上限･下限～定義･イメージ･例を解説～

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上限とは，上界の最小値のことです．
下限とは，下界の最大値のことです．

上限･下限とは

$A$を$\mathbb{R}$の空でない部分集合とし，$A$の上界全体の集合を$U(A)$，下界全体の集合を$L(A)$とする．$U(A)$に最小値$\alpha$が存在するとき，$\alpha$を$A$の上限(supremum)(または最小上界(least upper bound))といい，$\sup A$(または$\operatorname{lub}A$)で表す．また，$L(A)$に最小値$\beta$が存在するとき，$\beta$を$A$の下限(infimum)(または最大下界(greatest lower bound))といい，$\inf A$(または$\operatorname{glb}A$)で表す．

上限･下限の定義
上限･下限のイメージ･例･意義
関連内容
参考文献

上限･下限の定義

上限･下限の厳密な定義は次のようになります．

定義1

$\mathbb{R}$上の上限･下限を一般化した概念は，順序集合の上限･下限にあたる．これについては集合論の記事に譲ることにし，ここでは解析学の立場から$\mathbb{R}$上の上限･下限を考えるものとする．

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さて，上の定義を論理式を用いて表してみよう．空でない$A\subset \mathbb{R}$に対し，$A$の上限$\alpha$と下限$\beta$は，どのような条件を満たすだろうか．

まず，上限と下限は，それぞれ上界･下界の1つであるから，以下が成り立つ．

\[ \forall x\in A,x\le \alpha \]
\[ \forall x\in A,\beta \le x\]

また，上限$\alpha$は上界の最小値であるから，$\alpha$よりも小さい全ての実数は$A$の上界でない．｢$\alpha$よりも小さい全ての実数｣は，$\varepsilon$を任意の正の実数とすることにより，$\alpha -\varepsilon$と表すことができる．つまり，上の上界の定義を否定することにより
\[ \forall \varepsilon >0,\exists x\in A,\alpha -\varepsilon <x\]
同様に，下限$\beta$は下界の最小値であるから，$\beta$よりも大きい全ての実数は$B$の下界でない．｢$\beta$よりも大きい全ての実数｣は，任意の$\varepsilon >0$を用いて$\beta +\varepsilon$と表すことができる．つまり，上の下界の定義を否定することにより
\[ \forall \varepsilon >0,\exists x\in A,x<\beta +\varepsilon \]

まとめると，次のようになる．
\[ \alpha =\sup A\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}[[\forall x\in A,x\le \alpha]\land [\forall \varepsilon >0,\exists x\in A,\alpha -\varepsilon <x]]\]
\[ \beta =\inf A\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}[[\forall x\in A,\beta \le x]\land [\forall \varepsilon >0,\exists x\in A,x<\beta +\varepsilon]]\]

上限･下限であることは，上の論理式に従って証明する場合が多い．

そして，$A$に最大値や最小値が存在するとき，その値はそれぞれ$A$の上限･下限でもある．これについては後述する．

最大値･最小値～定義･イメージ･例を解説～

maximum-minimumこの記事のPDFファイルのダウンロード･印刷はこちらから最大値とは，実数の部分集合の元の中で，最も大きい元のことです．最小値とは，実数の部分集合の元の中で，最も小さい元のことです．最大値･最小値とは$A$を$\...

上限･下限のイメージ･例･意義

具体的な$\mathbb{R}$の空でない部分集合を通して，上界･下界を確認しよう．

以下，$\mathbb{R}$の区間の上限･下限を考えることにする．区間についての詳細は次の記事を参照するとよい．

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また，$\mathbb{R}$の区間の上界･下界については，次の記事で詳しく解説している．合わせて参照するとよい．

上界･下界～定義･イメージ･例を解説～

upper_bound-lower_bound-calculusこの記事のPDFファイルのダウンロード･印刷はこちらから上界とは，実数の部分集合のどの元よりも大きい実数のことです．下界とは，実数の部分集合のどの元よりも小さい実数のことです

まず，$A=[-1,2]=\{ x\mid -1\le x\le 2\}$とおく．$A$の上界全体の集合を$U(A)$，下界全体の集合を$L(A)$とすると，$U(A)=\{ x\in \mathbb{R}\mid x\ge 2\}$であり，$L(A)=\{ x\in \mathbb{R}\mid x\le -1\}$である．

次に，$B=(-1,2]=\{ x\mid -1<x\le 2\}$とおく．$B$の上界全体の集合を$U(B)$，$B$の下界全体の集合を$L(B)$とすると，$U(B)=\{ x\in \mathbb{R}\mid x\ge 2\}$であり，$L(B)=\{ x\in \mathbb{R}\mid x\le -1\}$である．

さらに，$C=[-1,2)=\{ x\mid -1\le x<2\}$とおく．$C$の上界全体の集合を$U(C)$，$C$の下界全体の集合を$L(C)$とすると，$U(C)=\{ x\in \mathbb{R}\mid x\ge 2\}$であり，$L(C)=\{ x\in \mathbb{R}\mid x\le -1\}$である．

そして，$D=(-1,2)=\{ x\mid -1<x<2\}$とおく．$D$の上界全体の集合を$U(D)$，$D$の下界全体の集合を$L(D)$とすると，$U(D)=\{ x\in \mathbb{R}\mid x\ge 2\}$であり，$L(D)=\{ x\in \mathbb{R}\mid x\le -1\}$である．

以上より，$A,B,C,D$の上界全体の集合と下界全体の集合がすべて等しいことが分かる．よって，$A,B,C,D$には上限及び下限が存在する．$A,B,C,D$の上限は$U(A),U(B),U(C),U(D)$の最小値で，$\sup A=\sup B=\sup C=\sup D=2$である．また，$A$の下限は$L(A),L(B),L(C),L(D)$の最大値で，$\inf A=\inf B=\inf C=\inf D=-1$である．

また，次のような集合の場合も，同様に上限･下限の存在性を確認することができる．

$E=(-\infty ,2]=\{ x\mid x\le 2\}$の上界全体の集合を$U(E)$とすると，$U(E)=\{ x\in \mathbb{R}\mid x\ge 2\}$である．よって，$E$に上限が存在し，$\sup E=2$である．また，$E$の下界は存在しないから，$E$の下限も存在しない．

$F=(-\infty ,2)=\{ x\mid x<2\}$の上界全体の集合を$U(F)$とすると，$U(F)=\{ x\in \mathbb{R}\mid x\ge 2\}$である．よって，$F$に上限が存在し，$\sup F=2$である．また，$F$の下界は存在しないから，$F$の下限も存在しない．

$G=[-1,\infty )=\{ x\mid x\ge -1\}$の下界全体の集合を$L(G)$とすると，$L(G)=\{ x\in \mathbb{R}\mid x\le -1\}$である．よって，$G$に下限が存在し，$\inf G=-1$である．また，$G$の上界は存在しないから，$G$の上限も存在しない．

$H=(-1,\infty )=\{ x\mid x>-1\}$の下界全体の集合を$L(H)$とすると，$L(H)=\{ x\in \mathbb{R}\mid x\le -1\}$である．よって，$H$に下界が存在し，$\inf H=-1$である．また，$H$の上界は存在しないから，$H$の上限も存在しない．

まとめると，空でない$\mathbb{R}$の部分集合$I$に対し，$I$の上限及び下限が存在するならば，それは上図のようになる．もちろん，$I$が一つの繋がった区間を表していたり，一つの繋がった区間が複数合わさった集合を表していたりすることに注意が必要である．

関連内容

上限･下限の一意性

上限･下限が複数存在することはない．当たり前に感じるかもしれないが，数学において，このような一意性は非常に重要である．ここでは，その厳密な証明を与えることとする．

命題1

$A$を$\mathbb{R}$の空でない部分集合とする．

$A$に上限が存在するとき，$A$の上限は一意的である．
$A$に下限が存在するとき，$A$の下限は一意的である．

証明

$\alpha ,\beta$を$A$の上限とする．
$\alpha <\beta$のとき，定義より，任意の$\varepsilon >0$に対し，ある$a\in A$が存在し
\[ \alpha -\varepsilon <\beta -\varepsilon <a\le \alpha <\beta \]
ここで，$\varepsilon =\beta -\alpha >0$とおくと$\beta -\varepsilon <a\le \alpha$より$\alpha <a\le \alpha$，すなわち$\alpha <\alpha$となり矛盾．よって，$\alpha \ge \beta$
同様に，$\alpha >\beta$のときも矛盾するから¹，$\alpha =\beta \blacksquare$
$\alpha ,\beta$を$A$の下限とする．
$\alpha <\beta$のとき，定義より，任意の$\varepsilon >0$に対し，ある$a\in A$が存在し
\[ \alpha <\beta \le a<\alpha +\varepsilon <\beta +\varepsilon \]
ここで，$\varepsilon =\beta -\alpha >0$とおくと$\beta \le a<\alpha +\varepsilon$より$\beta \le a<\beta$，すなわち$\beta <\beta$となり矛盾．よって，$\alpha \ge \beta$
同様に，$\alpha >\beta$のときも矛盾するから，$\alpha =\beta \blacksquare$

上限･下限と最大値･最小値

最大値･最小値が，それぞれ上限･下限になりうることは，先に述べたが，ここではその証明を与えることにする．

命題2

$A$を$\mathbb{R}$の空でない部分集合とする．

$A$に最大値$\max A$が存在するとき，$\max A$は$A$の上限である．
$A$に最小値$\min A$が存在するとき，$\min A$は$A$の下限である．

証明

最大値の定義より，任意の$x\in A$に対し，$x\le \max A$
また，任意の$\varepsilon >0$に対し，$\max A-\varepsilon <\max A$
$\max A\in A$であるから，定義より，$\max A$は$A$の上限である．$\blacksquare$
最小値の定義より，任意の$x\in A$に対し，$\min A\le x$
また，任意の$\varepsilon >0$に対し，$\min A<\min A+\varepsilon$
$\min A\in A$であるから，定義より，$\min A$は$A$の下限である．$\blacksquare$

最大値･最小値が，それぞれ上界･下界の1つであることは，次の記事で証明している．上の命題は，この命題のより強いものになっていることが分かる．

上界･下界～定義･イメージ･例を解説～

上限･下限に似た概念

上限･下限に似た概念として，次のようなものがある．上限･下限との違いを認識する必要がある．

定義2

$A$を$\mathbb{R}$の空でない部分集合とする．ある$M\in \color{red}{A}$が存在し，任意の$x\in A$に対し，$x\le M$となるとき，$M$を$A$の最大値(maximum)という．また，ある$m\in \color{red}{A}$が存在し，任意の$x\in A$に対し，$m\le x$となるとき，$m$を$A$の最小値(minimum)という．

定義3

$A$を$\mathbb{R}$の空でない部分集合とする．ある$M\in \color{red}{\mathbb{R}}$が存在し，任意の$x\in A$に対し，$x\le M$となるとき，$M$を$A$の上界(upper bound)という．また，ある$m\in \color{red}{\mathbb{R}}$が存在し，任意の$x\in A$に対し，$m\le x$となるとき，$m$を$A$の下界(lower bound)という．

それぞれ記事を公開しているため，合わせて参照するとよい．