複数の集合の元によって構成される直積について解説する．
集合の直積
2つの集合の直積
$A,B$を集合とする．$A$の元と$B$の元の順序対1からなる集合$A\times B$を
\[ A\times B=\{ (a,b)\mid a\in A\land b\in B\} \]
により定め，$A$と$B$の直積(または直積集合)(direct product)(またはデカルト積(Cartesian product)，積(または積集合)(product))という．また，$A,B$を$A\times B$の直積因子といい，$a$を$A\times B$の第1成分(または第1座標)(first entry, first component)，$b$を$A\times B$の第2成分(または第2座標)(second entry, second component)という．
複数の集合の直積
2つの集合の直積の定義を拡張することにより，3つ以上の集合に対しても，その直積を定義することができる．
$n\in \mathbb{N}$，$A_1,A_2,\dots ,A_n$を集合とする．$A_1,A_2,\dots ,A_n$の直積$\displaystyle \prod _{i=1}^nA_i$(または$A_1\times A_2\times \dots \times A_n$)を
\[ \prod _{i=1}^nA_i=A_1\times A_2\times \dots \times A_n=\{ (a_1,a_2,\dots ,a_n)\mid \forall i\in \mathbb{N},1\le i\le n\implies a_i\in A_i\} \]
により定め，$A_1,A_2,\dots ,A_n$の直積という．また，$A_i$を$\displaystyle \prod _{i=1}^nA_i$の直積因子といい，$a_i$を$\displaystyle \prod _{i=1}^nA_i$の第$i$成分(または第$i$座標)($i$-th entry, $i$-th component)という．
デカルト冪
複数の同じ集合に対する直積を考えるときは，次のような表記を導入すると簡潔に記述することができる．
$n\in \mathbb{N}$とし，$A$を集合とする．$A$のデカルト冪(Cartesian exponential)(特に$n$乗デカルト冪($n$-th Cartesian power))$A^n$を次のように定める．
\[ \begin{aligned}A^1&=A\\ A^{n+1}&=A^n\times A\end{aligned}\]
直積の例
まずは簡単な例から確認してみよう．
集合$A=\{ 1,2\} ,B=\{ 3,4,5\}$に対して，$A$と$B$の直積$A\times B$は次のようになる．
\[ \begin{aligned}A\times B&=\{ (a,b)\mid a\in A\land b\in B\} \\ &=\{ (1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\} \end{aligned}\]
次に，重要な直積を考える．直積のイメージを捉えることができるかもしれない．
$\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$について考える．この集合の任意の元は実数$x$と実数$y$の組$(x,y)$で表される．よって，$\mathbb{R}^2$は$xy$直交座標平面に対応付けることができる．
$\mathbb{R}^3=\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}$について考える．この集合の任意の元は実数$x$と実数$y$と実数$z$の組$(x,y,z)$で表される．よって，$\mathbb{R}^3$は$xyz$直交座標空間に対応付けることができる．
より一般に，$n\in \mathbb{N}$に対して，$\mathbb{R}^n$は$n$本の軸を持つ直交座標によって表現される$n$次元空間に対応付けることができる．この発想は，線形代数学や微分積分学といった様々な分野の数学で重要な役割を果たす．
ここでの｢対応付ける｣といった表現は写像によって厳密に述べることができる．具体的には，$n\in \mathbb{N}$に対して，$\mathbb{R}^n$と$n$次元空間との間に全単射が存在するということである．
直積の性質
成り立たない性質
和集合や共通部分が持つ性質との違いを区別しておく．
まず，交換律は成り立たない．例えば，集合$A,B$の直積$A\times B$の元$(a,b)$が与えられているとき，元である順序対の左側の成分$a$は$A$の元を表し，右側の成分$b$は$B$の元を表している．つまり，$a\in B$であったり，$b\in A$であったとしても，$(a,b)$という元は$A$から$a$の元を取り出し，$B$から$b$の元を取り出し，その2つを順序を考慮してペアにしたものとして表現される．
次に，結合律も成り立たない．$A,B,C$を集合とするとき，例えば次の3つの直積はすべて異なる集合である．
\[ A\times B\times C\\ (A\times B)\times C\\ A\times (B\times C)\]
$a\in A,b\in B,c\in C$を取り出すことによって得られるそれぞれの直積の元は，次のように表される．
\[ (a,b,c)\in A\times B\times C\\ ((a,b),c)\in (A\times B)\times C\\ (a,(b,c))\in A\times (B\times C)\]
ただし，これらの元を同一視することはできる．これは，$\mathbb{R}^2$の元と$xy$直交座標平面上の点を同一視したのと同様に，これらの直積の間に全単射を考えることができるからである．この同一視を前提とすると，複数の集合の直積を次のように帰納的に定義することもできる．
$n\in \mathbb{N}$とし，$A_1,A_2,\dots ,A_{n+2}$を集合とする．このとき，$A_1,A_2,\dots ,A_{n+2}$の直積$A_1\times A_2\times \dots \times A_{n+2}$を次のように定める．
\[ \begin{aligned}A_1\times A_2&=\{ (a_1,a_2)\mid a_1\in A_1\land a_2\in A_2\} \\ A_1\times A_2\times \dots \times A_{n+2}&=(A_1\times A_2\times \dots \times A_{n+1})\times A_{n+2}\end{aligned}\]
成り立つ性質
集合$A,B,C,D$に対して，次が成り立つ．
- $A\subset B\implies A\times C\subset B\times C$
- $A,B$が空でないとき，$A\times B\subset C\times D\iff A\subset C\land B\subset D$
- 以下の同値変形から従う．
\[ \begin{aligned}(x,y)\in A\times C&\implies x\in A\land y\in C\\ &\implies x\in B\land y\in C\\ &\implies (x,y)\in B\times C\blacksquare \end{aligned}\] - $(\implies )$:
\[ \begin{aligned}x\in A&\implies \forall y\in B,(x,y)\in A\times B\\ &\implies \forall y\in B, (x,y)\in C\times D\\ &\implies x\in C\end{aligned}\]
\[ \begin{aligned}y\in B&\implies \forall x\in A,(x,y)\in A\times B\\ &\implies \forall x\in A, (x,y)\in C\times D\\ &\implies y\in D\blacksquare \end{aligned}\]
$(\impliedby)$:
\[ \begin{aligned}(x,y)\in A\times B&\implies x\in A\land y\in B\\ &\implies x\in C\land y\in D\\ &\implies (x,y)\in C\times D\blacksquare \end{aligned}\]
集合$A,B,C,D$に対して，次が成り立つ．
- $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$
- $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$
- $A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)$
- $(A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)$
- $(A\times B)^c=(A^c\times B^c)\cup (A^c\times B)\cup (A\times B^c)$
- 以下の同値変形から従う．
\[ \begin{aligned}(x,y)\in A\times (B\cup C)&\iff x\in A\land y\in B\cup C\\ &\iff x\in A\land (y\in B\lor y\in C)\\ &\iff (x\in A\land y\in B)\lor (x\in A\land y\in C)\\ &\iff (x,y)\in A\times B\lor (x,y)\in A\times C\\ &\iff (x,y)\in (A\times B)\cup (A\times C)\blacksquare \end{aligned}\] - 以下の同値変形から従う．
\[ \begin{aligned}(x,y)\in A\times (B\cap C)&\iff x\in A\land y\in B\cap C\\ &\iff x\in A\land (y\in B\land y\in C)\\ &\iff (x\in A\land y\in B)\land (x\in A\land y\in C)\\ &\iff (x,y)\in A\times B\land (x,y)\in A\times C\\ &\iff (x,y)\in (A\times B)\cap (A\times C)\blacksquare \end{aligned}\] - 以下の同値変形から従う．
\[ \begin{aligned}(x,y)\in A\times (B\setminus C)&\iff x\in A, y\in B\setminus C\\ &\iff x\in A\land (y\in B\land y\not\in C)\\ &\iff (x\in A\land y\in B)\land (x\in A\land y\not\in C)\\ &\iff (x,y)\in A\times B\land (x,y)\not\in A\times C\\ &\iff (x,y)\in (A\times B)\setminus (A\times C)\blacksquare \end{aligned}\] - 以下の同値変形から従う．
\[ \begin{aligned}(x,y)\in (A\cap B)\times (C\cap D)&\iff x\in A\cap B\land y\in C\cap D\\ &\iff (x\in A\land x\in B)\land (y\in C\land y\in D)\\&\iff (x\in A\land y\in C)\land (x\in B\land y\in D)\\ &\iff (x,y)\in A\times C\land (x,y)\in B\times D\\ &\iff (x,y)\in (A\times C)\cap (B\times D)\blacksquare \end{aligned}\] - 以下の同値変形から従う．
\[ \begin{aligned}(x,y)\in (A\times B)^c&\iff (x,y)\not\in A\times B\\ &\iff \lnot (x\in A\land y\in B)\\ &\iff x\not\in A\lor y\not\in B\\ &\iff (x\not\in A\land y\not\in B)\lor (x\not\in A\land y\in B)\lor (x\in A\land y\not\in B)\\ &\iff (x\in A^c\land y\in B^c)\lor (x\in A^c\land y\in B)\lor (x\in A\land y\in B^c)\\ &\iff ((x,y)\in A^c\times B^c)\lor ((x,y)\in A^c\times B)\lor ((x,y)\in A\times B^c)\\ &\iff (x,y)\in (A^c\times B^c)\cup (A^c\times B)\cup (A\times B^c)\blacksquare \end{aligned}\]
これらの性質は，3つ以上の集合の直積に対しても，全く同様に成り立つ．
公理的集合論における直積の定義
公理的集合論については，次の記事を参照するとよい．
順序対と非順序対
まずは，順序対と非順序対について整理しておく．ZFC公理系には，次の対の公理(axiom of pairing)を認めていた．
\[ \forall x\forall y\exists z\forall w[w\in z\iff [w=x\lor w=y]]\]
公理における$x,y,z,w$がいずれも集合であることに注意すると，対の公理は次のように解釈することができる．
任意の集合$x,y$に対し，ある集合$z$が存在し，
任意の集合$w$に対し，｢$w$が$z$の元である｣ことと｢$w$が$x$または$y$のいずれかに等しい｣ことが同値となる．
これは，任意の2つの集合$x,y$に対し，$x,y$のみを元とする集合(2元集合)$\{ x,y\}$が存在することを保証している．
このとき，次の命題が成り立つ．
集合$x,y$に対し，$\{ x,y\} =\{ y,x\}$が成り立つ．
外延性公理より，同じ元からなる2つの集合は等しいことから従う．$\blacksquare$
命題3より，非順序対を次のように定義する．
$x,y$を集合とする．$\{ x,y\}$を$x$と$y$の非順序対(unordered pair)という．
また，集合$x$に対し，$\{ x,x\}$を$\{ x\}$で表す．
さて，対の公理を複数回適用することで得られる集合を考え，順序対を定義する．
$x,y$を集合とする．$\{ \{ x\} ,\{ x,y\} \}$を$x$と$y$の順序対(ordered pair)といい，$(x,y)$で表す．
直積
ZFC公理系の置換公理によって導かれる分出公理(または部分集合公理)(axiom schema of specification)(または内包公理(axiom schema of comprehension))を用いて，直積の存在を証明することができる．
$n\in \mathbb{N}$，$\phi$を$w_1,w_2,\dots w_n,x,z$を自由変数にもつ論理式とする．
\[ \forall w_1\forall w_2\dots \forall w_n\forall x\exists y\forall z[z\in y\iff z\in x\land \phi (w_1,w_2,\dots ,w_n,x,z)]\]
集合$a,b$に対し，$x\in a$と$y\in b$の順序対$(x,y)$全体からなる集合が存在する．
$(x,y)=\{ \{ x\} ,\{ x,y\} \}$であり
\[ x\in 2^a\subset 2^{a\cup b},\quad y\in 2^{a\cup b}\]
であるから，$(x,y)\in 2^{2^{a\cup b}}$である．よって，分出公理より
\[ \exists w\forall z[z\in w\iff z\in 2^{2^{a\cup b}}\land \exists x\exists y[z=(x,y)\land x\in a\land y\in b]\]
となる2．
集合$a,b$に対し，$x\in a$と$y\in b$の順序対$(x,y)$全体からなる集合を$a$と$b$の直積といい，$a\times b$で表す．