自然数･整数･有理数

$\mathbb{N}$上の演算$\phi :\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$を次のように定める．

• 任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$\phi (n,0)=n$
• 任意の$m,n\in \mathbb{N}$に対し，$\phi (m,\mathrm{suc}(n))=\mathrm{suc}(\phi (m,n))$

このとき，$\phi$を加法(または足し算，加算，寄せ算)(addition, summation)という．また，$m,n\in \mathbb{N}$に対し，$\phi (m,n)$を$m$と$n$の和(sum)といい，$m+n$で表す．

$\mathbb{N}$上の演算$\psi :\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$を次のように定める．

• 任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$\psi (n,0)=0$
• 任意の$m,n\in \mathbb{N}$に対し，$\psi (m,\mathrm{suc}(n))=\psi (m,n)+m$

このとき，$\psi$を乗法(または掛け算，乗算)(multiplication)という．また，$m,n\in \mathbb{N}$に対し，$\psi (m,n)$を$m$と$n$の積(product)といい，$mn$(または$m\times n$，$m\cdot n$)で表す．

$\mathbb{N}$上の二項関係$\le$を
\[ \le \coloneqq \{ (a,b)\in \mathbb{N}^2\mid \exists c\in \mathbb{N},a+c=b\} \]
により定めると，$\le$は$\mathbb{N}$の広義全順序であり，$\le$の逆順序を$\ge$で表す．すなわち，$m,n\in \mathbb{N}$に対し
\[ m\le n\iff n\ge m\]
である．$m,n\in \mathbb{N}$に対し，$m\le n$であるとき，｢$m$小なりイコール$n$｣と読み，$m$は$n$以下であるという．また，$m\ge n$であるとき，｢$m$大なりイコール$n$｣と読み，$m$は$n$以上であるという．

$\mathbb{N}$上の二項関係$<$を
\[ < \coloneqq \{ (a,b)\in \mathbb{N}^2\mid \exists c\in \mathbb{N}\setminus \{ 0\} ,a+c=b\} \]
により定めると，$<$は$\mathbb{N}$の狭義順序であり，$<$の逆順序を$>$で表す．すなわち，$m,n\in \mathbb{N}$に対し
\[ m<n\iff n>m\]
である．$m,n\in \mathbb{N}$に対し，$m<n$であるとき，｢$m$小なり$n$｣と読み，$m$は$n$より小さいという．また，$m>n$であるとき，｢$m$大なり$n$｣と読み，$m$は$n$より大きいという．

$\mathbb{N}^2$上の二項関係$\sim$を
\[ \sim \coloneqq \{ ((a,b),(c,d))\in \mathbb{N}^2\times \mathbb{N}^2\mid a+d=b+c\} \]
により定める．このとき，$\sim$は$\mathbb{N}^2$上の同値関係であり，商集合$\mathbb{N}^2/\sim$を$\mathbb{Z}$で表す．また，$\mathbb{Z}$の元を整数(integer, whole number)という．

$\mathbb{Z}$上の演算$\phi :\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$を
\[ \phi ([a,b],[c,d])=[a+c,b+d]\qquad ([a,b],[c,d]\in \mathbb{Z})\]
により定めるとき，$\phi$を加法という．また，$[a,b],[c,d]\in \mathbb{Z}$に対し，$\phi ([a,b],[c,d])$を$[a,b]$と$[c,d]$の和といい，$[a,b]+[c,d]$で表す．

$\mathbb{Z}$上の演算$\phi ^{\prime}:\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$を
\[ \phi ^{\prime}([a,b],[c,d])=[a+d,b+c]\qquad ([a,b],[c,d]\in \mathbb{Z})\]
により定めるとき，$\phi ^{\prime}$を減法(または引き算，減算)(subtraction)という．また，$[a,b],[c,d]\in \mathbb{Z}$に対し，$\phi ^{\prime}([a,b],[c,d])$を$[a,b]$の$[c,d]$による差(difference)といい，$[a,b]-[c,d]$で表す．

$\mathbb{Z}$上の演算$\psi :\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$を
\[ \psi ([a,b],[c,d])=[ac+bd,ad+bc]\qquad ([a,b],[c,d]\in \mathbb{Z})\]
により定めるとき，$\psi$を乗法という．また，$[a,b],[c,d]\in \mathbb{Z}$に対し，$\psi ([a,b],[c,d])$を$[a,b]$と$[c,d]$の積といい，$[a,b]\times [c,d]$で表す．

$[a,b]\in \mathbb{Z}$とする．

• $a>b$のとき，ある$n\in \mathbb{N}$がただ1つ存在し，$[a,b]=[n,0]$となる．このとき，$[a,b]$を$n$で表す．
• $a=b$のとき，$[a,b]$を$0$で表す．
• $a<b$のとき，ある$n\in \mathbb{N}$がただ1つ存在し，$[a,b]=[0,n]$となる．このとき，$[a,b]$を$-n$で表す．

$\mathbb{Z}$上の二項関係$\le$を
\[ \le \coloneqq \{ (a,b)\in \mathbb{Z}^2\mid \exists c\in \mathbb{N},a+c=b\} \]
により定めると，$\le$は$\mathbb{Z}$の広義全順序であり，$\le$の逆順序を$\ge$で表す．すなわち，$m,n\in \mathbb{Z}$に対し
\[ m\le n\iff n\ge m\]
である．$m,n\in \mathbb{Z}$に対し，$m\le n$であるとき，｢$m$小なりイコール$n$｣と読み，$m$は$n$以下であるという．また，$m\ge n$であるとき，｢$m$大なりイコール$n$｣と読み，$m$は$n$以上であるという．

$\mathbb{Z}$上の二項関係$<$を
\[ < \coloneqq \{ (a,b)\in \mathbb{Z}^2\mid \exists c\in \mathbb{N}\setminus \{ 0\} ,a+c=b\} \]
により定めると，$<$は$\mathbb{Z}$の狭義順序であり，$<$の逆順序を$>$で表す．すなわち，$m,n\in \mathbb{Z}$に対し
\[ m<n\iff n>m\]
である．$m,n\in \mathbb{Z}$に対し，$m<n$であるとき，｢$m$小なり$n$｣と読み，$m$は$n$より小さいという．また，$m>n$であるとき，｢$m$大なり$n$｣と読み，$m$は$n$より大きいという．

$n\in \mathbb{Z}$に対し，$n$の絶対値(absolute value)(または母数(modulus))$|n|$を次のように定める．
\[ |n|\coloneqq \begin{cases}n&(n\ge 0)\\ -n&(n<0)\end{cases}\]

$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus \{ 0\}$上の二項関係$\sim$を
\[ \sim \coloneqq \{ ((a,b),(c,d))\in (\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus \{ 0\} )\times (\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus \{ 0\})\mid ad=bc\} \]
により定める．このとき，$\sim$は$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus \{ 0\}$上の同値関係であり，商集合$(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus \{ 0\})/\sim$を$\mathbb{Q}$で表す．また，$\mathbb{Q}$の元を有理数(rational number)という．

$\mathbb{Q}$上の演算$\phi :\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$を
\[ \phi \left( \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\right) =\dfrac{ad+bc}{bd}\qquad \left( \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\in \mathbb{Q}\right) \]
により定めるとき，$\phi$を加法という．また，$\dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\in \mathbb{Q}$に対し，$\phi \left( \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\right)$を$\dfrac{a}{b}$と$\dfrac{c}{d}$の和といい，$\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}$で表す．

$\mathbb{Q}$上の演算$\phi ^{\prime}:\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$を
\[ \phi ^{\prime}\left( \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\right) =\dfrac{ad-bc}{bd}\qquad \left( \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\in \mathbb{Q}\right) \]
により定めるとき，$\phi ^{\prime}$を減法という．また，$\dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\in \mathbb{Q}$に対し，$\phi ^{\prime}\left( \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\right)$を$\dfrac{a}{b}$の$\dfrac{c}{d}$による差といい，$\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}$で表す．

$\mathbb{Q}$上の演算$\psi :\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$を
\[ \psi \left( \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\right) =\dfrac{ac}{bd}\qquad \left( \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\in \mathbb{Q}\right) \]
により定めるとき，$\psi$を乗法という．また，$\dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\in \mathbb{Q}$に対し，$\psi \left( \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\right)$を$\dfrac{a}{b}$と$\dfrac{c}{d}$の積といい，$\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}$で表す．

$\mathbb{Q}$上の演算$\psi ^{\prime}:\mathbb{Q}\times (\mathbb{Q}\setminus \{ 0\} )\to \mathbb{Q}$を
\[ \psi ^{\prime}\left( \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\right) =\dfrac{ad}{bc}\qquad \left( \dfrac{a}{b}\in \mathbb{Q},\dfrac{c}{d}\in \mathbb{Q}\setminus \{ 0\} \right) \]
により定めるとき，$\psi ^{\prime}$を除法(または割り算，除算)(division)という．また，$\dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\in \mathbb{Q}$に対し，$\psi ^{\prime}\left( \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\right)$を$\dfrac{a}{b}$の$\dfrac{c}{d}$による商(quotient)といい，$\dfrac{a}{b}\div \dfrac{c}{d}$で表す．

$\dfrac{m}{n}\in \mathbb{Q}$に対し，ある$k,m^{\prime}\in \mathbb{Z}$及び$n^{\prime}\in \mathbb{N}$が存在し，$m=km^{\prime},n=kn^{\prime}$となる．このような$|k|$の最大値が$1$であるとき，$\dfrac{m}{n}$を既約分数(irreducible fraction)という．また，$q\in \mathbb{Q}$を既約分数で表すことを，$q$を約分(または簡約)(reduction)するという．

$\mathbb{Q}$上の二項関係$\le$を
\[ \le \coloneqq \{ \left( \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\right) \in \mathbb{Q}^2\mid ad\le bc\} \]
により定めると，$\le$は$\mathbb{Q}$の広義全順序であり，$\le$の逆順序を$\ge$で表す．すなわち，$\dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\in \mathbb{Q}$に対し
\[ \frac{a}{b}\le \frac{c}{d}\iff \frac{c}{d}\ge \frac{a}{b}\]
である．$\dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\in \mathbb{Q}$に対し，$\dfrac{a}{b}\le \dfrac{c}{d}$であるとき，｢$\dfrac{a}{b}$小なりイコール$\dfrac{c}{d}$｣と読み，$\dfrac{a}{b}$は$\dfrac{c}{d}$以下であるという．また，$\dfrac{a}{b}\ge \dfrac{c}{d}$であるとき，｢$\dfrac{a}{b}$大なりイコール$\dfrac{c}{d}$｣と読み，$\dfrac{a}{b}$は$\dfrac{c}{d}$以上であるという．

$\mathbb{Q}$上の二項関係$<$を
\[ <\coloneqq \{ \left( \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\right) \in \mathbb{Q}^2\mid ad<bc\} \]
により定めると，$<$は$\mathbb{Q}$の狭義順序であり，$<$の逆順序を$>$で表す．すなわち，$\dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\in \mathbb{Q}$に対し
\[ \frac{a}{b}<\frac{c}{d}\iff \frac{c}{d}>\frac{a}{b}\]
である．$\dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\in \mathbb{Q}$に対し，$\dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d}$であるとき，｢$\dfrac{a}{b}$小なり$\dfrac{c}{d}$｣と読み，$\dfrac{a}{b}$は$\dfrac{c}{d}$より小さいという．また，$\dfrac{a}{b}>\dfrac{c}{d}$であるとき，｢$\dfrac{a}{b}$大なり$\dfrac{c}{d}$｣と読み，$\dfrac{a}{b}$は$\dfrac{c}{d}$より大きいという．