順序集合には上限と下限が定義され，特に実数の重要な性質である連続性の理解に欠かせない．ここでは，上限と下限の性質について詳しく解説する．
上限と下限
上限と下限の定義や基本的な性質は次の記事で詳しくまとめている．
ここではその概要を簡単にまとめておこう．
$A$を$\mathbb{R}$の空でない部分集合とし，$A$の上界全体の集合を$U(A)$，下界全体の集合を$L(A)$とする．$U(A)$に最小値$\alpha$が存在するとき，$\alpha$を$A$の上限(supremum)(または最小上界(least upper bound))といい，$\sup A$(または$\operatorname{lub}A$)で表す．また，$L(A)$に最小値$\beta$が存在するとき，$\beta$を$A$の下限(infimum)(または最大下界(greatest lower bound))といい，$\inf A$(または$\operatorname{glb}A$)で表す．
定義1は，次のように解釈することができる．
\[ \alpha =\sup A\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}[[\forall x\in A,x\le \alpha]\land [\forall \varepsilon >0,\exists x\in A,\alpha -\varepsilon <x]]\]
\[ \beta =\inf A\stackrel{\mathrm{def}}{\iff}[[\forall x\in A,\beta \le x]\land [\forall \varepsilon >0,\exists x\in A,x<\beta +\varepsilon]]\]
$A$を$\mathbb{R}$の空でない部分集合とする．
- $A$に上限が存在するとき，$A$の上限は一意的である．
- $A$に下限が存在するとき，$A$の下限は一意的である．
$A$を$\mathbb{R}$の空でない部分集合とする．
- $A$に最大値$\max A$が存在するとき，$\max A$は$A$の上限である．
- $A$に最小値$\min A$が存在するとき，$\min A$は$A$の下限である．
上限と下限の性質
上限性質と下限性質
実数の連続性は以下の連続の公理によって保証されていた．
任意の空でない上に有界な集合$X\subset \mathbb{R}$に対し，$X$の上限が存在する．
この連続の公理には同値な命題がたくさん存在するが，詳細は以下の記事に委ねる．
実は，連続の公理を仮定すると，連続の公理の｢下限バージョン｣が成り立つ．
任意の空でない下に有界な集合$X\subset \mathbb{R}$に対し，$X$の下限が存在する．
$X$は下に有界であるから，ある$m\in \mathbb{R}$が存在し，任意の$x\in X$に対し$x\ge m$，すなわち$-x\le -m$となる．
$Y=\{ -x\mid x\in X\}$とすると，任意の$y\in Y$に対し$y\le -m$となるから，$Y$は上に有界である．よって，連続の公理より$\sup Y\in \mathbb{R}$が存在し，次の2つが成り立つ．
- 任意の$y\in Y$に対し$y\le \sup Y$が成り立つ．
- 任意の$\varepsilon >0$に対し，ある$y^{\prime}\in Y$が存在し，$\sup Y-\varepsilon <y^{\prime}$となる．
ここで，$z=-y,z^{\prime}=-y^{\prime}$とおくと$z,z^{\prime}\in X$であるから
- 任意の$z\in X$に対し$z\ge -\sup Y$が成り立つ．
- 任意の$\varepsilon >0$に対し，ある$z^{\prime}\in X$が存在し，$-\sup Y+\varepsilon >z^{\prime}$となる．
よって，$-\sup Y$は$X$の下限である．$\blacksquare$
上限･下限と包含関係
有界集合の包含関係が分かっているとき，上限と下限の大小関係を議論することができる．
空でない集合$A,B\subset \mathbb{R}$が$A\subset B$を満たすとき，次が成り立つ．
- $B$が上に有界ならば，$A$も上に有界であり，$\sup A\le \sup B$
- $B$が下に有界ならば，$A$も下に有界であり，$\inf A\ge \inf B$
- $B$が上に有界であるとき，連続の公理より$\sup B$が存在し，任意の$b\in B$に対し，$b\le\sup B$となる．
任意の$a\in A$に対し，$A\subset B$より$a\in B$であるから$a\le \sup B$であり，$\sup B$は$A$の上界，すなわち$A$は上に有界である．よって，連続の公理より$\sup A$が存在する．
$A$の上界全体の集合を$U(A)$とすると，$\sup B\in U(A)$であるから
\[ \sup A=\min U(A)\le \sup B\]
が得られる．$\blacksquare$ - $B$が下に有界であるとき，命題3より$\inf B$が存在し，任意の$b\in B$に対し，$b\ge \inf B$となる．
任意の$a\in A$に対し，$A\subset B$より$a\in B$であるから$a\ge \inf B$であり，$\inf B$は$A$の下界，すなわち$A$は下に有界である．よって，命題3より$\inf A$が存在する．
$A$の下界全体の集合を$L(A)$とすると，$\inf B\in L(A)$であるから
\[ \inf A=\max L(A)\ge \inf B\]
が得られる．$\blacksquare$
上限･下限と加法･減法
まずは上限･下限と加法の関係について見ていこう．
空でない集合$A,B\subset \mathbb{R}$に対し，集合$A+B$を
\[ A+B=\{ a+b\mid a\in A\land b\in B\} \]
のように定めるとき，次が成り立つ．
- $A,B$がともに上に有界ならば，$A+B$も上に有界であり，$\sup (A+B)=\sup A+\sup B$
- $A,B$がともに下に有界ならば，$A+B$も下に有界であり，$\inf (A+B)=\inf A+\inf B$
- $A,B$がともに上に有界であるとき，連続の公理より$\sup A,\sup B$が存在する．よって，任意の$a\in A$及び$b\in B$に対し
\[ a\le \sup A,\quad b\le \sup B\]
任意の$c\in A+B$に対し，ある$a^{\prime}\in A,b^{\prime}\in B$が存在し
\[ c=a^{\prime}+b^{\prime}\le \sup A+\sup B\]
が成り立つから，$\sup A+\sup B$は$A+B$の上界であり，$A+B$は上に有界である．よって，連続の公理より$\sup (A+B)$が存在する．
$A+B$の上界全体の集合を$U(A+B)$とすると，$\sup A+\sup B\in U(A+B)$であるから
\[ \sup (A+B)=\min U(A+B)\le \sup A+\sup B\]
が成り立つ．ここで，$\sup (A+B)<\sup A+\sup B$と仮定すると
\[ \varepsilon =\dfrac{\sup A+\sup B-\sup (A+B)}{2}>0\]
に対し，ある$x\in A,y\in B$が存在し
\[ \sup A-\dfrac{\varepsilon}{2}<x,\quad \sup B-\dfrac{\varepsilon}{2}<y\]
となる．このとき$x+y\in A+B$であるが，
\[ \begin{aligned}x+y&>\sup A+\sup B-\varepsilon \\ &=\sup A+\sup B-\dfrac{\sup A+\sup B-\sup (A+B)}{2}\\ &=\dfrac{\sup A+\sup B+\sup (A+B)}{2}\\ &>\dfrac{\sup (A+B)+\sup (A+B)}{2}\\ &=\sup (A+B)\end{aligned}\]
となり矛盾する．したがって，$\sup (A+B)=\sup A+\sup B$である．$\blacksquare$ - $A,B$がともに下に有界であるとき，命題3より$\inf A,\inf B$が存在する．よって，任意の$a\in A$及び$b\in B$に対し
\[ a\ge \inf A,\quad b\ge \inf B\]
任意の$c\in A+B$に対し，ある$a^{\prime}\in A,b^{\prime}\in B$が存在し
\[ c=a^{\prime}+b^{\prime}\ge \inf A+\inf B\]
が成り立つから，$\inf A+\inf B$は$A+B$の下界であり，$A+B$は下に有界である．よって，命題3より$\inf (A+B)$が存在する．
$A+B$の下界全体の集合を$L(A+B)$とすると，$\inf A+\inf B\in L(A+B)$であるから
\[ \inf (A+B)=\max L(A+B)\ge \inf A+\inf B\]
が成り立つ．ここで，$\inf (A+B)>\inf A+\inf B$と仮定すると
\[ \varepsilon =\dfrac{\inf (A+B)-\inf A-\inf B}{2}>0\]
に対し，ある$x\in A,y\in B$が存在し
\[ x<\inf A+\dfrac{\varepsilon}{2},\quad y<\inf B+\dfrac{\varepsilon}{2}\]
となる．このとき$x+y\in A+B$であるが，
\[ \begin{aligned}x+y&<\inf A+\inf B+\varepsilon \\ &=\inf A+\inf B+\dfrac{\inf (A+B)-\inf A-\inf B}{2}\\ &=\dfrac{\inf A+\inf B+\inf (A+B)}{2}\\ &<\dfrac{\inf (A+B)+\inf (A+B)}{2}\\ &=\inf (A+B)\end{aligned}\]
となり矛盾する．したがって，$\inf (A+B)=\inf A+\inf B$である．$\blacksquare$
次に，上限･下限と乗法の関係について見ていこう．
空でない集合$A,B\subset [0,+\infty )$に対し，集合$A+B$を
\[ AB=\{ ab\mid a\in A\land b\in B\} \]
のように定めるとき，次が成り立つ．
- $A,B$がともに上に有界ならば，$AB$も上に有界であり，$\sup (AB)=\sup A\sup B$
- $A+B$は下に有界であり，$\inf (AB)=\inf A\inf B$
- $A,B$がともに上に有界であるとき，連続の公理より$\sup A,\sup B$が存在する．よって，任意の$a\in A$及び$b\in B$に対し
\[ a\le \sup A,\quad b\le \sup B\]
任意の$c\in AB$に対し，ある$a^{\prime}\in A,b^{\prime}\in B$が存在し
\[ c=a^{\prime}b^{\prime}\le \sup A\sup B\]
が成り立つから，$\sup A\sup B$は$AB$の上界である．
また，任意の$\varepsilon >0$に対し
\[ \delta =\min \left\{ 1,\dfrac{\varepsilon}{1+\sup A+\sup B}\right\} \]
とおくと，ある$x\in A,y\in B$が存在し
\[ \sup A-\delta <x,\quad \sup B-\delta <y\]
となる．$0<\delta \le 1$より$\delta ^2\le \delta$であるから
\[ \begin{aligned}\sup A\sup B&<(x+\delta )(y+\delta )\\ &=xy+(x+y)\delta +\delta ^2\\ &\le xy+(1+x+y)\delta \\ &\le xy+\dfrac{1+x+y}{1+\sup A+\sup B}\varepsilon \\ &\le xy+\varepsilon \end{aligned}\]
$xy\in AB$であるから，$\sup A\sup B$は$AB$の上限，すなわち$\sup (AB)=\sup A\sup B$である．$\blacksquare$ - $A,B\in [0,+\infty )$はともに下に有界であり，命題3より$\inf A,\inf B$が存在する．よって，任意の$a\in A$及び$b\in B$に対し
\[ a\ge \inf A,\quad b\ge \inf B\]
任意の$c\in AB$に対し，ある$a^{\prime}\in A,b^{\prime}\in B$が存在し
\[ c=a^{\prime}b^{\prime}\ge \inf A\inf B\]
が成り立つから，$\inf A\inf B$は$AB$の下界である．
また，任意の$\varepsilon >0$に対し
\[ \delta =\min \left\{ 1,\dfrac{\varepsilon}{1+\sup A+\sup B}\right\} \]
とおくと，ある$x\in A,y\in B$が存在し
\[ x<\inf A+\delta ,\quad y<\inf B+\delta \]
となる．このとき
\[ \begin{aligned}\inf A\inf B&>(x-\delta )(y-\delta )\\ &=xy-(x+y)\delta +\delta ^2\\ &> xy-(x+y)\delta \\ &=xy-\dfrac{1+x+y}{1+\sup A+\sup B}\varepsilon \\ &\ge xy-\varepsilon \end{aligned}\]
$xy\in AB$であるから，$\inf A\inf B$は$AB$の下限，すなわち$\inf (AB)=\inf A\inf B$である．$\blacksquare$
上限と下限の性質の主張は直感的には理解しやすいが，厳密に証明しようとすると複雑なものとなる．しかし，定義に則って証明することに変わりはないため，丁寧に論理を追うことが必要である．