2025年度東大文系数学第1問

問題

$a$を正の実数とする．座標平面において，放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(a,a^2)$における$C$の接線と直交し，$\rm P$を通る直線を$\ell$とおく．$\ell$と$C$の交点のうち，$\rm P$と異なる点を$\rm Q$とおく．

(1) $\rm Q$の$x$座標を求めよ．

$\rm Q$における$C$の接線と直交し，$\rm Q$を通る直線を$m$とおく．$m$と$C$の交点のうち，$\rm Q$と異なる点を$\rm R$とおく．

(2) $a$がすべての正の実数を動くとき，$\rm R$の$x$座標の最小値を求めよ．

(2025年度東京大学前期文系第1問)

当記事で紹介する解答は東京大学が示した解答ではありません．

【大学入試】最大値･最小値の解法

平方完成をする:2乗の形をつくり，任意の実数$r$に対して$r^2\geqq 0$であることを利用
→等号成立条件は$r=0$
相加相乗平均の不等式:任意の$a,b>0$に対して$a+b\geqq 2\sqrt{ab}$であることを利用
→等号成立条件は$a=b$
図形的処理:方程式を座標平面(空間)上に図示
→共有点の存在範囲を考える
増減表を書く:微分して増減表を書く(文系数学で多項式以外の最大･最小→微分は用いない)
→端点と極値を調べる
コーシー･シュワルツの不等式:任意の実数$a,b,c,d$に対して$(ac+bd)^2\leqq (a^2+b^2)(c^2+d^2)$(ベクトルの内積は距離の積以下である)であることを利用
→等号成立条件は$ad=bc$(ベクトルが平行)

｢接線｣というフレーズが見えた瞬間に｢微分｣を意識することができれば，典型的な処理で解ける．
(1)は$C$の$\rm P$における法線と$C$の交点を考える典型的な問題であり，(2)は(1)と同様の処理を$\rm Q$について行うことで$\rm R$の$x$座標を$a$の式で表し，その最小値を求める問題．文系数学の最大･最小の議論は平方完成，相加相乗平均，微分のいずれかであることがほとんどであるから，それを意識するようにしよう．

まずは(1)．(1)は$\rm Q$の$x$座標を求める問題だが，(1)がなくても$\rm Q$の座標は求めておきたい．

さて，この問題は典型的な処理で解ける．まずは微分して$\rm P$における$C$の接線の傾きを調べよう．$y=x^2$を$x$について微分すると
\[ y^{\prime}=2x\]
であるから，$\rm P$における$C$の接線の傾きは$2a$である．$\ell$はこの接線と垂直に交わるから，$a\neq 0$より，$\ell$の傾きは$-\dfrac{1}{2a}$であることが分かる．

【復習】$xy$平面上の直線の直交

$xy$直交座標平面上で，傾き$m\neq 0$の直線と傾き$n\neq 0$の直線が垂直に交わる必要十分条件は
\[ mn=-1\]

$\ell$は$\rm P$を通る($\ell$は$C$の$\rm P$における法線である)ことから，$\ell$の方程式は
\[ \ell :\quad y=-\frac{1}{2a}x+a^2+\frac{1}{2}\]
である．$\rm Q$は$C$と$\ell$の共有点のうち，$\rm P$でないほうであるから，求める$x$座標は次の方程式の解であることが分かる．
\[ x^2=-\frac{1}{2a}x+a^2+\frac{1}{2}\]
これを整理すると
\[ 2ax^2+x-2a^3-a=0\]
この2次方程式の2つの解のうち，1つは$\rm P$の$x$座標を与える$x=a$であることから，因数定理より左辺は因数分解可能であり
\[ (x-a)(2ax+2a^2+1)=0\]
よって，$\rm Q$の$x$座標は，方程式$2ax+2a^2+a=0$の解$x={\color{red}-\dfrac{2a^2+1}{2a}}={\color{red}-a-\dfrac{1}{2a}}$である．

ちなみに，$\rm Q$の座標は$\left( -\dfrac{2a^2+1}{2a},\dfrac{(2a^2+1)^2}{4a^2}\right)$である．

(1)の解答

難易度:★★★☆☆

$\mathrm{P}(a,a^2)$における$C$の接線の傾きは$2a$であるから，$\ell$の傾きは$-\dfrac{1}{2a}$であり，$\ell$は$\rm P$を通ることから，$\ell$の方程式は
\[ y=-\frac{1}{2a}x+a^2+\frac{1}{2}\]
である．$C$と$\ell$の交点$\rm P,Q$の$x$座標は，方程式
\[ x^2=-\frac{1}{2a}x+a^2+\frac{1}{2}\]
の解である．これを整理すると
\[ (x-a)(2ax+2a^2+1)=0\]
であり，解は$x=a,-\frac{2a^2+1}{2a}$である．$\rm P$と$\rm Q$は異なるから，$\rm Q$の$x$座標は${\color{red}-\dfrac{2a^2+1}{2a}}={\color{red}-a-\dfrac{1}{2a}}$である．

それでは(2)に移ろう．

どうやら今度は$\rm Q$における$C$の法線を$m$とし，$C$と$m$の共有点のうち，$\rm Q$でないほうを$\rm R$とし，その$x$座標を調べるようである．

ということは，先程と同様の計算をすれば良い…のだが，(1)を利用すると真面目に計算する必要がなくなる．

というのも，$\rm Q$は$\rm P$と同様に$C$上の点であることから，(1)の$\rm P$を$\rm Q$と読み替えると，$\rm R$の$x$座標は(1)で求めた$\rm Q$の$x$座標$-a-\dfrac{1}{2a}$の$a$に$\rm Q$の$x$座標$-a-\dfrac{1}{2a}$を代入したものになるはずである(すなわち，$b=-a-\dfrac{1}{2a}$とおくと，(1)より$\rm R$の$x$座標は$-b-\dfrac{1}{2b}$となる)．よって，$\rm R$の$x$座標は
\[ -\left( -a-\frac{1}{2a}\right) -\frac{1}{2\left( -a-\frac{1}{2a}\right)}=a+\frac{1}{2a}+\frac{a}{2a^2+1}\]
である．では，$a>0$のときの最小値を考えよう．まずは，どの方針で計算するかを決定することが重要である．

微分は使えそうにない．$\rm R$の$x$座標は$a$の分数関数で与えられている．分数関数の微分は文系数学の範囲を超越してしまう．よって，平方完成か相加相乗平均の不等式を用いることになる．

平方完成も厳しそうであるから，ここでは相加相乗平均の不等式を用いることを考えてみる．
\[ a+\frac{1}{2a}+\frac{a}{2a^2+1}=\frac{2a^2+1}{2a}+\frac{a}{2a^2+1}\geqq 2\sqrt{\frac{2a^2+1}{2a}\cdot \frac{a}{2a^2+1}}=\sqrt{2}\]
よって，最小値は$\sqrt{2}$である…とすると減点される．今分かったことは$\rm R$の$x$座標が$\sqrt{2}$以上であるということだけである．もしかすると，更に厳密に評価することができて，例えば$\rm R$の$x$座標は$1$以上であることが得られるかもしれない．そうすると，$\rm R$の$x$座標の最小値は$\sqrt{2}$であるとはいえない．よって，不等式評価により最大最小を求めるときは，必ずその値を取りうるかどうかを確認しなければならない．

では，$\rm R$の$x$座標が$\sqrt{2}$となることがあるかどうかを確かめよう．相加相乗平均の不等式の等号成立条件を思い出すと，これは
\[ \frac{2a^2+1}{2a}=\frac{a}{2a^2+1}\]
を満たす$a>0$が存在するかどうかを確かめれば良いことが分かる．
この方程式を整理すると
\[ 4a^4+2a^2+1=0\tag{A}\]
これを$a^2$についての方程式と見て，その判別式を$D$とすると
\[ \frac{D}{4}=1^2-4\cdot 1=-3<0\]
であるから，$\rm (A)$を満たす$a>0$は存在しないことが分かる．

すなわち，$\rm R$の$x$座標の最小値は$\sqrt{2}$でない．

では，どうすればよいのだろうか．ここではいくつか解法を紹介しよう．

まず，相加相乗平均の不等式を用いる方法を紹介しよう．
$\rm R$の$x$座標は，(1)の結果で，$a$に$\rm Q$の$x$座標を代入することで求めることができた．そこで，$\rm Q$の$x$座標がとり得る値の範囲を考えることから始めよう．
$b=a+\dfrac{1}{2a}$とおくと，$a>0$であるから，相加相乗平均の不等式より
\[ b=a+\frac{1}{2a}\geqq 2\sqrt{a\cdot \frac{1}{2a}}=\sqrt{2}\]
等号成立条件は$a=\frac{1}{2a}$すなわち$a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}>0$であるから，$\rm Q$の$x$座標$-a-\dfrac{1}{2a}$は$-\sqrt{2}$以下の実数であることが分かる．これを踏まえて，$\rm R$の$x$座標を
\[ t=a+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2\left( a+\frac{1}{2a}\right)}=b+\frac{1}{2b}\]
とおくと
\[ b^2-tb+\frac{1}{2}=0\tag{B}\]
であり，この式を満たす$b\geqq \sqrt{2}$が存在するような$t$の値の範囲について考えれば良いことが分かる．
さて，ここまで来ると$2$次方程式の解の配置の問題に帰着する．

【大学入試】2次方程式の解の配置

$a\neq 0,b,c,t$を実数とする．$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$に対して，$2$次方程式$f(x)=0$の解が特定の条件を満たすような$a,b,c$の値について考えるときは，次の3条件についてまず考える．

判別式の正負:$D=b^2-4ac$または$\dfrac{D}{4}={b^{\prime}}^2-ac$($b$が偶数のとき，$b^{\prime}=\dfrac{b}{2}$とした$\dfrac{D}{4}$を利用する)の正負を調べる
･$D>0\iff f(x)=0$は異なる2つの実数解を持つ
･$D=0\iff f(x)=0$はただ1つの実数解(重解)を持つ
･$D<0\iff f(x)=0$は実数解を持たない(異なる2つの虚数解を持つ)
※記述答案で判別式を表す記号として$D$を用いる場合，｢この$2$次方程式の判別式を$D$とすると｣のように，$D$の定義を逐一記述する必要がある．$\dfrac{D}{4}$を利用する場合も同様に$D$を定義する必要がある．

以下の2条件はセットで考える必要がある．

軸の位置:$f(x)$を平方完成して軸の方程式を求め，軸の$x$切片がどの位置にあるべきかを考える
･$f(x)=0$のすべての解が$t$以上(または$t$より大きい)という条件ならば｢軸$>t$｣
･$f(x)=0$のすべての解が$t$以下(または$t$より小さい)という条件ならば｢軸$<t$｣
$f(t)$の正負:放物線が上に凸か下に凸かを調べ，$f(t)$の正負を考える
･$f(x)=0$のすべての解が$t$以上(または$t$以下)という条件
→下に凸($a>0$)ならば$f(t)\geqq 0$
→上に凸($a<0$)ならば$f(t)\leqq 0$
･$f(x)=0$のすべての解が$t$より大きい(または$t$より小さい)という条件
→下に凸($a>0$)ならば$f(t)>0$
→上に凸($a<0$)ならば$f(t)<0$

｢$f(x)=0$のすべての解が$t$以上(または$t$より大きい，$t$以下，$t$より小さい)という条件｣以外の条件($f(x)=0$の少なくとも1つの解が$t$以上，$f(x)=0$の2つの解のうち一方は$t$より大きくもう一方は$t$より小さい，など)について考える場合は，その｢反対｣の条件を考えて，上記の条件に帰着させる．

例

$x$についての$2$次方程式$x^2-4tx+3t+1=0$が少なくとも1つの正の実数解を持つような実数$t$の最小値を求める．

$f(x)=x^2-4tx+2t-1=(x-2t)^2-4t^2+3t+1$とおく．このとき，放物線$y=f(x)$の軸は直線$x=2t$である．
$2$次方程式$f(x)=0$の判別式を$D$とすると，$f(x)=0$が実数解をもつための必要十分条件は$\dfrac{D}{4}\geqq 0$すなわち
\[ (2t)^2-1\cdot (3t+1)=4t^2-3t-1=(t-1)(4t+1)\geqq 0\]
であるから，$t\leqq -\dfrac{1}{4},1\leqq t$

ここで，$f(x)=0$のすべての実数解が$0$以下であるための条件は
｢$2t<0$｣かつ｢$f(0)\geqq 0$｣
であるから，$f(x)=0$が少なくとも1つの正の実数解を持つための条件は
｢$2t\geqq 0$｣または｢$f(0)<0$｣
すなわち$t\geqq 0$または$3t+1<0$であり，2つを合わせると$t\geqq 0$である．

以上より，$t$の範囲は$t\leqq -\dfrac{1}{4}$である．

今回は$\rm (B)$の実数解のうち，少なくとも1つを$\sqrt{2}$以上の範囲に配置したいから，まずはその｢反対｣を考えよう．すなわち，$\rm (B)$の実数解すべてを，$\sqrt{2}$より小さい範囲に配置するために必要な条件について整理すると

判別式が$0$以上
｢軸の$x$切片が$\sqrt{2}$より小さい｣かつ｢$\rm (B)$の左辺で，$b=\sqrt{2}$としたときの値が$0$より大きい｣

よって，$\rm (B)$の実数解のうち，少なくとも1つを$\sqrt{2}$以上の範囲に配置するために必要な条件は

判別式が$0$以上
｢軸の$x$切片が$\sqrt{2}$以上である｣または｢$\rm (B)$の左辺で，$b=\sqrt{2}$としたときの値が$0$以下である｣

であるから，これについて考えよう．
まず，判別式の条件は，$\rm (B)$の判別式を$D$とすると
\[ D=t^2-4\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=t^2-2\geqq 0\]
すなわち$t\leqq -\sqrt{2},\sqrt{2}\leqq t$
次に，軸の条件は，$\rm (B)$の左辺を平方完成すると
\[ b^2-tb+\frac{1}{2}=\left( b-\frac{t}{2}\right) ^2-\frac{t^2-2}{4}\]
であるから，$\dfrac{t}{2}\geqq \sqrt{2}$すなわち$t\geqq 2\sqrt{2}$である．
また，$\rm (B)$の左辺に$b=\sqrt{2}$を代入すると
\[ (\sqrt{2})^2-\sqrt{2}t+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}-\sqrt{2}t\]
であるから，$\dfrac{5}{2}-\sqrt{2}t\leqq 0$すなわち$t\geqq \dfrac{5\sqrt{2}}{4}$である．

以上をまとめると，$t$の存在範囲は
\[ (t\leqq -\sqrt{2}または\sqrt{2}\leqq t)かつ(t\geqq 2\sqrt{2}またはt\geqq \frac{5\sqrt{2}}{4})\]
したがって$t\geqq \dfrac{5\sqrt{2}}{4}$であるから，$\rm R$の$x$座標$t$の最小値は$\color{red}\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$である．

(2)の解答1

難易度:★★★★☆

$c$を実数とし，$\rm Q$の座標を$(b,b^2)$とおくと，(1)より，$\rm R$の$x$座標は$-b-\dfrac{1}{2b}$である．
また，(1)より，$b=-a-\dfrac{1}{2a}$であるから，$b^{\prime}=-b$とおくと，相加相乗平均の不等式より
\[ b^{\prime}=a+\frac{1}{2a}\geqq 2\sqrt{a\cdot \frac{1}{2a}}=\sqrt{2}\]
であり，等号成立条件は$a=\dfrac{1}{2a}$すなわち$a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}>0$である．よって$b^{\prime}\geqq \sqrt{2}$である．
このとき，$\rm R$の$x$座標$t=b^{\prime}+\dfrac{1}{2b^{\prime}}$の最小値，すなわち，$b^{\prime}$についての$2$次方程式
\[ {b^{\prime}}^2-tb^{\prime}+\frac{1}{2}=0\tag{$\ast$}\]
が$b^{\prime}\geqq \sqrt{2}$に少なくとも1つの解を持つような$t$の最小値を求めればよい．
$(\ast )$の判別式を$D$とし，$(\ast )$の左辺を$f(b^{\prime})$とする．

$D\geqq 0$であるための$t$の必要十分条件は，$D=t^2-2\geqq 0$すなわち$t\leqq -\sqrt{2},\sqrt{2}\leqq t$
放物線$y=f(x)$の頂点の$x$座標が$\sqrt{2}$以上であるための$t$の必要十分条件は
\[ f(b^{\prime})={b^{\prime}}^2-tb+\frac{1}{2}=\left( b^{\prime}-\frac{t}{2}\right) ^2-\frac{t^2-2}{4}\]
より$\dfrac{t}{2}\geqq \sqrt{2}$すなわち$t\geqq 2\sqrt{2}$
$f(\sqrt{2})\leqq 0$であるための$t$の必要十分条件は$f(\sqrt{2})=\dfrac{5}{2}-\sqrt{2}t\leqq 0$すなわち$t\geqq \dfrac{5\sqrt{2}}{4}$

$(\ast )$が$\sqrt{2}$以上の実数解を持つための$t$の必要十分条件は｢①かつ(②または③)｣であるから，$t\geqq \dfrac{5\sqrt{2}}{4}$
したがって，$t$の最小値は$\color{red}\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$である．

実は，次のように考えることもできる．先程と同様に$b=a+\dfrac{1}{2a}$とおくと，$b\geqq \sqrt{2}$であり，$\rm R$の$x$座標は$b+\dfrac{1}{2b}$と表すことができる．このとき，$f(b)=b+\dfrac{1}{2b}$とおくと，$f(b)$は$b\geqq \sqrt{2}$で単調増加であることが予想できる(グラフをイメージするとよい)．実際
\[ f(b)=b+\frac{1}{2b}=(\sqrt{b})^2-2\cdot \sqrt{b}\cdot \frac{1}{\sqrt{2b}}+\left( \frac{1}{\sqrt{2b}}\right) ^2+\sqrt{2}=\left( \sqrt{b}-\frac{1}{\sqrt{2b}}\right) ^2+\sqrt{2}\]
であり，$\sqrt{b}-\frac{1}{\sqrt{2b}}$は，$c\geqq b\geqq \sqrt{2}$で
\[ \sqrt{b}-\frac{1}{\sqrt{2b}}\leqq c-\frac{1}{\sqrt{2c}}\]
であり，(狭義)単調増加であることから従う．
よって，$f(b)$は$b=\sqrt{2}$で最小値
\[ f(\sqrt{2})=\sqrt{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}={\color{red}\frac{5\sqrt{2}}{4}}\]
をとる．

(2)の解答2

難易度:★★★★☆

$c$を実数とし，$\rm Q$の座標を$(b,b^2)$とおくと，(1)より，$\rm R$の$x$座標は$-b-\dfrac{1}{2b}$である．
また，(1)より，$b=-a-\dfrac{1}{2a}$であるから，$b^{\prime}=-b$とおくと，相加相乗平均の不等式より
\[ b^{\prime}=a+\frac{1}{2a}\geqq 2\sqrt{a\cdot \frac{1}{2a}}=\sqrt{2}\]
であり，等号成立条件は$a=\dfrac{1}{2a}$すなわち$a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}>0$である．よって$b^{\prime}\geqq \sqrt{2}$である．
このとき，$\rm R$の$x$座標は
\[ b^{\prime}+\dfrac{1}{2b^{\prime}}=\left( \sqrt{b}-\frac{1}{\sqrt{2b}}\right) ^2+\sqrt{2}\]
より$b^{\prime}\geqq \sqrt{2}$で(狭義)単調増加であるから，$b^{\prime}=\sqrt{2}$のとき最小値$\color{red}\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$をとる．

また，文系数学の範囲を逸脱してしまうが，微分を用いて解くこともできる．数III履修者は思いつきやすい解法だが，計算は大変である．

さて，$\rm R$の$x$座標は$a+\dfrac{1}{2a}+\dfrac{a}{2a^2+1}$と表すことができた．$a>0$での最小値を微分を用いて求めてみよう．
$f(a)=a+\dfrac{1}{2a}+\dfrac{a}{2a^2+1}$とおくと
\[ \begin{aligned}f^{\prime}(a)&=1-\frac{1}{2a^2}+\frac{1\cdot (2a^2+1)-a\cdot 4a}{(2a^2+1)^2}\\ &=\frac{2a^2(2a^2+1)^2-(2a^2+1)^2+2a^2(1-2a^2)}{2a^2(2a^2+1)^2}\\ &=\frac{8a^6-1}{2a^2(2a^2+1)^2}=\frac{(2a^2-1)(4a^4+2a^2+1)}{2a^2(2a^2+1)^2}\end{aligned}\]
よって，$f^{\prime}(a)=0$となるような$a>0$は$a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$であるから，$f(a)$の増減表は下図のようになる．

$a$	(0)	$\cdots$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\cdots$
$f^{\prime}(a)$		$-$	$0$	$+$
$f(a)$		$\searrow$	$f\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$	$\nearrow$

よって，$f(a)$は$a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$で最小値
\[ f\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) =\frac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\frac{2}{\sqrt{2}}}+\dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1+1}={\color{red}\frac{5\sqrt{2}}{4}}\]
をとる．

(2)の解答3

難易度:★★★☆☆

$c$を実数とし，$\rm Q$の座標を$(b,b^2)$とおくと，(1)より，$\rm R$の$x$座標は$-b-\dfrac{1}{2b}$である．特に，(1)より$b=-a-\dfrac{1}{2a}$であるから
\[ a+\dfrac{1}{2a}+\frac{a}{2a^2+1}\]
である．これを$f(a)$とおくと
\[ f^{\prime}(a)=\frac{(2a^2-1)(4a^4+2a^2+1)}{2a^2(2a^2+1)^2}\]
であるから，$f(a)$の$a>0$での増減表は以下のようになる．