2025年度 阪大文系数学 第1問

当記事で紹介する解答は大阪大学が示した解答ではありません．

(1)は内積の深い理解があれば簡単に解ける良い問題である．(2)は計算量が多く時間がかかるが，解法自体は複雑でない．(3)は2次不等式による最大･最小の議論であったため，比較的計算しやすかっただろう．総じて，この問題は確実に取っておきたい問題である．

まずは，図示して設定の理解を深めるところから始めよう．

まずは(1)．定義に従って内積を求めよう．

$\triangle \rm AOC$が$\angle \rm OCA=90^{\circ}$の直角三角形であることに注意すると
\[ \cos \angle \mathrm{AOB}=\cos \angle \mathrm{AOC}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OA}}=\frac{1}{3}\]
であるから
\[ \overrightarrow{\rm OA}\cdot \overrightarrow{\rm OB}=|\overrightarrow{\rm OA}||\overrightarrow{\rm OB}|\cos \angle \mathrm{AOB}=3\cdot t\cdot \frac{1}{3}=t\]
である．

ただ，内積の定義の深い理解があれば，もう少し単純に内積を計算することができる．
ベクトルの内積は，一方のベクトルをもう一方のベクトルの向きに射影したときの，2つのベクトルの大きさの符号付きの積を表している．この問題を例にすると，$\overrightarrow{\rm OA}\cdot \overrightarrow{\rm OB}$とは，$\overrightarrow{\rm OA}$を$\overrightarrow{\rm OB}$の向きに射影したベクトルの大きさ($\overrightarrow{\rm OA}$が$\overrightarrow{\rm OB}$の向きにつくる影の長さ)，すなわち$|\overrightarrow{\rm OC}|$と，$|\overrightarrow{\rm OB}|$の積のことである．よって
\[ \overrightarrow{\rm OA}\cdot \overrightarrow{\rm OB}=|\overrightarrow{\rm OC}||\overrightarrow{\rm OB}|=1\cdot t=t\]
となる．

(2)は線分$\rm OR$の長さ，すなわち$\overrightarrow{\rm OR}$の大きさを求める問題である．$\overrightarrow{\rm OR}$を$\overrightarrow{\rm OA}$と$\overrightarrow{\rm OB}$の$1$次結合で表し，$|\overrightarrow{\rm OR}|^2$を計算するという方針が思いつきやすい．

$\rm R$は直線$\rm OB$と，$\rm A$を通り$\rm OP$に垂直な直線との交点であるから，$\rm OR$を2通りの方法で表して，係数比較することにより求めよう．

まず，$\rm R$は$\rm OB$上の点であるから，実数$k$を用いて
\[ \overrightarrow{\rm OR}=k\overrightarrow{\rm OB}\]
と表すことができる．

次に，$\overrightarrow{\rm OR}=\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AR}$であるから，$\overrightarrow{\rm AR}$を$\overrightarrow{\rm OA}$と$\overrightarrow{\rm OB}$で表そう．
$\rm OP\perp AR$であるから，$\overrightarrow{\rm OP}\cdot \overrightarrow{\rm AR}=0$である．
$\rm P$は$\rm AB$を$2:1$に内分する点であるから
\[ \overrightarrow{\rm OP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\rm OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\rm OB}\]
と表される．ここで，$p,q$を実数として，$\overrightarrow{\rm AR}$に平行なベクトルを$p\overrightarrow{\rm OA}+q\overrightarrow{\rm OB}$とすると
\[ \begin{aligned}0&=\overrightarrow{\rm OP}\cdot (p\overrightarrow{\rm OA}+q\overrightarrow{\rm OB})\\ &=\left( \frac{1}{3}\overrightarrow{\rm OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\rm OB}\right) \cdot (p\overrightarrow{\rm OA}+q\overrightarrow{\rm OB})\\ &=\frac{p}{3}|\overrightarrow{\rm OA}|^2+\frac{2p+q}{3}\overrightarrow{\rm OA}\cdot \overrightarrow{\rm OB}+\frac{2}{3}q|\overrightarrow{\rm OB}|^2\\ &=\frac{p}{3}\cdot 3^2+\frac{2p+q}{3}\cdot t+\frac{2}{3}q\cdot t^2\\ &=\frac{2}{3}qt^2+\frac{2p+q}{3}t+3p\end{aligned}\]
例えば$q=1$とすると
\[ \left( \frac{2t}{3}+3\right) p+\frac{2t^2+t}{3}=0\]
となるから，このとき
\[ p=-\frac{t(2t+1)}{2t+9}\]
である．したがって，$\overrightarrow{\rm AR}$は$l$を実数として
\[ \overrightarrow{\rm AR}=l\left( -\frac{t(2t+1)}{2t+9}\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}\right) \]
と表されるから
\[ \begin{aligned}\overrightarrow{\rm OR}&=\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AR}\\ &=\overrightarrow{\rm OA}+l\left( -\frac{t(2t+1)}{2t+9}\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}\right) \\ &=\left( 1-\frac{lt(2t+1)}{2t+9}\right) \overrightarrow{\rm OA}+l\overrightarrow{\rm OB}\end{aligned}\]
したがって
\[ k\overrightarrow{\rm OB}=\left( 1-\frac{lt(2t+1)}{2t+9}\right) \overrightarrow{\rm OA}+l\overrightarrow{\rm OB}\]
であるから
\[ k=l=\frac{2t+9}{t(2t+1)}\]
となる．
よって
\[ \mathrm{OR}=|\overrightarrow{\rm OR}|=|k\overrightarrow{\rm OB}|=|k||\overrightarrow{\rm OB}|=\frac{2t+9}{t(2t+1)}\cdot t=\frac{2t+9}{2t+1}\]

(3)は$\rm R$が線分$\rm OB$の$\rm B$側半分にあるような$t$の範囲を求める問題である．(2)で$\rm OR$の長さを求めたから，これを利用しよう．すなわち，$\rm OR$の長さが$\frac{t}{2}$と$t$の間であるような$t$の範囲を求めよう．

このような$t$は
\[ \frac{t}{2}\leqq \frac{2t+9}{2t+1}\leqq t\]
を満たす．

ここで注意が必要なのは，一般に，線分はその両端を含むということである．両端を含まない定義もあるが，一般的には(特に高校までの数学では)両端を含むものとして取り扱う．そのため，上の不等式では等号付き不等号を用いている．

辺々に$2(2t+1)>0$を掛けると
\[ t(2t+1)\leqq 2(2t+9)\leqq 2t(2t+1)\]
すなわち
\[ 2t^2-3t-18\leqq 0\quad かつ\quad 2t^2-t-9\geqq 0\]
したがって
\[ \frac{3-3\sqrt{17}}{4}\leqq t\leqq \frac{3+3\sqrt{17}}{4}\quad かつ\quad \left( t\leqq \frac{1-\sqrt{73}}{4}\quad または\quad \frac{1+\sqrt{73}}{4}\leqq t\right) \]
$t>0$より
\[ \frac{1+\sqrt{73}}{4}\leqq t\leqq \frac{3+3\sqrt{17}}{4}\]