2025年度 北大文系数学 第4問

当記事で紹介する解答は北海道大学が示した解答ではありません．

思考力を問う良問である．難易度はそこまで高くないが，関数を具体的に決定していく問題を練習していた受験生は少なく，手間取ってしまった人もいたかもしれない．
(3)は(4)を先に求めてから，その結果に代入するという流れで答案を書いてもよい．(2)の証明ができなかったとしても，諦めてはならない．

まず，今回与えられている重要な条件を整理すると，次の3つである．

• $f(1)=2$
• $f(nx)=\{ f(x)\} ^n$
• 任意の実数$x$に対して，$f(x)\neq 0$

②に関しては，$n$は整数であることに注意が必要である．

さて，(1)は$f(n)$について関心があるため，$f(n)$を求めるところから考えよう．具体的な値が分かっているのは$f(1)=2$のみである．

②の$x$に$1$を代入すると，$f(n)$についての式が得られそうであるから，早速実践してみよう．②で，$x=1$とすると
\[ f(n)=f(n\cdot 1)=\{ f(1)\} ^n=2^n\]
となる．$f(1)=2$が効いている．これで，$f(n)$を求めることができた．

今回求めたいのは$f(n)\leqq 100$，すなわち$2^n\leqq 100$となる$n$の最大値である．
\[ 2^6=64<100<128=2^7\]
より，このような$n$は$6$であると求めることができる．

(2)は本問最大の山場である．実数$x$に対して，$f(x)$を考えなければならない．

$f(x)$を特定することができれば話は早そうだが，それは難しい．そこで，②の式に注目しよう．②の右辺は実数の$n$乗になっているため，$n$が偶数のとき，右辺は$0$以上の値となる．これが利用できそうだ．

試しに$n=2$とすると
\[ f(2x)=\{ f(x)\} ^2\geqq 0\]
となる．$2x$は任意の実数を表すから，$f(x)\geqq 0$を導くことができた．

ただし，本問では$f(x)>0$であることを示したい．つまり，$f(x)\neq 0$であることを確認しなければならない．そう，これは③で保証されている条件であるから問題ない．

あとは先ほどの式変形を微調整してあげれば見栄えの良い答案となる．

(2)が解けなかったからといって(3)や(4)を捨てるのは悪手である．

(3)は具体的な$f$の値を求める問題である．$0.25=\dfrac{1}{4}$であるから，②を利用して$f(n)=2^n$の形に変形したい．

例えば，②で$x=\dfrac{1}{4},n=4$とすると
\[ 2=f(1)=f\left( 4\cdot \frac{1}{4}\right) =\left\{ f\left( \frac{1}{4}\right) \right\} ^4\]
であるから，$f\left( \dfrac{1}{4}\right)$は$4$乗して$2$になる実数であり，(2)よりその値は$0$より大きいから，$f\left( \dfrac{1}{4}\right) =\sqrt[4]{2}$である．

(4)は$f$に有理数を代入したときの値を求める問題である．今までの議論では$f$に整数を代入したときの値について考え，$f(n)=2^n$を得た．(3)の求め方を応用するために，整数$p$と$0$でない整数$q$を用いて
\[ a=\frac{p}{q}\]
とおく常套手段を使って整数の形に変形してみよう．

(3)と同様に，②で$x=a=\dfrac{p}{q},n=q$とすると
\[ 2^p=f(p)=f\left( q\cdot \frac{p}{q}\right) =\left\{ f\left( \frac{p}{q}\right) \right\} ^q\]
であるから，$f(a)$は$q$乗して$2^p$になる正の実数である．よって
\[ f(a)=\sqrt[q]{2^p}=(2^p)^{\frac{1}{q}}=2^{\frac{p}{q}}=2^a\]
が従う．$f(x)$は$x$が有理数のとき，指数関数$2^x$と同様の振る舞いを見せることが分かった．