線形代数学

指数関数指数関数について簡単に復習しておく．$a\in \mathbb{R}$と$n\in \mathbb{N}$に対して，$a^n$は次のように定義される．\より厳密には，次のように帰納的に定義される．\このとき，次の指数法則が成り立って...

線形代数学では行列と呼ばれる数学的対象を取り扱う．行列を考えることで，$n$次元ユークリッド空間の線形変換を機械的な計算で扱うことができるようになる．行列の導入高校数学では，ベクトルの成分表示を扱った．これは，$2$次元平面上のベクトルを2...

ベクトル空間を特徴づける概念として，基底と次元を定義する．ベクトル空間の生成いくつかのベクトルが与えられたとき，それらの1次関係で表されるベクトル全体の集合はベクトル空間になる．補題1$n\in \mathbb{N}$，$K$を体，$V$を...

ベクトル空間には様々な基底の取り方がある．任意のベクトルは基底の1次結合の形で表現できるが，基底を変えるとどのようになるのだろうか．ベクトル空間の基底と成分ベクトル空間の基底は，ベクトル空間に座標を設定することと等価である．座標を定めるには...

ベクトル空間とその部分空間が与えられたとき，部分空間を｢潰す｣ことにより，それまで異なるものとして扱っていたベクトルを，新たな尺度で同一視することができるようになる．これにより得られる集合はベクトル空間になる．商ベクトル空間の定義商ベクトル...

複数のベクトル空間が与えられたとき，それらの関係性を記述することは非常に重要である．この記事では，そのために必要な線形写像の概念についてまとめた．線形写像線形写像を定義するにあたって，写像に関する知識が必要となる．詳しくは，次の記事を参照す...

ベクトル空間の基底の取り方に行列を対応付けることができたように，線形写像にも行列を対応付けることができる．表現行列の定義表現行列を定義する準備として，線形写像に行列を対応付けできることを示す．補題1$K$を体，$V,W$を$K$上の有限次元...

ベクトル空間の和定義1$n\in \mathbb{N}$，$V$を$\mathbb{C}$上のベクトル空間，$W_1,W_2,\dots ,W_n$を$V$の部分空間とする．\を$W_1,W_2,\dots ,W_n$の和(sum)(または...

当サイトでは，ジョルダン標準形を複数の記事で解説しています．初学者の方には，以下の順番で記事を読んでいただくことを強く推奨しています．まずは，具体的な計算を通して，ジョルダン標準形の概念とその求め方を掴みます．2次正方行列については，以下の...