区間縮小法とは実数の閉区間を狭めていくと，やがて1つの実数にたどり着くという命題である．この記事では，直感的に正しそうなこの定理を数学的に厳密な証明を与える．
区間縮小法の主張
任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$a_n\le b_n$であるような広義単調増加数列$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$，広義単調減少数列$\{ b_n\}_{n=1}^{\infty}$に対し，有界閉区間の列$\{ I_n\}_{n=1}^{\infty}$を
\[ I_n=[a_n,b_n]\]
により定める．このとき
\[ \bigcap _{n\in \mathbb{N}}I_n\neq \emptyset \]
であり，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(a_n-b_n)=0$ならば，ある$\alpha \in \mathbb{R}$が存在し
\[ \bigcap _{n\in \mathbb{N}}I_n=\{ \alpha \} \]
である．特に
\[ \lim_{n\to \infty}a_n=\lim_{n\to \infty}b_n=\alpha \]
が成り立つ．
区間縮小法は，実数の区間を考え，その範囲をどんどん狭くしていくと，最終的に1つの実数へと収束するということを主張する定理である．
これを図示すると，次のようになる．
区間縮小法の証明
区間縮小法の証明には，有界単調数列の収束定理を用いる．
$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$が上に有界な広義単調増加数列であるとき，次の等式が成り立つ．
\[ \lim _{n\to \infty}a_n=\sup \{ a_n\mid n\in \mathbb{N}\} \]
$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$が下に有界な広義単調減少数列であるとき，次の等式が成り立つ．
\[ \lim _{n\to \infty}a_n=\inf \{ a_n\mid n\in \mathbb{N}\} \]
有界単調数列の収束定理の証明は別記事で詳しく解説しているが，$\mathbb{R}$の性質の1つとして認めた，連続の公理によって帰結されるものであるということは認識しておくとよい．
任意の空でない上に有界な集合$A\subset \mathbb{R}$に対し，$A$の上限が存在する．
任意の$n\in \mathbb{N}$に対し
\[ a_1\le a_2\le \dots \le a_n\le b_n\le \dots \le b_2\le b_1\]
が成り立つから，例えば$b_1$は数列$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$の上界であり，$a_1$は数列$\{ b_n\}_{n=1}^{\infty}$の下界である．
ゆえに，$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$は上に有界な単調増加数列であり，$\{ b_n\}_{n=1}^{\infty}$は下に有界な単調減少数列であるから，有界単調数列の収束定理より，ある$\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$が存在して
\[ \lim_{n\to \infty}a_n=\alpha ,\lim_{n\to \infty}b_n=\beta \]
となる．
特に，$\alpha$は$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$の上限であり，$\beta$は$\{ b_n\}_{n=1}^{\infty}$の下限であり，任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$a_n\le b_n$が成り立つから，$\alpha \le \beta$
よって，任意の$n\in \mathbb{N}$に対して
\[ a_n\le \alpha \le \beta \le b_n\]
であるから
\[ \bigcap _{n\in \mathbb{N}}I_n\supset [\alpha ,\beta ]\]
したがって
\[ \bigcap _{n\in \mathbb{N}}I_n\neq \emptyset \]
また，任意の$c\in \bigcap _{n\in \mathbb{N}}I_n,n\in \mathbb{N}$に対して
\[ c\in [a_n,b_n]\quad すなわち\quad a_n\le c\le b_n\]
よって
\[ a_n-b_n\le c-b_n\le 0\]
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(a_n-b_n)=0$であるから，はさみうちの原理より
\[ \lim_{n\to \infty}(c-b_n)=0\]
ここで，$c$は定数であるから
\[ \lim_{n\to \infty}(c-b_n)=c-\beta \]
ゆえに
\[ 0=c-\beta すなわちc=\beta \]
また
\[ \lim_{n\to \infty}(a_n-b_n)=\lim_{n\to \infty}a_n-\lim_{n\to \infty}b_n=\alpha -\beta \]
であるから
\[ 0=\alpha -\beta \]
よって
\[ \alpha =\beta =c\]
したがって
\[ \bigcap _{n\in \mathbb{N}}I_n=\{ \alpha \} \]
\[ \lim_{n\to \infty}a_n=\lim_{n\to \infty}b_n=\alpha \]
となる．$\blacksquare$
区間縮小法の応用
区間縮小法の具体例として，次のような問題を考えてみよう．
区間列$\{ I_n\}_{n=1}^{\infty}$を
\[ I_n=\left[ 0,\frac{1}{n}\right] \qquad (n\in \mathbb{N})\]
により定める．このとき，$\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb{N}}I_n$を求めよ．
直感的な予想はできるが，厳密に論証するには区間縮小法を用いるとよい．
まず，数列$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty},\{ b_n\}_{n=1}^{\infty}$を
\[ a_n=0,b_n=\frac{1}{n}\qquad (n\in \mathbb{N})\]
により定めると
\[ I_n=[a_n,b_n]\]
と表される．
このとき，$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$は広義単調増加数列，$\{ b_n\}_{n=1}^{\infty}$は広義単調減少数列である．
また，任意の$n\in \mathbb{N}$に対して
\[ a_n=0\le \frac{1}{n}=b_n\]
であり
\[ \lim_{n\to \infty}a_n=\lim_{n\to \infty}b_n=0\]
であるから，区間縮小法より
\[ \bigcap _{n\in \mathbb{N}}I_n=\{ 0\} \]
区間縮小法は，｢ある条件を満たす実数がただ1つ存在すること｣の証明に大きく役立つことが多い．特に，区間縮小法とアルキメデスの原理を組み合わせることによって，実数の連続性を示すことができる1．詳細は別記事を参照してほしい．
関連内容
実数の連続性
$\mathbb{R}$が満たす17の性質の中で，連続の公理がある．
任意の空でない上に有界な集合$A\subset \mathbb{R}$に対し，$A$の上限が存在する．
連続の公理については，別記事で詳しく解説している．
さて，この連続の公理と同値な命題はたくさん知られており，特に区間縮小法は連続の公理とも関係している．
次の12個の命題は互いに同値である．
- 連続の公理(上限性質)
- 有界単調数列の収束定理
- アルキメデスの原理･区間縮小法
- ボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理
- アルキメデスの定理･コーシー列の収束性
- デデキントの公理
- 中間値の定理
- 最大値の定理
- ロルの定理
- (ラグランジュの)平均値の定理
- コーシーの平均値の定理
- ハイネ･ボレルの被覆定理
証明は別記事で詳しく解説している．
- 実数の連続性について言及した連続の公理は，ここでは実数が満たすべき性質として，その成立を認めている．しかし，連続の公理は｢区間縮小法とアルキメデスの公理｣と同値であるため，連続の公理の代わりにアルキメデスの原理や区間縮小法を実数の性質として認めても問題ない．この公理系では，連続の公理は区間縮小法とアルキメデスの公理から従う命題となるのである． ↩︎