直接計算することが困難な数列の極限は，数列の不等式評価によってその極限を求めることができるようになる場合がある．
数列の極限と不等式
十分大きい$n\in \mathbb{N}$について，2つの数列$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty},\{ b_n\}_{n=1}^{\infty}$の間に$a_n\le b_n$という不等式が成り立つとき，その極限についても大小関係が保存され，$\alpha \le \beta$となる．
数列$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty},\{ b_n\}_{n=1}^{\infty}$に対し，ある$\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$が存在し，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\alpha,\lim_{n\to \infty}b_n=\beta$であるとする．
ある$N\in \mathbb{N}$が存在し，$n\ge N$なる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$a_n\le b_n$が成り立つならば，$\alpha \le \beta$である．
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\alpha$より，
ある$N_1\in \mathbb{N}$が存在し，$n\ge N_1$となる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$|a_n-\alpha |<\dfrac{\alpha -\beta}{2}$すなわち
\[ \alpha -\dfrac{\alpha -\beta}{2}<a_n<\alpha +\dfrac{\alpha -\beta}{2}\]
が成り立つ．
また，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}b_n=\beta$より，
ある$N_2\in \mathbb{N}$が存在し，$n\ge N_2$となる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$|b_n-\beta |<\dfrac{\alpha -\beta}{2}$すなわち
\[ \beta -\dfrac{\alpha -\beta}{2}<b_n<\beta +\dfrac{\alpha -\beta}{2}\]
が成り立つ．
ここで，$N^{\prime}=\max \{ N,N_1,N_2\}$とおき，$\alpha >\beta$であると仮定すると，$n\ge N^{\prime}$となる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し
\[ b_n<\beta +\dfrac{\alpha -\beta}{2}=\alpha -\dfrac{\alpha -\beta}{2}<a_n\]
となり矛盾する．したがって，$\alpha \le \beta$である．$\blacksquare$
- 任意の$n\in \mathbb{N}$に対し
\[ 1-\frac{1}{n}\le 2-\frac{1}{n}\]
が成り立つから
\[ \lim _{n\to \infty}\left( 1-\frac{1}{n}\right) \le \lim _{n\to \infty}\left( 2-\frac{1}{n}\right) \]
である．実際
\[ \lim _{n\to \infty}\left( 1-\frac{1}{n}\right) =1\]
\[ \lim _{n\to \infty}\left( 2-\frac{1}{n}\right) =2\]
である． - 定理1を少し強めた次の主張
数列$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty},\{ b_n\}_{n=1}^{\infty}$に対し，ある$\alpha \in \mathbb{R}$が存在し，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\alpha,\lim_{n\to \infty}b_n=\beta$であるとする．ある$N\in \mathbb{N}$が存在し，$n\ge N$なる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$a_n<b_n$が成り立つならば，$\alpha <\beta$である．
は成り立たない．実際，任意の$n\in \mathbb{N}$に対し
\[ \frac{1}{n}<\frac{2}{n}\]
が成り立つが
\[ \lim _{n\to \infty}\frac{1}{n}=\lim _{n\to \infty}\frac{2}{n}=0\]
である．
定理1から，次が直ちに従う．
$M\in \mathbb{R}$，$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$を数列とする．ある$\alpha \in \mathbb{R}$が存在し，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\alpha$であるとき，次が成り立つ．
- ある$N\in \mathbb{N}$が存在し，$n\ge N$なる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$a_n\le M$が成り立つならば，$\alpha \le M$である．
- ある$N\in \mathbb{N}$が存在し，$n\ge N$なる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$M\le a_n$が成り立つならば，$M\le \alpha$である．
数列$\{ b_n\} _{n=1}^{\infty}$を
\[ b_n=M\quad (n\in \mathbb{N})\]
により定める．
- 任意の$n\in \mathbb{N}$に対し
\[ a_n\le b_n\]
が成り立つから，定理1($N=1$の場合)より
\[ \alpha \le \lim _{n\to \infty}b_n=\lim _{n\to \infty}M=M\]
が得られる．$\blacksquare$ - 任意の$n\in \mathbb{N}$に対し
\[ b_n\le a_n\]
が成り立つから，定理1($N=1$の場合)より
\[ M=\lim _{n\to \infty}M=\lim _{n\to \infty}b_n\le \alpha \]
が得られる．$\blacksquare$
追い出しの原理
定理1の発散バージョンも存在する．
$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty},\{ b_n\}_{n=1}^{\infty}$を数列とする．
- $\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=+\infty$であるとする．
ある$N\in \mathbb{N}$が存在し，$n\ge N$なる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$a_n\le b_n$が成り立つならば，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}b_n=+\infty$である． - $\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=-\infty$であるとする．
ある$N\in \mathbb{N}$が存在し，$n\ge N$なる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$b_n\le a_n$が成り立つならば，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}b_n=-\infty$である．
- $M\in \mathbb{R}$を任意にとる．
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=+\infty$より，
ある$N_1\in \mathbb{N}$が存在し，$n\ge N_1$となる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$a_n>M$が成り立つ．
ここで，$N^{\prime}=\max \{ N,N_1\}$とおくと，$n>N^{\prime}$を満たす任意の$n\in \mathbb{N}$に対し
\[ b_n\ge a_n>M\]
が成り立つ．したがって，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}b_n=+\infty$である．$\blacksquare$ - $m\in \mathbb{R}$を任意にとる．
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=-\infty$より，
ある$N_1\in \mathbb{N}$が存在し，$n\ge N_2$となる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$a_n<m$が成り立つ．
ここで，$N^{\prime}=\max \{ N,N_2\}$とおくと，$n>N^{\prime}$を満たす任意の$n\in \mathbb{N}$に対し
\[ b_n\le a_n<m\]
が成り立つ．したがって，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}b_n=-\infty$である．$\blacksquare$
任意の$n\in \mathbb{N}$に対し
\[ n\le n^2\]
が成り立ち
\[ \lim _{n\to \infty}n=+\infty \]
であるから，定理2より
\[ \lim _{n\to \infty}n^2=+\infty \]
はさみうちの原理
受験数学で頻出のはさみうちの原理も，$\varepsilon -N$論法を駆使することで厳密な証明を与えることができる．
定理1も定理3も直接計算するのが困難な極限の値を求める際に有効な手段である．定理1は極限値の範囲を絞り込むことができるのに対し，定理3は極限値を決定することができるという点で強力である．
数列$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty},\{ b_n\}_{n=1}^{\infty}$に対し，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\lim_{n\to \infty}b_n=\alpha$であるとする．
ある$N\in \mathbb{N}$が存在し，$n\ge N$なる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，数列$\{ c_n\}_{n=1}^{\infty}$が$a_n\le c_n\le b_n$を満たすならば，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}c_n=\alpha$である．
実数$\varepsilon >0$を任意にとる．
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\alpha$より，
ある$N_1\in \mathbb{N}$が存在し，$n\ge N_1$となる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$|a_n-\alpha |<\varepsilon$すなわち
\[ \alpha -\varepsilon <a_n<\alpha +\varepsilon \]
が成り立つ．
また，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}b_n=\alpha$より，
ある$N_2\in \mathbb{N}$が存在し，$n\ge N_2$となる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$|b_n-\beta |<\varepsilon$すなわち
\[ \alpha -\varepsilon <b_n<\alpha +\varepsilon \]
が成り立つ．
ここで，$N^{\prime}=\max \{ N,N_1,N_2\}$とおくと，$n>N^{\prime}$を満たす任意の$n\in \mathbb{N}$に対し
\[ \alpha -\varepsilon <a_n\le c_n\le b_n<\alpha +\varepsilon \]
すなわち
\[ |c_n-\alpha |<\varepsilon \]
であるから，$\displaystyle \lim _{n\to \infty}c_n=\alpha$である．$\blacksquare$
任意の$n\in \mathbb{N}$に対し
\[ 0\le \frac{1}{2^n}\le \frac{1}{n}\]
が成り立ち
\[ \lim _{n\to \infty}0=\lim _{n\to \infty}\frac{1}{n}=0\]
であるから，定理3より
\[ \lim _{n\to \infty}\frac{1}{2^n}=0\]