有界単調数列の収束定理

数列$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$を
\[ a_n=\frac{1}{n}\qquad (n\in \mathbb{N})\]
により定める．

まず，$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$が単調減少数列であることを示す．
任意の$n\in \mathbb{N}$に対し
\[ a_n=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=a_{n+1}\]
であるから示された．

次に，$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$が下に有界であることを示す．
例えば，$0$は$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$の下界である．
実際，任意の$n\in \mathbb{N}$に対して
\[ a_n=\frac{1}{n}\ge 0\]
となる．

よって，有界単調数列の収束定理(定理2)より，数列$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$はその下限に収束するはずである(下限の存在は連続の公理(補題1)により保証される)．
そこで，$\{ a_n\mid n\in \mathbb{N}\}$の下限を求めてみよう．

以下，$\{ a_n\mid n\in \mathbb{N}\}$の下限が$0$であることを示す．
$0$が$\{ a_n\mid n\in \mathbb{N}\}$の下界であることは上で示した．
任意の$\varepsilon >0$に対し，アルキメデスの原理¹より，ある$N\in \mathbb{N}$が存在し，$N\varepsilon >1$となる．このとき
\[ a_N=\frac{1}{N}<\varepsilon =0+\varepsilon \]
となるから示された．

つまり，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=0$となるはずである．

実際，任意の$\varepsilon >0$に対し，アルキメデスの原理より，ある$N\in \mathbb{N}$が存在し，$N\varepsilon >1$となる．このとき，$n\ge N$なる任意の$n\in \mathbb{N}$に対して
\[ |a_n-0|=\frac{1}{n}\le \frac{1}{N}<\varepsilon \]
となるから，従う．

数列$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$を
\[ a_1=\sqrt{2},a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\qquad (n\in \mathbb{N})\]
により定める．

まず，$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$が(狭義)単調増加であること，すなわち任意の$n\in \mathbb{N}$に対して$a_n<a_{n+1}$が成り立つことを$n$に関する数学的帰納法で示す²．
$n=1$のとき
\[ a_1=\sqrt{2}<\sqrt{2+\sqrt{2}}=a_2\]
であるから成り立つ．
$n=k$で$a_k<a_{k+1}$が成り立つと仮定すると
\[ a_{k+1}=\sqrt{2+a_k}<\sqrt{2+a_{k+1}}=a_{k+2}\]
より$n=k+1$のときも成り立つ．
以上より，$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$の単調増加性が示された．

次に，$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$が上に有界であることを示す．
例えば，$2$は$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$の上界である．任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$a_n<2$であることを$n$に関する数学的帰納法で示す．
$n=1$のとき
\[ a_1=\sqrt{2}<2\]
であるから成り立つ．
$n=k$で$a_k<2$が成り立つと仮定すると
\[ a_{k+1}=\sqrt{2+a_k}<\sqrt{2+2}=2\]
より$n=k+1$のときも成り立つ．
以上より，$2$は$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$の上界である．

したがって，有界単調数列の収束定理より，$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$は収束し，その極限値を$\alpha \in \mathbb{R}$とおくと
\[ \alpha ^2=\lim_{n\to \infty}a_{n+1}^2=\lim_{n\to \infty}(2+a_n)=2+\alpha \]
よって
\[ \alpha ^2-\alpha -2=0\quad すなわち\quad (\alpha +1)(\alpha -2)=0\]
ゆえに$\alpha =-1,2$であるが，例えば
\[ a_1=\sqrt{2}>-1\]
より$-1$は$\{ a_n\mid n\in \mathbb{N}\}$の上限でないため，$\alpha =2$である．
以上より$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=2$である．

数列$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$を
\[ a_n=\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^n\qquad (n\in \mathbb{N})\]
により定める．

まず，$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$が(狭義)単調増加であること，すなわち任意の$n\in \mathbb{N}$に対して$a_n<a_{n+1}$が成り立つことを示す．
相加相乗平均の不等式⁴より
\[ a_n=\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^n=\left( \frac{n+1}{n}\right) ^n\cdot 1\le \left( \frac{\frac{n+1}{n}\cdot n+1}{n+1}\right) ^{n+1}=\left( 1+\frac{1}{n+1}\right) ^{n+1}=a_{n+1}\]
よって，示された．

単調増加であることの証明は，様々なものが知られているが，ここでは筆者が知っている方法の中で最も美しいものを紹介した⁵．二項定理を用いて不等式評価をする方法が一般的である．

次に，$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$が上に有界であることを示す．
例えば，$3$は$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$の上界である．実際
\[ \begin{aligned}\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^n&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!n^k}\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot \frac{n}{n}\cdot \frac{n-1}{n}\dots \frac{n-k+1}{n}\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\left( 1-\frac{1}{n}\right) \left( 1-\frac{2}{n}\right) \dots \left( 1-\frac{k-1}{n}\right) \\ &<\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\dots \\ &=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\dots \\ &<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 2\cdot 2}+\dots \\ &=1+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^k}=1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=3\end{aligned}\]
となる．

したがって，$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$は上に有界な単調増加数列であるから，有界単調数列の収束定理より，$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$は収束する．