零空間でない任意のベクトル空間に対して，基底が存在することを示す．
基底の延長定理
部分空間の基底にいくつかベクトルを付け加えることで，元のベクトル空間の基底を構成できる．
$m,n\in \mathbb{N}$は$m<n$を満たし，$K$を体，$V$を$K$上の$n$次元ベクトル空間，$W$を$V$の$m$次元部分空間，$\{ \bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_m\}$を$W$の基底とする．
ある$\bm{x}_{m+1},\bm{x}_{m+2},\dots ,\bm{x}_n\in V$が存在して，$\{ \bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_n\}$は$V$の基底となる．
$\bm{x}_{m+1},\bm{x}_{m+2},\dots ,\bm{x}_n\in V$を，帰納的に
\[ \bm{x}_{m+i}\in V\setminus \langle \bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_{m+i-1}\rangle _K\quad (i\in \{ 1,2,\dots ,n-m\})\]
で定める．
ただし，任意の$i\in \{ 1,2,\dots ,n-m\}$に対して
\[ \langle \bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_{m+i-1}\rangle _K\]
の次元は高々$m+i-1$であるから
\[ V\setminus \langle \bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_{m+i-1}\rangle _K\]
は空でないことに注意する．
このとき，$\bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_{m+i}$は1次独立であることを示す．
ある$k_1,k_2,\dots ,k_{m+i}\in K$が
\[ k_1\bm{x}_1+k_2\bm{x}_2+\dots +k_{m+i-1}\bm{x}_{m+i-1}+k_{m+i}\bm{x}_{m+i}=\bm{0}\]
を満たすとき
\[ k_{m+i}\bm{x}_{m+i}=-k_1\bm{x}_1-k_2\bm{x}_2-\dots -k_{m+i-1}\bm{x}_{m+i-1}\in W\]
となるが，$\bm{x}_{m+i}\not\in W$であるから，$k_{m+i}=0$
よって
\[ k_1\bm{x}_1+k_2\bm{x}_2+\dots +k_{m+i-1}\bm{x}_{m+i-1}=\bm{0}\]
であり，$\bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_{m+i-1}$は1次独立であるから
\[ k_1=k_2=\dots =k_{m+i-1}=0\]
を得る．
以上より，$\langle \bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_{m+i}\rangle _K$は$V$の部分空間であり，その次元は$m+i$である．
したがって，$\bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_n$は1次独立となるから，$\dim V=n$より，$\{ \bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_n\}$は$V$の基底である．$\blacksquare$
基底の存在定理
有限次元ベクトル空間は，零空間に加え，有限個のベクトルの組を基底に持つベクトル空間のことであった．そのため，零空間でない有限次元ベクトル空間に基底が存在することは，定義より明らかである．
実は，無限次元ベクトル空間にも基底が存在することが証明できる．
零空間でない任意のベクトル空間に対して，その基底が存在することを証明するには，選択公理を認める必要がある．
$\{ X_\lambda \} _{\lambda \in \Lambda}$を$\Lambda$を添字集合とする集合族とする．
任意の$\lambda \in \Lambda$に対して，$X_{\lambda}\neq \emptyset$ならば
\[ \prod _{\lambda \in \Lambda}X_{\lambda}\neq \emptyset \]
選択公理と同値な命題として，ツォルンの補題がある．
帰納的順序集合は極大元を持つ．
詳しくは，次の記事を参照するとよい．
基底の存在定理の証明には，ツォルンの補題を用いる必要がある．
零空間でない任意のベクトル空間は基底を持つ．
$V$を零空間でないベクトル空間とする．
集合族$B$を
\[ B\coloneqq \{ S\subset V\mid \forall \bm{x}\in S,\forall \bm{y}\in S,\bm{x}\neq \bm{y}\implies \bm{x}と\bm{y}は1次独立\} \]
により定める．
$V$は零空間でないから，$\bm{v}\in V\setminus \{ \bm{0}\}$が存在する．このとき，$\bm{v}$は1次独立であるから，$\{ \bm{v}\} \in B$
よって，$B$は空でない．
また，$B$は集合の包含関係に関して順序集合である．
$B$の任意の全順序部分集合$A$に対して
\[ A^{\prime}\coloneqq \bigcup _{S\in A}S\]
とおくと，任意の$S\in A$に対して，$S\subset A^{\prime}$である．
このとき，$A^{\prime}\in B$であることを示す．
実際，任意の$\bm{v}_1,\bm{v}_2\in A^{\prime}$に対して，ある$S_1,S_2\in A$が存在して，$\bm{v}_1\in S_1$かつ$\bm{v}_2\in S_2$となる．
$A$は全順序集合であるから，ある$S^{\prime}\in A$が存在して，$S_1\cup S_2\subset S^{\prime}$となる．
よって，$\bm{v}_1,\bm{v}_2\in S^{\prime}$であるから，$\bm{v}_1,\bm{v}_2$は1次独立，すなわち$A^{\prime}\in B$であるから，$A^{\prime}$は$A$の上界であり，$B$は帰納的である．
したがって，ツォルンの補題より，$B$の極大元$B^{\prime}$が存在する．
このとき，$B^{\prime}$が$V$の基底であることを示す．
ある$\bm{v}_0\in V$が存在して，$\bm{v}_0$が$B^{\prime}$の有限個の元の1次結合で表されないと仮定する．
異なる$\bm{w}_1,\bm{w}_2\in B^{\prime}\cup \bm{v}_0$を任意にとる．
$\bm{w}_1,\bm{w}_2\in B^{\prime}$のとき，$B^{\prime}\subset B$であるから，$\bm{w}_1$と$\bm{w}_2$は1次独立である．
$\bm{w}_1=\bm{v}_0$かつ$\bm{w}_2\in B^{\prime}$であるとき，$k_1,k_2\in K$が
\[ k_1\bm{v}_0+k_2\bm{w}_2=\bm{0}\]
を満たすとき，ある$n\in \mathbb{N}$と$l_1,l_2,\dots ,l_n\in K$，相異なる$\bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_n\in B^{\prime}$が存在して
\[ \bm{w}_2=l_1\bm{x}_1+l_2\bm{x}_2+\dots +l_n\bm{x}_n\]
となる．よって
\[ \begin{aligned}k_1\bm{v}_0&=-k_2(l_1\bm{x}_1+l_2\bm{x}_2+\dots +l_n\bm{x}_n)\\ &=-k_2l_1\bm{x}_1-k_2l_2\bm{x}_2-\dots -k_2l_n\bm{x}_n\end{aligned}\]
仮定より$k_1=0$であるから
\[ k_2\bm{w}_2=\bm{0}\]
$\bm{w}_2\neq \bm{0}$に注意すると，$k_2=0$
よって，$\bm{w}_1=\bm{v}_0,\bm{w}_2$は1次独立である．
以上より，$B^{\prime}\cup \{ \bm{v}_0\} \in B$である．
$B^{\prime}\subsetneq B^{\prime}\cup \{ \bm{v}_0\}$であるから，これは$B^{\prime}$が$B$の極大元であることに矛盾する．
したがって，任意の$V$の元は$B^{\prime}$の有限個の元の1次結合で表されるから，$B^{\prime}$は$V$の基底である．$\blacksquare$
この記事では証明を割愛するが1，正則性公理を用いると，基底の存在定理から選択公理を導くことができ，選択公理と基底の存在定理が同値であることを示すことができる．
- いつかこの記事に証明を掲載するかもしれない． ↩︎