bm{x}$と$\bm{y}$のなす角を$\theta$とすると
\[ \begin{aligned}(ac+bd)^2&=(\bm{x}\cdot \bm{y})^2=\| \bm{x}\| ^2\| \bm{y}\| ^2\cos ^2\theta \\ &\le \| \bm{x}\| ^2\| \bm{y}\| ^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\end{aligned}\] ↩︎ - ブラーマグプタ･フィボナッチ恒等式(Brahmagupta–Fibonacci identity)とは，任意の$a,b,c,d\in \mathbb{R}$に対して成り立つ恒等式
\[ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\]
のことをいう．
コーシー・シュワルツの不等式の証明①と同様の計算をすることで得られる．
\[ \begin{aligned}&(a^2+b^2)(c^2+d^2)\\ =&a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\\ =&a^2c^2-2abcd+b^2d^2+a^2d^2+2abcd+b^2c^2\\ =&(ac-bd)^2+(ad-bc)^2\end{aligned}\] ↩︎