関数の和・差・積・商及び合成と微分の整合性を取り上げる．
関数の和･定数倍と微分
まず，微分の線形性について考えよう．すなわち，｢和の微分｣は｢微分の和｣であり，｢定数倍の微分｣は｢微分の定数倍｣である．
$I\subset \mathbb{R}$を開区間，$f,g:I\to \mathbb{R}$を$I$上微分可能である関数とするとき，次が成り立つ．
- $(f(x)\pm g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)\pm g^{\prime}(x)$
- $c\in \mathbb{R}$とする．
$(cf(x))^{\prime}=cf^{\prime}(x)$
- 任意の$x\in I$に対して
\[ \begin{aligned}(f(x)\pm g(x))^{\prime}&=\lim _{h\to 0}\frac{(f(x+h)\pm g(x+h))-(f(x)\pm g(x))}{h}\\ &=\lim _{h\to 0}\left( \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\pm \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right) \\ &=\lim _{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\pm \lim _{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ &=f^{\prime}(x)\pm g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)\pm g^{\prime}(x)\end{aligned}\]
が成り立つことから従う．$\blacksquare$ - 任意の$x\in I$に対して
\[ \begin{aligned}(cf(x))^{\prime}&=\lim _{h\to 0}\frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\left( c\cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right) \\ &=\lim _{h\to 0}c\cdot \lim _{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=cf^{\prime}(x)\end{aligned}\]
が成り立つことから従う．$\blacksquare$
積の微分法と商の微分法
次に，関数の積の微分と商の微分について考えよう．
$I\subset \mathbb{R}$を開区間，$f,g:I\to \mathbb{R}$を$I$上微分可能である関数とするとき，次が成り立つ．
- (積の微分法(または積の微分法則，積の法則)(product rule)(またはライプニッツ則(Leibniz rule, Leibniz product rule)))
$(f(x)g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)$ - (商の微分法(または商の微分法則，商の法則)(quotient rule))
任意の$x\in I$に対して，$g(x)\neq 0$であるとする．
$\left( \dfrac{f(x)}{g(x)}\right) ^{\prime}=\dfrac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{(g(x))^2}$
- $g$は$I$上微分可能であるから，$g$は$I$上連続である．
任意の$x\in I$に対して
\[ \begin{aligned}&(f(x)g(x))^{\prime}=\lim _{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ =&\lim _{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ =&\lim _{h\to 0}\left( \frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right) \\ =&\lim _{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot \lim _{h\to 0}g(x+h)+\lim _{h\to 0}f(x)\cdot \lim _{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ =&f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\end{aligned}\]
が成り立つことから従う．$\blacksquare$ - $g$は$I$上微分可能であるから，$g$は$I$上連続である．
任意の$x\in I$に対して
\[ \begin{aligned}&\left( \frac{f(x)}{g(x)}\right) ^{\prime}=\lim _{h\to 0}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}=\lim _{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x)g(x+h)}\\ =&\lim _{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x)g(x+h)}\\ =&\lim _{h\to 0}\left( \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot \frac{1}{g(x+h)}-f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\cdot \frac{1}{g(x)g(x+h)}\right) \\ =&\lim _{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot \frac{\displaystyle \lim _{h\to 0}1}{\displaystyle \lim _{h\to 0}g(x+h)}-\lim _{h\to 0}f(x)\cdot \lim _{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\cdot \frac{\displaystyle \lim _{h\to 0}1}{\displaystyle \lim _{h\to 0}g(x)\cdot \lim _{h\to 0}g(x+h)}\\ =&f^{\prime}(x)\cdot \frac{1}{g(x)}-f(x)\cdot g^{\prime}(x)\cdot \frac{1}{(g(x))^2}\\ =&\frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{(g(x))^2}\end{aligned}\]
が成り立つことから従う．$\blacksquare$
合成関数の微分法
最後に，合成関数の微分について考えよう．
$I,J\subset \mathbb{R}$を開区間，$f:I\to J$を$I$上微分可能である関数，$g:J\to \mathbb{R}$を$J$上微分可能である関数とする．
$g\circ f$は$I$上微分可能であり，次が成り立つ．
\[ (g\circ f)^{\prime}(x)=g^{\prime}(f(x))f^{\prime}(x)\]
$x\in I$を任意にとる．
関数$\phi :J\to \mathbb{R}$を
\[ \phi (y)=\begin{dcases}\frac{g(y)-g(f(x))}{y-f(x)}&(y\in J\setminus \{ f(x)\} )\\ g^{\prime}(f(x))&(y=f(x))\end{dcases}\quad (y\in J)\]
により定めると，$g$は$J$上連続であるから，$\phi$は$J$上連続である．また，$f$は$I$上連続であるから，$\phi \circ f$は$I$上連続である．
また，任意の$y\in J\setminus \{ f(x)\}$に対して
\[ g(y)-g(f(x))=\phi (y)(y-f(x))\tag{$\ast$}\]
が成り立つ．$(\ast )$は$y=f(x)$のときも成り立つから，$(\ast )$は任意の$y\in J$に対して成り立つ．
したがって
\[ \begin{aligned}(g\circ f)^{\prime}(x)&=\lim _{h\to 0}\frac{(g\circ f)(x+h)-(g\circ f)(x)}{h}\\ &=\lim _{h\to 0}\frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{h}\\ &=\lim _{h\to 0}\frac{\phi (f(x+h))(f(x+h)-f(x))}{h}\\ &=\lim _{h\to 0}\phi (f(x+h))\cdot \lim _{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\phi (f(x))f^{\prime}(x)=g^{\prime}(f(x))f^{\prime}(x)\end{aligned}\]
が成り立つことから従う．