ユークリッド空間に定義されているユークリッド距離について，距離空間の視点から解説する．
以下，$n\in \mathbb{N}$とする．
ユークリッド距離とユークリッド空間の定義
$\mathbb{R}$の$n$個の直積に，2点の｢距離｣を導入しよう．
写像$d:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$を
\[ \begin{aligned}d(\bm{x},\bm{y})\coloneqq &\| \bm{x}-\bm{y}\| \\ =&\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i)^2}\end{aligned}\\ (\bm{x}=(x_1,\dots x_n),\bm{y}=(y_1,\dots ,y_n)\in \mathbb{R}^n)\]
により定めるとき，$d$をユークリッド距離(またはユークリッド距離関数)(Euclidean distance)(またはユークリッド計量(Euclidean metric)，ピタゴラス計量(Pythagorean metric))という．
特に，$\bm{p},\bm{q}\in \mathbb{R}^n$に対して，$d(\bm{p},\bm{q})$を$\bm{p}$と$\bm{q}$の距離(distance)という．
$\mathbb{R}$のユークリッド距離は，直線上の2点を結ぶ線分の長さ，$\mathbb{R}^2$のユークリッド距離は，平面上の2点を結ぶ線分の長さ，$\mathbb{R}^3$のユークリッド距離は，空間上の2点を結ぶ線分の長さを表している．
ユークリッド距離を具体的に計算してみよう．
$\bm{x}=(3,1,-2),\bm{y}=(-4,1,2)\in \mathbb{R}^3$とする．
\[ \begin{aligned}&\| \bm{x}-\bm{y}\| \\ =&\sqrt{(3+4)^2+(1-1)^2+(-2-2)^2}\\ =&\sqrt{49+0+16}=\sqrt{65}\end{aligned}\]
$\mathbb{R}$のユークリッド距離$d:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$は，次のように定義される．
\[ d(x,y)=|x-y|\quad (x,y\in \mathbb{R})\]
$\mathbb{R}^n$にユークリッド距離を導入することで，ユークリッド空間が構成できる．
$d:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$をユークリッド距離とする．
$\mathbb{R}^n$を$n$次元ユークリッド空間($n$次元空間)(Euclidean $n$-space)といい，$(\mathbb{R}^n,d)$とも表す．
また，$\mathbb{R}^n$の元を点(point)ともいう．
集合$\mathbb{R}^n$とユークリッド空間$\mathbb{R}^n$は異なる概念である．前者は$n$個の実数の組全体の集まりであり，後者は前者の集合にユークリッド距離という写像が定義された，写像が備わった集合のことである．
ユークリッド距離の性質
以下，$d:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$をユークリッド距離とする．
ユークリッド距離が持つ重要な性質を紹介する．
- (非退化性(positivity))
任意の$\bm{x},\bm{y}\in \mathbb{R}^n$に対して
\[ d(\bm{x},\bm{y})\ge 0\]
特に，$d(\bm{x},\bm{y})=0$であるための必要十分条件は，$\bm{x}=\bm{y}$である． - (対称性(symmetry))
任意の$\bm{x},\bm{y}\in \mathbb{R}^n$に対して，
\[ d(\bm{x},\bm{y})=d(\bm{y},\bm{x})\] - (三角不等式(triangle inequality))
任意の$\bm{x},\bm{y},\bm{z}\in \mathbb{R}^n$に対して
\[ d(\bm{x},\bm{z})\le d(\bm{x},\bm{y})+d(\bm{y},\bm{z})\]
\[ \begin{aligned}\bm{x}=&(x_1,x_2,\dots ,x_n)\\ \bm{y}=&(y_1,y_2,\dots ,y_n)\\ \bm{z}=&(z_1,z_2,\dots ,z_n)\end{aligned}\]
とする．
- 定義1より
\[ d(\bm{x},\bm{y})=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i)^2}\ge 0\quad \cdots (\ast )\]
であり，任意の$i\in \{ 1,2,\dots ,n\}$に対して，$x_i=y_i$のとき，すなわち$\bm{x}=\bm{y}$のとき，$(\ast )$は最小値$0$をとる．$\blacksquare$ - 定義1より
\[ \begin{aligned}&d(\bm{x},\bm{y})\\ =&\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i)^2}\\ &\sqrt{\sum _{i=1}^n(y_i-x_i)^2}\\ =&d(\bm{y},\bm{x})\quad \blacksquare \end{aligned}\] - コーシー･シュワルツの不等式より
\[ \left( \sum _{i=1}^nx_iy_i\right) ^2\le \left( \sum _{i=1}^nx_i^2\right) \left( \sum _{i=1}^ny_i^2\right) \]
であるから
\[ \begin{aligned}&\sum _{i=1}^n(x_i+y_i)^2\\ =&\sum _{i=1}^nx_i^2+2\sum _{i=1}^nx_iy_i+\sum _{i=1}^ny_i^2\\ \le &\sum _{i=1}^nx_i^2+2\sqrt{\left( \sum _{i=1}^nx_i^2\right) \left( \sum _{i=1}^ny_i^2\right) }+\sum _{i=1}^ny_i^2\\ =&\left( \sqrt{\sum _{i=1}^nx_i^2}+\sqrt{\sum _{i=1}^ny_i^2}\right) ^2\end{aligned}\]
よって
\[ \begin{aligned}&d(\bm{x},\bm{z})\\ =&\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i+y_i)^2}\\ \le &\sqrt{\sum _{i=1}^nx_i^2}+\sqrt{\sum _{i=1}^ny_i^2}\\ =&d(\bm{x},\bm{y})+d(\bm{y},\bm{z})\quad \blacksquare \end{aligned}\]
ユークリッド距離が満たす3つの性質(非退化性，対称性，三角不等式)は，とても重要な性質であり，一般の集合$X$に対して，この3性質を満たす写像$d:X\times X\to \mathbb{R}$を，$X$の距離関数といい，距離空間が定義される．
距離空間については，以下の記事を参照していただきたい．
ユークリッド距離の派生
ユークリッドノルム
ユークリッド距離の定義により，ユークリッドノルムが定まる．
$\bm{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in \mathbb{R}^n$とする．
\[ \begin{aligned}\| \bm{x}\| =&\| \bm{x}-\bm{0}\| =&d(\bm{x},\bm{0})\\ =&\sqrt{\sum _{i=1}^nx_i^2}\end{aligned}\]
を$\bm{x}$のユークリッドノルム(Euclidean norm)(またはユークリッド長さ(Euclidean length)，大きさ(magnitude))という．
ユークリッド距離は，ユークリッド空間上の2点から実数への写像であったのに対して，ユークリッドノルムは，ユークリッド空間上の1点から実数への写像であることに注意が必要である．
$\bm{x}=(1,4,-3)\in \mathbb{R}^3$とする．
\[ \| \bm{x}\| =\sqrt{1^2+4^2+(-3)^2}=\sqrt{26}\]
平方ユークリッド距離
写像$d^2:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$を
\[ \begin{aligned}d^2(\bm{x},\bm{y})=&d(\bm{x},\bm{y})\\ =&\| \bm{x}-\bm{y}\| ^2\\ =&\sum _{i=1}^n(x_i-y_i)^2\end{aligned}\\ (\bm{x}=(x_1,\dots x_n),\bm{y}=(y_1,\dots ,y_n)\in \mathbb{R}^n)\]
により定めるとき，$d^2$を平方ユークリッド距離(squared Euclidean distance)という．
ユークリッド距離は，平方根によって定義されるため，実際の計算にはあまり向かない．そこで，ユークリッド距離を2乗した，平方ユークリッド距離を考えることにより，計算が便利になることがある．
例えば，命題1の③の証明では，平方ユークリッド距離について計算していることが分かる．