数列の極限と四則演算

実数$\varepsilon >0$を任意にとる．
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\alpha$より，
ある$N_1\in \mathbb{N}$が存在し，$n\ge N_1$となる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$|a_n-\alpha |<\dfrac{\varepsilon}{2}$が成り立つ．
また，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}b_n=\beta$より，
ある$N_2\in \mathbb{N}$が存在し，$n\ge N_2$となる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$|b_n-\beta |<\dfrac{\varepsilon}{2}$が成り立つ．
ここで，$N=\max \{ N_1,N_2\}$とおくと，$n\ge N$となる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し
\[ |(a_n+b_n)-(\alpha +\beta )|=|(a_n-\alpha )+(b_n-\beta )|\le |a_n-\alpha |+|b_n-\beta |<\dfrac{\varepsilon}{2}+\dfrac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \]
が成り立つから，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(a_n+b_n)=\alpha +\beta$である．$\blacksquare$

実数$\varepsilon >0$を任意にとる．
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\alpha$より，
ある$N\in \mathbb{N}$が存在し，$n\ge N$となる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$|a_n-\alpha |<\dfrac{\varepsilon}{|c|+1}$が成り立つ¹．
よって，$n\ge N$となる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し
\[ |ca_n-c\alpha |=|c(a_n-\alpha )|\le |c||a_n-\alpha |<\dfrac{|c|}{|c|+1}\varepsilon<\varepsilon \]
が成り立つから，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(ca_n)=c\alpha$である．$\blacksquare$

実数$\varepsilon >0$を任意にとる．
$\{ b_n\} _{n=1}^{\infty}$は収束するから，定理2より，ある実数$M>0$が存在し，任意の$n\in \mathbb{N}$に対し$|b_n|<M$となる．
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\alpha$より，
ある$N_1\in \mathbb{N}$が存在し，$n\ge N_1$となる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$|a_n-\alpha |<\dfrac{\varepsilon}{2M}$が成り立つ．
また，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}b_n=\beta$より，
ある$N_2\in \mathbb{N}$が存在し，$n\ge N_2$となる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$|b_n-\beta |<\dfrac{\varepsilon}{2(|\alpha |+1)}$が成り立つ．
ここで，$N=\max \{ N_1,N_2\}$とおくと，$n\ge N$となる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し
\[ \begin{aligned}|a_nb_n-\alpha \beta |&=|(a_n-\alpha )b_n+\alpha (b_n-\beta )|\\ &\le |a_n-\alpha ||b_n|+|\alpha ||b_n-\beta |\\ &<\dfrac{\varepsilon}{2M}\cdot M+|\alpha |\dfrac{\varepsilon}{2(|\alpha |+1)}<\varepsilon \end{aligned}\]
が成り立つから，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_nb_n=\alpha \beta$である．$\blacksquare$

定理1の③より，条件を満たす数列$\{ b_n\} _{n=1}^{\infty}$について，$\displaystyle \lim _{n\to \infty}\frac{1}{b_n}=\dfrac{1}{\beta}$であることを示せばよい．

実数$\varepsilon >0$を任意にとる．
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}b_n=\beta$より，$\beta \neq 0$であるから，
ある$N_1\in \mathbb{N}$が存在し，$n\ge N_1$となる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$|b_n-\beta |<\dfrac{|\beta |}{2}$が成り立つ．よって
\[ |\beta |-|b_n|\le |\beta -b_n|=|b_n-\beta |<\frac{|\beta |}{2}\]
すなわち$\dfrac{|\beta |}{2}<|b_n|$である．

また，ある$N_2\in \mathbb{N}$が存在し，$n\ge N_2$となる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$|b_n-\beta |<\dfrac{|\beta |^2}{2}\varepsilon$が成り立つ．
ここで，$N^{\prime}=\max \{ N,N_1,N_2\}$とおくと，$n\ge N^{\prime}$となる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し
\[ \left| \frac{1}{b_n}-\frac{1}{\beta}\right| =\left| \frac{\beta -b_n}{\beta b_n}\right| =\frac{|b_n-\beta |}{|\beta ||b_n|}<\frac{2}{|\beta |^2}\cdot \frac{|\beta |^2}{2}\varepsilon<\varepsilon \]
が成り立つから，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}$である．$\blacksquare$