ベクトル空間の和と直和

$W_1,W_2,\dots ,W_n$は$V$の部分空間であるから
\[ \bm{0}\in W_1,\bm{0}\in W_2,\dots ,\bm{0}\in W_n\]
よって
\[ \bm{0}=\underbrace{\bm{0}+\bm{0}+\dots +\bm{0}}_n\in W_1+W_2+\dots +W_n\]

また，任意の$\bm{x},\bm{y}\in W_1+W_2+\dots +W_n$に対して，ある
\[ \bm{x}_1\in W_1,\bm{x}_2\in W_2,\dots ,\bm{x}_n\in W_n\]
と，ある
\[ \bm{y}_1\in W_1,\bm{y}_2\in W_2,\dots ,\bm{y}_n\in W_n\]
が存在して
\[ \bm{x}=\bm{x}_1+\bm{x}_2+\dots +\bm{x}_n\]
\[ \bm{y}=\bm{y}_1+\bm{y}_2+\dots +\bm{y}_n\]
となる．このとき
\[ \bm{x}_1+\bm{y}_1\in W_1,\bm{x}_2+\bm{y}_2\in W_2,\dots ,\bm{x}_n+\bm{y}_n\in W_n\]
であるから
\[ \bm{x}+\bm{y}=(\bm{x}_1+\bm{y}_1)+(\bm{x}_2+\bm{y}_2)+\dots +(\bm{x}_n+\bm{y}_n)\in W_1+W_2+\dots +W_n\]

さらに，任意の$c\in \mathbb{C}$に対して
\[ c\bm{x}_1\in W_1,c\bm{x}_2\in W_2,\dots ,c\bm{x}_n\in W_n\]
となるから
\[ c\bm{x}=c\bm{x}_1+c\bm{x}_2+\dots +c\bm{x}_n\in W_1+W_2+\dots +W_n\]

以上より，$W_1+W_2+\dots +W_n$は$V$の部分空間である．$\blacksquare$

• 以下の同値変形が成り立つ．
  \[ \begin{aligned}&\bm{x}\in (W_1+W_2)+W_3\\ \iff &\exists \bm{y}_1\in W_1+W_2,\exists \bm{x}_3\in W_3\ \mathrm{s.t.}\ \bm{x}=\bm{y}_1+\bm{x}_3\\ \iff &\exists \bm{x}_1\in W_1,\exists \bm{x}_2\in W_2,\exists \bm{x}_3\in W_3\ \mathrm{s.t.}\ \bm{x}=\bm{x}_1+\bm{x}_2+\bm{x}_3\\ \iff &\exists \bm{x}_1\in W_1,\exists \bm{y}_2\in W_2+W_3\ \mathrm{s.t.}\ \bm{x}=\bm{x}_1+\bm{y}_2\\ \iff &\bm{x}\in W_1+(W_2+W_3)\end{aligned}\]
  したがって，$(W_1+W_2)+W_3=W_1+(W_2+W_3)\blacksquare$
• 以下の同値関係が成り立つ．
  \[ \begin{aligned}&\bm{x}\in W_1+W_2\\ \iff &\exists \bm{x}_1\in W_1,\exists \bm{x}_2\in W_2\ \mathrm{s.t.}\ \bm{x}=\bm{x}_1+\bm{x}_2\\ \iff &\exists \bm{x}_2\in W_2,\exists \bm{x}_1\in W_1\ \mathrm{s.t.}\ \bm{x}=\bm{x}_2+\bm{x}_1\\ \iff &\bm{x}\in W_2+W_1\end{aligned}\]
  したがって，$W_1+W_2=W_2+W_1\blacksquare$

$\bm{x}\in W_1+W_2$ならば，ある$\bm{x}_1\in W_1$と，ある$\bm{x}_2\in W_2$が存在して
\[ \bm{x}=\bm{x}_1+\bm{x}_2\]
となる．$W_1\subset W_2$より$\bm{x}_1\in W_1$であることに注意すると，$\bm{x}\in W_2$を得る．

逆に，$\bm{x}\in W_2$ならば，$\bm{0}\in W_1$であるから
\[ \bm{x}=\bm{0}+\bm{x}\]
より，$\bm{x}\in W_1+W_2$を得る．

以上より，$W_1+W_2=W_2\blacksquare$

①$\implies$②を示す．
$W_1,W_2,\dots ,W_n$は$V$の部分空間であるから
\[ \bm{0}\in W_1,\bm{0}\in W_2,\dots ,\bm{0}\in W_n\]
よって
\[ \bm{0}=\underbrace{\bm{0}+\bm{0}+\dots +\bm{0}}_n\]
となり，①より②が従う．

②$\implies$③を示す．
$c_1,c_2,\dots ,c_n\in \mathbb{C}$が
\[ c_1\bm{x}_1+c_2\bm{x}_2+\dots +c_n\bm{x}_n=\bm{0}\]
を満たすとき，②より
\[ c_1\bm{x}_1=\bm{0},c_2\bm{x}_2=\bm{0},\dots ,c_n\bm{x}_n=\bm{0}\]
$\bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_n$はいずれも零ベクトルでないから
\[ c_1=c_2=\dots =c_n=0\]
よって，③が成り立つ．

③$\implies$④の対偶を示す．
④が成り立たない，すなわちある$i\in \{ 2,3,\dots ,n\}$が存在して，$(W_1+W_2+\dots +W_{i-1})\cap W_i\neq \{ \bm{0}\}$が成り立つと仮定すると，ある
\[ \bm{x}_i\in ((W_1+W_2+\dots +W_{i-1})\cap W_i)\setminus \{ \bm{0}\} \]
が存在する．よって，ある
\[ \bm{x}_1\in W_1\setminus \{ \bm{0}\} ,\bm{x}_2\in W_2\setminus \{ \bm{0}\} ,\dots ,\bm{x}_{i-1}\in W_{i-1}\setminus \{ \bm{0}\}\]
が存在して
\[ \bm{x}_i=\bm{x}_1+\bm{x}_2+\dots +\bm{x}_{i-1}\]
となる．このとき，$\bm{x}_i\neq \bm{0}$であるから，$\bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_{i-1}$のうち$\bm{0}$でないものが存在し，それらを$\bm{y}_1,\bm{y}_2,\dots ,\bm{y}_m$(ただし$m$は$i-1$以下の正の整数)とすると
\[ \bm{y}_1+\bm{y}_2+\dots +\bm{y}_m-\bm{x}_i=\bm{0}\]
となる．よって，これが反例となり，③は成り立たない．

④$\implies$①を示す．
$\bm{x}\in W_1+W_2+\dots +W_n$に対して，ある
\[ \bm{x}_1\in W_1,\bm{x}_2\in W_2,\dots ,\bm{x}_n\in W_n\]
と，ある
\[ \bm{y}_1\in W_1,\bm{y}_2\in W_2,\dots ,\bm{y}_n\in W_n\]
が存在して
\[ \begin{aligned}\bm{x}&=\bm{x}_1+\bm{x}_2+\dots +\bm{x}_n\\ &=\bm{y}_1+\bm{y}_2+\dots +\bm{y}_n\end{aligned}\]
となるとき
\[ \bm{y}_n-\bm{x}_n=(\bm{x}_1-\bm{y}_1)+(\bm{x}_2-\bm{y}_2)+\dots +(\bm{x}_{n-1}+\bm{y}_{n-1})\]
であるから
\[ \bm{y}_n-\bm{x}_n\in (W_1+W_2+\dots +W_{n-1})\cap W_n\]
よって，④より，$\bm{x}_n=\bm{y}_n$を得る．
同様にして
\[ \bm{x}_1=\bm{y}_1,\bm{x}_2=\bm{y}_2,\dots ,\bm{x}_n=\bm{y}_n\]
を得るから，①が従う．

$k=\dim W_1,l=\dim W_2,m=\dim (W_1\cap W_2)$とし，$\{ \bm{z}_1,\bm{z}_2,\dots ,\bm{z}_m\}$を$W_1\cap W_2$の基底とする．
また，$\bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_{k-m}\in W_1$を$\{ \bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_{k-m},\bm{z}_1,\bm{z}_2,\dots ,\bm{z}_m\}$が$W_1$の基底となるようにとり，$\bm{y}_1,\bm{y}_2,\dots ,\bm{y}_{l-m}\in W_2$を$\{ \bm{y}_1,\bm{y}_2,\dots ,\bm{y}_{l-m},\bm{z}_1,\bm{z}_2,\dots ,\bm{z}_m\}$が$W_2$の基底となるようにとる．
このとき
\[ \bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_{k-m},\bm{y}_1,\bm{y}_2,\dots ,\bm{y}_{l-m},\bm{z}_1,\bm{z}_2,\dots ,\bm{z}_m\]
が$W_1+W_2$の基底であることを示す．

任意の$\bm{v}\in W_1+W_2$に対して，ある$\bm{v}_1\in W_1,\bm{v}_2\in W_2$が存在して
\[ \bm{v}=\bm{v}_1+\bm{v}_2\]
となる．$\bm{v}_1$は$\bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_{k-m},\bm{z}_1,\bm{z}_2,\dots ,\bm{z}_m$の1次結合で表され，$\bm{v}_2$は$\bm{y}_1,\bm{y}_2,\dots ,\bm{y}_{l-m},\bm{z}_1,\bm{z}_2,\dots ,\bm{z}_m$の1次結合で表されるから，$\bm{v}$は
\[ \bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_{k-m},\bm{y}_1,\bm{y}_2,\dots ,\bm{y}_{l-m},\bm{z}_1,\bm{z}_2,\dots ,\bm{z}_m\]
の1次結合で表される．よって
\[ \bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_{k-m},\bm{y}_1,\bm{y}_2,\dots ,\bm{y}_{l-m},\bm{z}_1,\bm{z}_2,\dots ,\bm{z}_m\]
が1次独立であることを示せばよい．

$s_1,s_2,\dots ,s_{k-m},t_1,t_2,\dots ,t_{l-m},u_1,u_2,\dots ,u_m\in \mathbb{C}$が
\[ \begin{aligned}s_1\bm{x}_1+s_2\bm{x}_2+\dots +s_{k-m}\bm{x}_{k-m}&\\ +t_1\bm{y}_1+t_2\bm{y}_2+\dots +t_{l-m}\bm{y}_{l-m}&\\ +u_1\bm{z}_1+u_2\bm{z}_2+\dots +u_m\bm{z}_m&=\bm{0}\end{aligned}\tag{$\ast$}\]
すなわち
\[ \begin{aligned}&t_1\bm{y}_1+t_2\bm{y}_2+\dots +t_{l-m}\bm{y}_{l-m}\\ &+u_1\bm{z}_1+u_2\bm{z}_2+\dots +u_m\bm{z}_m\\ =&-s_1\bm{x}_1-s_2\bm{x}_2-\dots -s_{k-m}\bm{x}_{k-m}\end{aligned}\]
を満たすとき，左辺は$V_2$の元，右辺は$V_1$の元であるから，ある$u^{\prime}_1,u^{\prime}_2,\dots ,u^{\prime}_m\in \mathbb{C}$が存在して
\[ -s_1\bm{x}_1-s_2\bm{x}_2-\dots -s_{k-m}\bm{x}_{k-m}=u^{\prime}_1\bm{z}_1+u^{\prime}_2\bm{z}_2+\dots +u^{\prime}_m\bm{z}_m\]
すなわち
\[ \begin{aligned}s_1\bm{x}_1+s_2\bm{x}_2+\dots +s_{k-m}\bm{x}_{k-m}&\\ +u^{\prime}_1\bm{z}_1+u^{\prime}_2\bm{z}_2+\dots +u^{\prime}_m\bm{z}_m&=\bm{0}\end{aligned}\]
となる．$\{ \bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_{k-m},\bm{z}_1,\bm{z}_2,\dots ,\bm{z}_m\}$は$W_1$の基底であるから
\[ s_1=s_2=\dots =s_{k-m}=u^{\prime}_1=u^{\prime}_2=\dots =u^{\prime}_m=0\]
を得る．よって，$(\ast )$は
\[ \begin{aligned}t_1\bm{y}_1+t_2\bm{y}_2+\dots +t_{l-m}\bm{y}_{l-m}&\\ +u_1\bm{z}_1+u_2\bm{z}_2+\dots +u_m\bm{z}_m&=\bm{0}\end{aligned}\]
となる．$\{ \bm{y}_1,\bm{y}_2,\dots ,\bm{y}_{l-m},\bm{z}_1,\bm{z}_2,\dots ,\bm{z}_m\}$は$W_2$の基底であるから
\[ t_1=t_2=\dots =t_{l-m}=u_1=u_2=\dots =u_m=0\]
を得る．以上より
\[ \bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_{k-m},\bm{y}_1,\bm{y}_2,\dots ,\bm{y}_{l-m},\bm{z}_1,\bm{z}_2,\dots ,\bm{z}_m\]
は1次独立であり
\[ \begin{aligned}\dim (W_1+W_2)&=(k-m)+(l-m)+m=k+l-m\\ &=\dim W_1+\dim W_2-\dim (W_1\cap W_2)\end{aligned}\]
が従う．$\blacksquare$

$n$に関する数学的帰納法で示す．

$n=2$のとき，定理2より
\[ \begin{aligned}\dim (W_1+W_2)&=\dim W_1+\dim W_2-\dim (W_1\cap W_2)\\ &=\sum _{i=1}^2\dim W_i-\dim (W_1\cap W_2)\end{aligned}\]
であるから，明らかに成り立つ．

$n=k$のとき，与式が成り立つと仮定すると，定理2より
\[ \begin{aligned}&\dim (W_1+W_2+\dots +W_k+W_{k+1})\\ =&\dim (W_1+W_2+\dots +W_k)+\dim W_{k+1}\\ &-\dim ((W_1+W_2+\dots +W_k)\cap W_{k+1})\\ =&\sum _{i=1}^k\dim W_i-\sum _{i=2}^k\dim ((W_1+W_2+\dots +W_{i-1})\cap W_i)\\ &+\dim W_{k+1}-\dim ((W_1+W_2+\dots +W_k)\cap W_{k+1})\\ =&\sum _{i=1}^{k+1}\dim W_i-\sum _{i=2}^{k+1}\dim ((W_1+W_2+\dots +W_{i-1})\cap W_i)\end{aligned}\]
であるから，$n=k+1$のときも成り立つ．

以上より，$2$以上の任意の整数$n$に対して，与式が成り立つ．$\blacksquare$

$W_1+W_2+\dots +W_n=W_1\oplus W_2\oplus \dots \oplus W_n$であることは，定理1より，任意の$i\in \{ 2,3,\dots ,n\}$に対して，$(W_1+W_2+\dots +W_{i-1})\cap W_i=\{ \bm{0}\}$が成り立つことと同値である．
このとき，定理3より
\[ \begin{aligned}&\dim (W_1+W_2+\dots +W_n)\\ =&\sum _{i=1}^n\dim W_i-\sum _{i=2}^n\dim ((W_1+W_2+\dots +W_{i-1})\cap W_i)\\ =&\sum _{i=1}^n\dim W_i-\sum _{i=2}^n\dim \{ \bm{0}\} =\sum _{i=1}^n\dim W_i\end{aligned}\]
となる．$\blacksquare$