【高校数学】指数法則

累乗

まず，累乗の定義を理解しよう．

$n$を正の整数，$a$を定数または変数とする．

$a$の累乗→$a$を何回か掛けたもの
$a$の$n$乗: $a^n$→$a$を$n$回掛けたもの¹．ただし，$a^1=a$とする．
\[ a^n=\underbrace{aaa\dots \dots aa}_{n個}\]
$a^n$の指数→$n$のこと

具体例で確認しよう．

次に，指数法則を理解しよう．

$m,n$を正の整数，$a,b$を定数または変数とするとき，次の3つの性質が成り立つ．

次のように証明することができる²．

累乗の定義より
\[ \begin{aligned}a^ma^n&=(\underbrace{aaa\dots \dots aa}_{m個})(\underbrace{aaa\dots \dots aa}_{n個})\\ &=\underbrace{aaa\dots \dots aa}_{m+n個}\\ &=a^{m+n}\quad \blacksquare \end{aligned}\]
①より
\[ \begin{aligned}(a^m)^n&=\underbrace{a^ma^ma^m\dots \dots a^ma^m}_{n個}\\ &=a^{\underbrace{m+m+m+\cdots \cdots +m+m}_{n個}}\\ &=a^{mn}\quad \blacksquare \end{aligned}\]
乗法の交換法則･乗法の結合法則より
\[ \begin{aligned}(ab)^n&=\underbrace{ababab\dots \dots abab}_{n個}\\ &=(\underbrace{aaa\dots \dots aa}_{n個})(\underbrace{bbb\dots \dots bb}_{n個})\\ &=a^nb^n\quad \blacksquare \end{aligned}\]

具体例で確認しよう．

$3^3\times 3^4=3^{3+4}$である．実際
\[ 3^3\times 3^4=27\times 81=2187\]
\[ 3^{3+4}=3^7=2187\]
となる．
$(2^3)^2=2^{3\times 2}$である．実際
\[ (2^3)^2=8^2=64\]
\[ 2^{3\times 2}=2^6=64\]
となる．
$(6a)^3=6^3a^3$である．実際
\[ (6a)^3=6a\cdot 6a\cdot 6a=(6\times 6\times 6)(a\cdot a\cdot a)=216a^3\]
\[ 6^3a^3=216a^3\]
となる．

もう少し厳密に定義すると，次のようになる．
\[ \begin{aligned}a^1&=a\\ a^{n+1}&=a^na\qquad (n=1,2,3,\dots \dots )\end{aligned}\] ↩︎
数学的帰納法を用いてもう少し厳密に証明すると，次のようになる．
①$a^ma^n=a^{m+n}$の証明:
$n$に関する数学的帰納法で示す．
$n=1$のとき，累乗の定義より$a^ma=a^{m+1}$であるから成り立つ．
$n=k$のとき$a^ma^k=a^{m+k}$であると仮定すると
\[ a^ma^{k+1}=a^ma^ka=a^{m+k}a=a^{m+k+1}\]
となるから，$n=k+1$のときも成り立つ．$\blacksquare$
②$(a^m)^n=a^{mn}$の証明:
$n$に関する数学的帰納法で示す．
$n=1$のとき，累乗の定義より$(a^m)^1=a^m=a^{m\cdot 1}$であるから成り立つ．
$n=k$のとき$(a^m)^k=a^{mk}$であると仮定すると，①より
\[ (a^m)^{k+1}=(a^m)^ka^m=a^{mk}a^m=a^{mk+m}=a^{m(k+1)}\]
となるから，$n=k+1$のときも成り立つ．$\blacksquare$
③$(ab)^n=a^nb^n$の証明:
$n$に関する数学的帰納法で示す．
$n=1$のとき，累乗の定義より$(ab)^1=ab=a^1b^1$であるから成り立つ．
$n=k$のとき$(ab)^k=a^kb^k$であると仮定すると
\[ (ab)^{k+1}=(ab)^k(ab)=(a^kb^k)(ab)=a^kab^kb=a^{k+1}b^{k+1}\]
となるから，$n=k+1$のときも成り立つ．$\blacksquare$ ↩︎