指数関数
指数関数について簡単に復習しておく．
$a\in \mathbb{R}$と$n\in \mathbb{N}$に対して，$a^n$は次のように定義される．
\[ a^n=\underbrace{a\cdot a\dots a}_{n}\]
より厳密には，次のように帰納的に定義される．
\[ a^1=a,\quad a^{n+1}=a\cdot a^n\quad (n\in \mathbb{N})\]
このとき，次の指数法則が成り立っていた($m\in \mathbb{N}$)．
\[ a^ma^n=a^{m+n}\]
そこで，指数法則を満たすように，$n$が整数の場合でも$a^n$を定義することができた．
\[ a^0=1\quad (a\neq 0)\\ a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad (n\in \mathbb{N})\]
ところで，指数法則には次のようなものもあった．
\[ (a^m)^n=a^{mn}\]
これを満たすように，$n$が有理数の場合でも$a^n$を定義することができた．
\[ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}\quad (p\in \mathbb{Z},q\in \mathbb{N})\]
ただし，この定義において，根号の中身の正負について考えることは避けられない．複素数を用いたり場合分けしたりといった対処も考えられるが，そのような議論を避けるため，以下では底$a$を正の実数に制限しておこう．
次に，$x\in \mathbb{R}$に対して，$a^x$を定義することを考える．$x$が有理数の場合については既に定義されているため，$x$が無理数である場合について考えればよい．
実は，任意の無理数$x$に対して，ある有理数列$\{ p_n\} _{n=1}^{\infty}$が存在して
\[ \lim _{n\to \infty}p_n=x\]
となることが知られている．そこで，$a^x$を次のように定義する1．
\[ a^x=\lim _{n\to \infty}a^{p_n}\]
このとき，$a^x$が指数法則を満たしていることが確かめられる．
以上の議論により，$a>0$と$x\in \mathbb{R}$に対して，$a^x$を定義することができた．これを$x\in \mathbb{R}$に$a^x\in \mathbb{R}$を対応させる関数とみなすことができ，これを指数関数という．
ここで，特に重要な指数関数について復習しておく．
まず，ネイピア数(または自然対数の底)$e$は次のように定義される定数であった2．
\[ e=\lim _{n\to \infty}\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^n\]
そして，$e$を底とする指数関数$e^x$は，その導関数も$e^x$であるという性質を持っていた．
\[ \frac{d}{dx}e^x=e^x\]
そして，$e^x$はマクローリン展開可能であり，次の表示を得る．
\[ e^x=\sum _{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\]
この$x$に複素数を代入したとき，右辺は収束することが知られている．そこで，$z\in \mathbb{C}$に対して，$e^z$を次のように定義する．
\[ e^z=\sum _{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\]
したがって，複素数の範囲で指数関数を定義することができた．
行列指数関数の定義
$e^x$のマクローリン展開に正方行列$A$を代入することで，行列指数関数$e^A$を定義したい．そのためには，行列に関する級数の収束性を述べる必要がある．
$\mathbb{N}_0\coloneqq \mathbb{N}\cup \{ 0\}$とする．
$n\in \mathbb{N}$，$\{ A_k\} _{k\in \mathbb{N}_0}$を$n$次正方行列とする．また，$k\in \mathbb{N}_0$と$i,j\in \{ 1,2,\dots ,n\}$に対して，$a^{(k)}_{ij}$を$A_k$の$(i,j)$成分とする．
- 任意の$i,j\in \{ 1,2,\dots ,n\}$に対して，$\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty}a^{(k)}_{ij}$が収束するとき，$\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty}A_k$は収束する(converge)といい，$\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty}a^{(k)}_{ij}$の極限値を$(i,j)$成分とする行列を$\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty}A_k$の極限値(limit)という．
- $\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty}A_k$が収束しないとき，$\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty}A_k$は発散する(diverge)という．
行列指数関数の定義を与えるために，次の2つの補題を準備しておく．
$n\in \mathbb{N}$，$A$を$n$次正方行列，$k\in \mathbb{N}_0$と$i,j\in \{ 1,2,\dots ,n\}$に対して，$a^{(k)}_{ij}$を$A^k$の$(i,j)$成分とする．また，$\displaystyle M=\max _{i,j\in \{ 1,2,\dots ,n\} }|a^{(1)}_{ij}|$とする．
任意の$k\in \mathbb{N}$に対して，$|a^{(k)}_{ij}|\le n^{k-1}M^k$が成り立つ．
$k$に関する数学的帰納法で示す．
$k=1$のとき
\[ |a^{(1)}_{ij}|\le M=n^{1-1}M^1\]
であるから，明らかに与式が成り立つ．
$k=l$のとき，与式が成り立つと仮定すると
\[ \begin{aligned}|a^{(l+1)}_{ij}|&=\left| \sum _{m=1}^na^{(1)}_{im}a^{(l)}_{mj}\right| \le \sum _{m=1}^n|a^{(1)}_{im}||a^{(l)}_{mj}|\\ &\le \sum _{m=1}^nM\cdot n^{l-1}M^l=n^lM^{l+1}\end{aligned}\]
であるから，$k=l+1$のときも与式が成り立つ．
以上より，任意の$k\in \mathbb{N}$に対して，与式が成り立つ．$\blacksquare$
$n\in \mathbb{N}$，$A$を$n$次正方行列とする．
$\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}A^k$は収束する．
$k\in \mathbb{N}_0$と$i,j\in \{ 1,2,\dots ,n\}$に対して，$a^{(k)}_{ij}$を$A^k$の$(i,j)$成分とする．また，$\displaystyle M=\max _{i,j\in \{ 1,2,\dots ,n\} }|a^{(1)}_{ij}|$とする．
\[ \sum _{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}n^{k-1}M^k=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}(nM)^k=\frac{1}{n}e^{nM}-1\]
であるから，補題1より
\[ \sum _{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}|a^{(k)}_{ij}|\]
は収束する．よって
\[ \sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}a^{(k)}_{ij}\]
は絶対収束，特に収束する．したがって
\[ \sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}A^k\]
は収束する．$\blacksquare$
補題2により，行列指数関数を次のように定義することができる．
$A$を正方行列とする．
\[ \sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}A^k\]
を$A$の行列指数関数(matrix exponential)といい，$e^A$(または$\exp A$)で表す．
行列指数関数の性質
定義2によって定められた行列指数関数は，次の性質を持つ．
- $e^O=E$
- $e^E=eE$
- \[ e^O=\sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}O^k=\sum _{k=0}^{\infty}O=O\quad \blacksquare \]
- \[ e^E=\sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}E^k=\sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}E=eE\quad \blacksquare \]
指数法則は条件付きで成り立つ．
$A,B$を可換な正方行列とする．
\[ e^{A}e^{B}=e^{A+B}\]
$AB=BA$であるから，二項定理より
\[ \begin{aligned}e^{A+B}&=\sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(A+B)^k\\ &=\sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\sum _{l=0}^k\binom{k}{l}A^lB^{k-l}\\ &=\sum _{k=0}^{\infty}\sum _{l=0}^k\frac{1}{l!(k-l)!}A^lB^{k-l}\\ &=\sum _{p=0}^{\infty}\sum _{p+q=k}\frac{1}{p!q!}A^pB^q\\ &=\sum _{p,q=0}^{\infty}\left( \frac{1}{p!}A^p\right) \left( \frac{1}{q!}B^q\right) \\ &=\left( \sum _{p=0}^{\infty}\frac{1}{p!}A^p\right) \left( \sum _{q=0}^{\infty}\frac{1}{q!}B^q\right) \\ &=e^Ae^B\end{aligned}\]
となり，与式が従う．$\blacksquare$
命題2から，次の系1が直ちに導かれる．
$A$を正方行列，$k,l$をスカラーとする．
\[ e^{kA}e^{lA}=e^{(k+l)A}\]
$kA$と$lA$は可換であるから，命題2より与式を得る．$\blacksquare$
行列指数関数の逆行列は次のように与えられる．
$A$を正方行列とする．
\[ (e^{A})^{-1}=e^{-A}\]
系1と命題1より
\[ e^Ae^{-A}=e^{A-A}=e^O=E\\ e^{-A}e^A=e^{-A+A}=e^O=E\]
であるから，$(e^{A})^{-1}=e^{-A}$である．$\blacksquare$
また，行列指数関数の転置行列は次のように与えられる．
$A$を正方行列とする．
\[ {}^t(\exp A)=\exp {}^tA\]
\[ \begin{aligned}{}^t(\exp A)&={}^t\left( \sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}A^k\right) =\sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}{}^t(A^k)\\ &=\sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}({}^tA)^k=\exp {}^tA\quad \blacksquare \end{aligned}\]
行列指数関数の計算は，対角化することにより簡単になる場合がある．
$n\in \mathbb{N}$，$A$を$n$次正方行列，$P$を$n$次正則行列とする．
\[ e^{P^{-1}AP}=P^{-1}e^AP\]
\[ \begin{aligned}e^{P^{-1}AP}&=\sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(P^{-1}AP)^k\\ &=\sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}P^{-1}A^kP\\ &=P^{-1}\left( \sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}A^k\right) P\\ &=P^{-1}e^AP\quad \blacksquare \end{aligned}\]
行列指数関数の行列式は，行列のトレースによって与えられる．
$A$を正方行列とする．
\[ |e^A|=e^{\operatorname{tr} A}\]
$A$を$n$次正則行列とする．
このとき，ある$n$次正則行列$P$が存在して
\[ P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\lambda _1&&&\text{\huge{$\ast$}}\\ &\lambda _2&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&\lambda _n\end{pmatrix}\]
となる．
\[ \begin{aligned}e^{P^{-1}AP}&=\sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(P^{-1}AP)^k\\ &=\sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\begin{pmatrix}\lambda _1&&&\text{\huge{$\ast$}}\\ &\lambda _2&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&\lambda _n\end{pmatrix}^k\\ &=\sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\begin{pmatrix}\lambda _1^k&&&\text{\huge{$\ast$}}\\ &\lambda _2^k&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&\lambda _n^k\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}\sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\lambda _1^k&&&\text{\huge{$\ast$}}\\ &\sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\lambda _2^k&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&\sum _{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\lambda _n^k\end{pmatrix}^k\\ &=\begin{pmatrix}e^{\lambda _1}&&&\text{\huge{$\ast$}}\\ &e^{\lambda _2}&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&e^{\lambda _n}\end{pmatrix}\end{aligned}\]
であるから，命題5より
\[ \begin{aligned}|e^A|&=|P^{-1}||e^A||P|=|P^{-1}e^AP|=|e^{P^{-1}AP}|\\ &=\begin{vmatrix}e^{\lambda _1}&&&\text{\huge{$\ast$}}\\ &e^{\lambda _2}&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&e^{\lambda _n}\end{vmatrix}\\ &=e^{\lambda _1}e^{\lambda _2}\dots e^{\lambda _n}=e^{\lambda _1+\lambda _2+\dots +\lambda _n}\\&=e^{\operatorname{tr}(P^{-1}AP)}=e^{\operatorname{tr}A}\quad \blacksquare \end{aligned}\]