集合から体を生成する方法についてまとめた．
体の生成
与えられた集合から，群や環を生成できたように，体を生成することができる．
$K$を体，$L$を$K$の部分体，$S$を$K$の部分集合とする．
$L$上$S$で生成された体(field generated by $S$)$L(S)$を，次のように定める．
- $S$が有限集合，すなわちある$n\in \mathbb{N}$が存在して，$S=\{ \alpha _1,\alpha _2,\dots ,\alpha _n\}$となるとき，
$\bm{\alpha}\coloneqq (\alpha _1,\alpha _2,\dots ,\alpha _n),\bm{x}\coloneqq (x_1,x_2,\dots ,x_n)$に対して，集合
\[ L(S)\coloneqq L(\alpha _1,\alpha _2,\dots ,\alpha _n)\coloneqq \left\{ \frac{f(\bm{\alpha})}{g(\bm{\alpha})}\in K\,\middle|\,f(\bm{x}),g(\bm{x})\in L[\bm{x}],\,g(\bm{\alpha})\neq 0\right\} \] - $S$が無限集合であるとき
\[ L(S)\coloneqq \bigcup _{\substack{S^{\prime}\subset S\\ S^{\prime}は有限集合}}L(S^{\prime})\]
このとき，$S$を$L(S)$の生成系(または生成集合)(generating set of a group)といい，$S$の元を$L(S)$の生成元(generator)という．
定義1がwell-definedであることを確かめよう．
$K$を体，$L$を$K$の部分体，$S$を$K$の部分集合とする．
$L(S)$は$S$を含む$K/L$の最小の中間体である．
$S\subset L(S)$及び$L\subset L(S)\subset K$は明らかである．
まず，$L(S)$が体であることを示す．
$S$が有限集合，すなわちある$n\in \mathbb{N}$が存在して，$S=\{ \alpha _1,\alpha _2,\dots ,\alpha _n\}$となる場合について示せば良い．
$\bm{\alpha}\coloneqq (\alpha _1,\alpha _2,\dots ,\alpha _n),\bm{x}\coloneqq (x_1,x_2,\dots ,x_n)$とし，$f_1,f_2,g_1,g_2\in L[\bm{x}]$，$g_1(\bm{\alpha})\neq 0,g_2(\bm{\alpha} _2)\neq 0$とする．
\[ \frac{f_1(\bm{\alpha})}{g_1(\bm{\alpha})}+\frac{f_2(\bm{\alpha})}{g_2(\bm{\alpha})}=\frac{f_1(\bm{\alpha})g_2(\bm{\alpha})+f_2(\bm{\alpha})g_1(\bm{\alpha})}{g_1(\bm{\alpha})g_2(\bm{\alpha})}\in L(S)\]
\[ \frac{f_1(\bm{\alpha})}{g_1(\bm{\alpha})}+\frac{f_2(\bm{\alpha})}{g_2(\bm{\alpha})}=\frac{f_1(\bm{\alpha})f_2(\bm{\alpha})}{g_1(\bm{\alpha})g_2(\bm{\alpha})}\in L(S)\]
であるから，$L(S)$は体である．
次に，$L(S)$の最小性を示す．
$M$が$S$を含む$K/L$の中間体であるとき，$S$の有限個の元の有理式であって，分母が$0$でないものは，$M$の元である．
よって，$L(S)\subset M$である．$\blacksquare$
体の生成の性質
$K$を体，$L$を$K$の部分体とする．
- ある$\alpha \in K$が存在して，$K=L(\alpha )$となるとき，$K$を$L$の単拡大(または単純拡大)(simple extension)という．
- ある有限集合$S\subset K$が存在して，$K=L(S)$となるとき，$K$は$L$上有限生成(finitely generated)であるという．
2つの体が与えられたとき，それらを含む最小の体を構成することができる．
$K$を体，$L,M$を$K$の部分体，$K_0$を$K$に含まれる素体とする．
$K_0(L\cup M)$を$L$と$M$の合成体(composite field)といい，$LM$(または$L(M)$，$M(L)$で表す．
有限次拡大と有限生成について，次の命題が成り立つ．
$K$を体，$L$を$K$の部分体とする．
$K/L$が有限次拡大ならば，$K$は$L$上有限生成である．
$n\coloneqq [K:L]$とすると，$K$の$L$上の基底$\{ \alpha _1,\alpha _2,\dots ,\alpha _n\}$が存在して
\[ \begin{aligned}K=&\left\{ \sum _{i=1}^nc_i\alpha _i\,\middle|\,c_1,c_2,\dots ,c_n\in L\right\} \\ =&L(\alpha _1,\alpha _2,\dots ,\alpha _n)\end{aligned}\]
となる．$\blacksquare$
体の準同型写像について，次の性質が成り立つ．
$K$を体，$L,M$を$K$の拡大体，$S$を$L$の部分集合，$\phi ,\psi :L\to M$を$K$準同型とする．
- $L=K(S)$であり，任意の$x\in S$に対して，$\phi (x)=\psi (x)$ならば，$\phi =\psi$である．
- $\phi (K(S))=K(\phi (S))$
$S$が有限集合，すなわちある$n\in \mathbb{N}$が存在して，$S=\{ \alpha _1,\alpha _2,\dots ,\alpha _n\}$となる場合について示せば良い．
- $f,g\in L[x_1,x_2,\dots ,x_n]$，$g(\alpha _1,\alpha _2,\dots ,\alpha _n)\neq 0$とする．
\[ \begin{aligned}&\phi \left( \frac{f(\alpha _1,\alpha _2,\dots ,\alpha _n)}{g(\alpha _1,\alpha _2,\dots ,\alpha _n)}\right) \\ =&\frac{f(\phi (\alpha _1),\phi (\alpha _2),\dots ,\phi (\alpha _n))}{g(\phi (\alpha _1),\phi (\alpha _2),\dots ,\phi (\alpha _n))}\\ =&\frac{f(\psi (\alpha _1),\psi (\alpha _2),\dots ,\psi (\alpha _n))}{g(\psi (\alpha _1),\psi (\alpha _2),\dots ,\psi (\alpha _n))}\\ =&\psi \left( \frac{f(\alpha _1,\alpha _2,\dots ,\alpha _n)}{g(\alpha _1,\alpha _2,\dots ,\alpha _n)}\right) \\ =&\psi \end{aligned}\]
であるから，$\phi =\psi$である．$\blacksquare$ - $\phi$は環準同型写像であるから
\[ \begin{aligned}&\phi (K(S))\\ =&\left\{ \phi \left( \frac{f(\alpha _1,\alpha _2,\dots ,\alpha _n)}{g(\alpha _1,\alpha _2,\dots ,\alpha _n)}\right) \,\middle|\,f,g\in L[x_1,x_2,\dots ,x_n],\,g(\alpha _1,\alpha _2,\dots ,\alpha _n)\neq 0\right\} \\ =&\left\{ \frac{f(\phi (\alpha _1),\phi (\alpha _2),\dots ,\phi (\alpha _n))}{g(\phi (\alpha _1),\phi (\alpha _2),\dots ,\phi (\alpha _n))}\,\middle|\,f,g\in L[x_1,x_2,\dots ,x_n],\,g(\phi (\alpha _1),\phi (\alpha _2),\dots ,\phi (\alpha _n))\neq 0\right\} \\ =&K(\phi (S))\quad \blacksquare \end{aligned}\]
体の生成の例
体の生成について，いくつか例を紹介しよう．
\[ \mathbb{C}=\mathbb{R}[\sqrt{-1}]=\mathbb{R}(\sqrt{-1})\]
\[ \begin{aligned}&\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})\\ =&\left\{ \frac{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}}{e+f\sqrt{2}+g\sqrt{3}+h\sqrt{6}}\in \mathbb{R}\,\middle|\,a,b,c,d,e,f,g,h\in \mathbb{Q},e+f\sqrt{2}+g\sqrt{3}+h\sqrt{6}\neq 0\right\} \\ =&\left\{ \frac{a+b\sqrt{3}}{c+d\sqrt{3}}\in \mathbb{R}\,\middle|\,a,b,c,d\in \mathbb{Q}[\sqrt{2}],c+d\sqrt{3}\neq 0\right\} \\ =&\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{3})\end{aligned}\]
一方で，命題1の逆は成り立たない．
$K$を体とする．
$K(x)$は$K$上有限生成であるが，$[K(x):K]=\infty$であるから，$K(x)/K$は無限次拡大である．