平面上の三角形$\rm OAB$を考える.$\rm \angle AOB$は鋭角,$\mathrm{OA}=3,\mathrm{OB}=t$とする.また,点$\rm A$から直線$\rm OB$に下ろした垂線と直線$\rm OB$の交点を$\rm C$とし,$\rm OC=1$とする.線分$\rm AB$を$2:1$に内分する点を$\rm P$,点$\rm A$から直線$\rm OP$に下ろした垂線と直線$\rm OB$との交点を$\rm R$とする.
(1) 内積$\overrightarrow{\rm OA}\cdot \overrightarrow{\rm OB}$を$t$を用いて表せ.
(2) 線分$\rm OR$の長さを$t$を用いて表せ.
(3) 線分$\rm OB$の中点を$\rm M$とする.点$\rm R$が線分$\rm MB$上にあるとき,$t$のとりうる値の範囲を求めよ.
(2025年度 大阪大学 前期 文系 第1問)
当記事で紹介する解答は大阪大学が示した解答ではありません.
(1)は内積の深い理解があれば簡単に解ける良い問題である.(2)は計算量が多く時間がかかるが,解法自体は複雑でない.(3)は2次不等式による最大・最小の議論であったため,比較的計算しやすかっただろう.総じて,この問題は確実に取っておきたい問題である.
まずは,図示して設定の理解を深めるところから始めよう.

まずは(1).定義に従って内積を求めよう.
$\triangle \rm AOC$が$\angle \rm OCA=90^{\circ}$の直角三角形であることに注意すると
\[ \cos \angle \mathrm{AOB}=\cos \angle \mathrm{AOC}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OA}}=\frac{1}{3}\]
であるから
\[ \overrightarrow{\rm OA}\cdot \overrightarrow{\rm OB}=|\overrightarrow{\rm OA}||\overrightarrow{\rm OB}|\cos \angle \mathrm{AOB}=3\cdot t\cdot \frac{1}{3}=t\]
である.
ただ,内積の定義の深い理解があれば,もう少し単純に内積を計算することができる.
ベクトルの内積は,一方のベクトルをもう一方のベクトルの向きに射影したときの,2つのベクトルの大きさの符号付きの積を表している.この問題を例にすると,$\overrightarrow{\rm OA}\cdot \overrightarrow{\rm OB}$とは,$\overrightarrow{\rm OA}$を$\overrightarrow{\rm OB}$の向きに射影したベクトルの大きさ($\overrightarrow{\rm OA}$が$\overrightarrow{\rm OB}$の向きにつくる影の長さ),すなわち$|\overrightarrow{\rm OC}|$と,$|\overrightarrow{\rm OB}|$の積のことである.よって
\[ \overrightarrow{\rm OA}\cdot \overrightarrow{\rm OB}=|\overrightarrow{\rm OC}||\overrightarrow{\rm OB}|=1\cdot t=t\]
となる.
(2)は線分$\rm OR$の長さ,すなわち$\overrightarrow{\rm OR}$の大きさを求める問題である.$\overrightarrow{\rm OR}$を$\overrightarrow{\rm OA}$と$\overrightarrow{\rm OB}$の$1$次結合で表し,$|\overrightarrow{\rm OR}|^2$を計算するという方針が思いつきやすい.
$\rm R$は直線$\rm OB$と,$\rm A$を通り$\rm OP$に垂直な直線との交点であるから,$\rm OR$を2通りの方法で表して,係数比較することにより求めよう.
まず,$\rm R$は$\rm OB$上の点であるから,実数$k$を用いて
\[ \overrightarrow{\rm OR}=k\overrightarrow{\rm OB}\]
と表すことができる.
次に,$\overrightarrow{\rm OR}=\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AR}$であるから,$\overrightarrow{\rm AR}$を$\overrightarrow{\rm OA}$と$\overrightarrow{\rm OB}$で表そう.
$\rm OP\perp AR$であるから,$\overrightarrow{\rm OP}\cdot \overrightarrow{\rm AR}=0$である.
$\rm P$は$\rm AB$を$2:1$に内分する点であるから
\[ \overrightarrow{\rm OP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\rm OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\rm OB}\]
と表される.ここで,$p,q$を実数として,$\overrightarrow{\rm AR}$に平行なベクトルを$p\overrightarrow{\rm OA}+q\overrightarrow{\rm OB}$とすると
\[ \begin{aligned}0&=\overrightarrow{\rm OP}\cdot (p\overrightarrow{\rm OA}+q\overrightarrow{\rm OB})\\ &=\left( \frac{1}{3}\overrightarrow{\rm OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\rm OB}\right) \cdot (p\overrightarrow{\rm OA}+q\overrightarrow{\rm OB})\\ &=\frac{p}{3}|\overrightarrow{\rm OA}|^2+\frac{2p+q}{3}\overrightarrow{\rm OA}\cdot \overrightarrow{\rm OB}+\frac{2}{3}q|\overrightarrow{\rm OB}|^2\\ &=\frac{p}{3}\cdot 3^2+\frac{2p+q}{3}\cdot t+\frac{2}{3}q\cdot t^2\\ &=\frac{2}{3}qt^2+\frac{2p+q}{3}t+3p\end{aligned}\]
例えば$q=1$とすると
\[ \left( \frac{2t}{3}+3\right) p+\frac{2t^2+t}{3}=0\]
となるから,このとき
\[ p=-\frac{t(2t+1)}{2t+9}\]
である.したがって,$\overrightarrow{\rm AR}$は$l$を実数として
\[ \overrightarrow{\rm AR}=l\left( -\frac{t(2t+1)}{2t+9}\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}\right) \]
と表されるから
\[ \begin{aligned}\overrightarrow{\rm OR}&=\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AR}\\ &=\overrightarrow{\rm OA}+l\left( -\frac{t(2t+1)}{2t+9}\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}\right) \\ &=\left( 1-\frac{lt(2t+1)}{2t+9}\right) \overrightarrow{\rm OA}+l\overrightarrow{\rm OB}\end{aligned}\]
したがって
\[ k\overrightarrow{\rm OB}=\left( 1-\frac{lt(2t+1)}{2t+9}\right) \overrightarrow{\rm OA}+l\overrightarrow{\rm OB}\]
であるから
\[ k=l=\frac{2t+9}{t(2t+1)}\]
となる.
よって
\[ \mathrm{OR}=|\overrightarrow{\rm OR}|=|k\overrightarrow{\rm OB}|=|k||\overrightarrow{\rm OB}|=\frac{2t+9}{t(2t+1)}\cdot t=\frac{2t+9}{2t+1}\]
(3)は$\rm R$が線分$\rm OB$の$\rm B$側半分にあるような$t$の範囲を求める問題である.(2)で$\rm OR$の長さを求めたから,これを利用しよう.すなわち,$\rm OR$の長さが$\frac{t}{2}$と$t$の間であるような$t$の範囲を求めよう.
このような$t$は
\[ \frac{t}{2}\leqq \frac{2t+9}{2t+1}\leqq t\]
を満たす.
ここで注意が必要なのは,一般に,線分はその両端を含むということである.両端を含まない定義もあるが,一般的には(特に高校までの数学では)両端を含むものとして取り扱う.そのため,上の不等式では等号付き不等号を用いている.
辺々に$2(2t+1)>0$を掛けると
\[ t(2t+1)\leqq 2(2t+9)\leqq 2t(2t+1)\]
すなわち
\[ 2t^2-3t-18\leqq 0\quad かつ\quad 2t^2-t-9\geqq 0\]
したがって
\[ \frac{3-3\sqrt{17}}{4}\leqq t\leqq \frac{3+3\sqrt{17}}{4}\quad かつ\quad \left( t\leqq \frac{1-\sqrt{73}}{4}\quad または\quad \frac{1+\sqrt{73}}{4}\leqq t\right) \]
$t>0$より
\[ \frac{1+\sqrt{73}}{4}\leqq t\leqq \frac{3+3\sqrt{17}}{4}\]
(1)難易度:★☆☆☆☆
$\triangle \rm AOC$は$\angle \rm OCA=90^{\circ}$の直角三角形であるから
\[ \cos \angle \mathrm{AOB}=\cos \angle \mathrm{AOC}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OA}}=\frac{1}{3}\]
よって
\[ \overrightarrow{\rm OA}\cdot \overrightarrow{\rm OB}=|\overrightarrow{\rm OA}||\overrightarrow{\rm OB}|\cos \angle \mathrm{AOB}=3\cdot t\cdot \frac{1}{3}={\color{red}t}\]
(2)難易度:★★★☆☆
$\rm R$は$\rm OB$上の点であるから,実数$k$を用いて
\[ \overrightarrow{\rm OR}=k\overrightarrow{\rm OB}\]
と表される.また,$\rm P$は$\rm AB$を$2:1$に内分する点であるから
\[ \overrightarrow{\rm OP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\rm OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\rm OB}\]
と表される.ここで,$p$を実数として,$\overrightarrow{\rm OP}$に垂直なベクトルを$p\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}$とすると
\[ \begin{aligned}0&=\overrightarrow{\rm OP}\cdot (p\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB})\\ &=\left( \frac{1}{3}\overrightarrow{\rm OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\rm OB}\right) \cdot (p\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB})\\ &=\frac{p}{3}|\overrightarrow{\rm OA}|^2+\frac{2p+1}{3}\overrightarrow{\rm OA}\cdot \overrightarrow{\rm OB}+\frac{2}{3}|\overrightarrow{\rm OB}|^2\\ &=\frac{2}{3}t^2+\frac{2p+1}{3}t+3p\end{aligned}\]
$2t+9\neq 0$に注意すると,このとき
\[ p=-\frac{t(2t+1)}{2t+9}\]
である.したがって,$\overrightarrow{\rm AR}$は$l$を実数として
\[ \overrightarrow{\rm AR}=l\left( -\frac{t(2t+1)}{2t+9}\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}\right) \]
と表されるから
\[ \begin{aligned}\overrightarrow{\rm OR}&=\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AR}\\ &=\overrightarrow{\rm OA}+l\left( -\frac{t(2t+1)}{2t+9}\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}\right) \\ &=\left( 1-\frac{lt(2t+1)}{2t+9}\right) \overrightarrow{\rm OA}+l\overrightarrow{\rm OB}\end{aligned}\]
ゆえに
\[ k\overrightarrow{\rm OB}=\left( 1-\frac{lt(2t+1)}{2t+9}\right) \overrightarrow{\rm OA}+l\overrightarrow{\rm OB}\]
であるから
\[ k=l=\frac{2t+9}{t(2t+1)}\]
となる.よって
\[ \mathrm{OR}=|\overrightarrow{\rm OR}|=|k\overrightarrow{\rm OB}|=|k||\overrightarrow{\rm OB}|=\frac{2t+9}{t(2t+1)}\cdot t={\color{red}\frac{2t+9}{2t+1}}\]
(3)難易度:★★☆☆☆
題意を満たす$t$は,不等式
\[ \frac{t}{2}\leqq \frac{2t+9}{2t+1}\leqq t\]
を満たす.辺々に$2(2t+1)>0$を掛けると
\[ t(2t+1)\leqq 2(2t+9)\leqq 2t(2t+1)\]
$t>0$に注意してこれを解くと
\[ \color{red}\frac{1+\sqrt{73}}{4}\leqq t\leqq \frac{3+3\sqrt{17}}{4}\]