微分積分学ボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理
実数を特徴づける部分列の最も重要な性質であるボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理の主張と証明を解説する．ボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理定理1(ボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理(Bolzano-Weierstrass theo...
大学数学
微分積分学
微分積分学部分列
数列の項を順序を変えずに取り出すことによって得られる数列の性質について考える．部分列定義1$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を数列とする．狭義単調増加である正の整数の数列$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$...
微分積分学数列の単調性
数列の項の特徴として，その大小関係を考えることは非常に有効である．ここでは数列の単調性についての定義をまとめた．数列の単調性数列の単調性は，次の4つに分類できる．狭義単調増加$\forall n\in \mathbb{N},a_n<a_{n...
代数学一般線形群と特殊線形群
一般線形群定義1体$K$上のベクトル空間$V$の全単射な線形変換全体の集合を$V$の一般線形群(general linear group)といい，$\mathrm{GL}(V)$で表す．定義1は，次のように言い換えることができる．定義2$n...
代数学部分群
部分群定義1$G$を群，$H\subset G$とする．$H$が$G$上の演算に関して群であるとき，$H$を$G$の部分群(subgroup)という．部分群の基本性質を確認しよう．命題1$H$を群$G$の部分群とするとき，次が成り立つ．$e...
代数学体
体の定義体では，環と同様に2つの演算を考える．この記事では，集合$S$上の二項演算$\phi ,\psi$を\で表すことにする．体の定義には環やその周辺の概念についての定義の理解が欠かせない．詳しくは以下の記事を参照するとよい．この記事を含...
代数学環
重要な代数的構造の1つである環は，集合とその2つの演算について考える．環の定義環環では2つの演算を考える．この記事では，集合$S$上の二項演算$\phi ,\psi$を\で表すことにする．環の定義には群やその周辺の概念についての定義の理解が...
代数学対称群
代数的構造である群は，対称性を捉えるのに非常に便利な概念である．ここでは，置換とその演算を考え，それによって構成される群について扱う．置換群一般の集合に対して，置換は次のように定義される．定義1$X$を集合とする．全単射$\sigma :X...
代数学群
集合とその演算の構造についてとらえるために非常に重要で抽象的な概念である群について徹底的に解説する．群の定義演算群とは，ある条件を満たす，演算が定義された集合のことを指す概念である．まずは演算について確認する．定義1$S$を集合とする．写像...
数学基礎論直積
複数の集合の元によって構成される直積について解説する．集合の直積2つの集合の直積定義1$A,B$を集合とする．$A$の元と$B$の元の順序対1からなる集合$A\times B$を\により定め，$A$と$B$の直積(または直積集合)(dire...