ロルの定理･平均値の定理

$f$が定数関数であるとき，$f$は$(a,b)$上微分可能であり，$f(a)=f(b)$である．このとき，任意の$c\in (a,b)$に対して$f^{\prime}(c)=0$である．

$f$が定数関数でないとき，最大値・最小値の定理より，ある$c_1,c_2\in [a,b]$が存在して，任意の$x\in [a,b]$に対して
\[ f(c_1)\le f(x)\le f(c_2)\]
が成り立つ．
$f$は定数関数でないから，$f(c_1)\neq f(c_2)$すなわち$c_1\neq c_2$であり，$f(a)=f(b)$より，$c_1\in (a,b)$または$c_2\in (a,b)$である．
このとき，$c\in (a,b)$を
\[ c=\begin{cases}c_1&(c_1\in (a,b))\\ c_2&(c_1\not\in (a,b))\end{cases}\]
により定めると，$f(c)$は$f(x)$の$x=c$における極値であるから，$f^{\prime}(c)=0$である．$\blacksquare$

$f$が$[a,b]$上連続かつ$(a,b)$上微分可能であることに注意する．
関数$g:[a,b]\to \mathbb{R}$を
\[ g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\quad (x\in [a,b])\]
により定めると，$g$は$[a,b]$上連続かつ$(a,b)$上微分可能であり
\[ g(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a)=f(a)\]
\[ g(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(b)-(f(b)-f(a))=f(a)\]
より$g(a)=g(b)$であるから，ロルの定理より，ある$c\in (a,b)$が存在して，$g^{\prime}(c)=0$となる．ここで
\[ g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
であるから
\[ f^{\prime}(c)=g^{\prime}(c)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
となり，示された．$\blacksquare$

$f,g$が$[a,b]$上連続かつ$(a,b)$上微分可能であることに注意する．
関数$h:[a,b]\to \mathbb{R}$を
\[ h(x)=f(x)(g(b)-g(a))-g(x)(f(b)-f(a))\quad (x\in [a,b])\]
により定めると，$h$は$[a,b]$上連続かつ$(a,b)$上微分可能であり
\[ \begin{aligned}h(a)&=f(a)(g(b)-g(a))-g(a)(f(b)-f(a))\\ &=f(a)g(b)-f(a)g(a)-g(a)f(b)+g(a)f(a)\\ &=f(a)g(b)-f(b)g(a)\end{aligned}\]
\[ \begin{aligned}h(b)&=f(b)(g(b)-g(a))-g(b)(f(b)-f(a))\\ &=f(b)g(b)-f(b)g(a)-g(b)f(b)+g(b)f(a)\\ &=f(a)g(b)-f(b)g(a)\end{aligned}\]
より$h(a)=h(b)$であるから，ロルの定理より，ある$c\in (a,b)$が存在して，$h^{\prime}(c)=0$となる．ここで
\[ h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)(g(b)-g(a))-g^{\prime}(x)(f(b)-f(a))\]
であるから
\[ f^{\prime}(c)(g(b)-g(a))=h^{\prime}(c)+g^{\prime}(c)(f(b)-f(a))=g^{\prime}(f(b)-f(a))\]
となり，示された．$\blacksquare$