全称命題と存在命題の定義と，その否定についてまとめた．
全称記号
次の命題$P$を考える．
$P$:$n$が正の整数$\implies n>0$
$n$が正の整数であることと，$n$が$1,2,\dots $のいずれかと等しいことは同値であるから，$P$は次の命題
\[(n=1\lor n=2\lor \dots )\implies n>0\]
と同値である．これをさらに同値変形してみよう．
\[\begin{array}{lll}&(n=1\lor n=2\lor \dots )\implies n>0&\\ \iff &\lnot (n=1\lor n=2\lor \dots )\lor n>0&論理包含の定義\\ \iff &(n\neq 1\land n\neq 2\land \dots )\lor n>0&ド･モルガンの法則\\ \iff &(n\neq 1\lor n>0)\land (n\neq 2\lor n>0)\land \dots &分配法則\\ \iff &(n=1\implies n>0)\land (n=2\implies n>0)\land \dots &論理包含の定義\end{array}\]
つまり，$P$は次の命題
\[ Q:(n=1\implies n>0)\land (n=2\implies n>0)\land \dots \]
と同値である．
この命題を表記するとき，いずれも記号｢$\implies$｣が入っている．複雑な命題になると，記号｢$\implies$｣の数が増え，読みにくくなってしまう恐れがある．この命題を簡潔に表記するために，新たな記号を導入しよう．
$P,Q$を条件とし，$x$が条件$P,Q$を満たすことを，それぞれ$P(x),Q(x)$で表すことにする．このとき，命題
\[ P(x)\implies Q(x)\]
を
\[ \forall x(P(x)),Q(x)\]
で表し，$\forall$を全称記号(universal quantifier)といい，｢任意の～に対して｣(または｢すべての～に対して｣)と読む．
例えば，正の整数全体の集合を$\mathbb{N}$で表すことにすると，命題$P$及び$Q$は次のように表される．
\[ \forall n(n\in \mathbb{N}),n>0\]
特に，次のように省略して表すことが多い．
\[ \forall n\in \mathbb{N},n>0\]
読み方は｢任意の正の整数$n$に対して，$n>0$が成り立つ｣などである．
存在記号
次の命題$P^{\prime}$を考える．
$P^{\prime}$:$\lnot$($n$が正の整数$\implies n>1)$
$n$が正の整数であることと，$n$が$1,2,\dots $のいずれかと等しいことは同値であるから，$P^{\prime}$は次の命題
\[\lnot ((n=1\lor n=2\lor \dots )\implies n>1)\]
と同値である．これをさらに同値変形してみよう．
\[\begin{array}{lll}&\lnot ((n=1\lor n=2\lor \dots )\implies n>1)&\\ \iff &\lnot (\lnot (n=1\lor n=2\lor \dots )\lor n>1)&論理包含の定義\\ \iff &\lnot ((n\neq 1\land n\neq 2\land \dots )\lor n>1)&ド･モルガンの法則\\ \iff &\lnot ((n\neq 1\lor n>1)\land (n\neq 2\lor n>1)\land \dots )&分配法則\\ \iff &\lnot ((n=1\implies n>1)\land (n=2\implies n>1)\land \dots )&論理包含の定義\\ \iff &\lnot (n=1\implies n>1)\lor \lnot (n=2\implies n>1)\lor \dots &ド･モルガンの法則\end{array}\]
つまり，$P^{\prime}$は次の命題
\[ Q^{\prime}:\lnot (n=1\implies n>1)\lor \lnot (n=2\implies n>1)\lor \dots \]
と同値である．
この命題を表記するとき，いずれも記号｢$\implies$｣が入っている．複雑な命題になると，記号｢$\implies$｣の数が増え，読みにくくなってしまう恐れがある．この命題を簡潔に表記するために，新たな記号を導入しよう．
$P,Q$を条件とし，$x$が条件$P,Q$を満たすことを，それぞれ$P(x),Q(x)$で表すことにする．このとき，命題
\[ \lnot (P(x)\implies \lnot Q(x))\]
を
\[ \exists x(P(x))\ \mathrm{s.t.}\ Q(x)\]
で表し，$\exists$を存在記号(existential quantifier)といい，｢ある～が存在する｣と読む．
例えば，先程と同様に正の整数全体の集合を$\mathbb{N}$で表すことにすると，命題$P^{\prime}$及び$Q^{\prime}$は次のように表される．
\[ \exists n(n\in \mathbb{N})\ \mathrm{s.t.}\ n\le 1\]
特に，次のように省略して表すことが多い．
\[ \exists n\in \mathbb{N}\ \mathrm{s.t.}\ n\le 1\]
また，$\rm s.t.$は省略することがある．
\[ \exists n\in \mathbb{N},n\le 1\]
読み方は｢ある正の整数$n$が存在して，$n\le 1$となる｣などである．
唯一存在記号
全称記号と存在記号を用いて，唯一存在記号を定義しよう．
$P,Q$を条件とし，$x$が条件$P,Q$を満たすことを，それぞれ$P(x),Q(x)$で表すことにする．このとき，命題
\[ \exists x(P(x))\ \mathrm{s.t.}\ (Q(x)\land (\forall y(P(y)\land Q(y)),x=y))\]
を
\[ \exists !x(P(x))\ \mathrm{s.t.}\ Q(x)\]
で表し，$\exists !$を唯一存在記号(uniqueness quantifier)といい，｢ある～がただ一つ存在する｣(または｢ある～が一意に存在する｣)と読む．
唯一存在記号は，存在記号に｢$\forall y(P(y)\land Q(y)),x=y$｣という条件を付け加えたものである．
命題
\[ \exists N\in \mathbb{N},(N\le 1\land \forall n\in \mathbb{N},n=N)\]
は
\[ \exists !N\in \mathbb{N},N\le 1\]
で表すことができ，｢ある正の整数$N$がただ一つ存在して，$N\le 1$となる｣などと読む．
全称命題･存在命題の否定
以下，$P,Q$を条件とし，$x$が条件$P,Q$を満たすことを，それぞれ$P(x),Q(x)$で表すことにする．
まずは，全称命題の否定について考えよう．
\[ \forall x(P(x)),Q(x)\]
の否定は
\[ \exists x(P(x)),\lnot Q(x)\]
である．
\[ \begin{array}{lll}&\lnot (\forall x(P(x)),Q(x))&\\ \iff &\lnot (P(x)\implies Q(x))&定義1\\ \iff &\lnot (P(x)\implies \lnot (\lnot Q(x)))&二重否定の導入\\ \iff &\exists x(P(x)),\lnot Q(x)&定義2\end{array}\]
よって，示された．$\blacksquare$
次に，存在命題の否定について考えよう．
\[ \exists x(P(x)),Q(x)\]
の否定は
\[ \forall x(P(x)),\lnot Q(x)\]
である．
\[ \begin{array}{lll}&\lnot (\forall x(P(x)),Q(x))&\\ \iff &\lnot (\lnot (P(x)\implies \lnot Q(x)))&定義2\\ \iff &P(x)\implies \lnot Q(x)&二重否定の除去\\ \iff &\forall x(P(x)),\lnot Q(x)&定義1\end{array}\]
よって，示された．$\blacksquare$
つまり，全称命題を否定すると存在命題になり，存在命題を否定すると全称命題になる．全称命題や存在命題を否定するときは，$\forall$と$\exists$を入れ替えて，結論を否定すればよい．
これは，全称記号と存在記号が複合した命題についても成り立つ．
命題｢任意の正の実数$a,b$に対して，ある正の整数$n$が存在して，$na>b$が成り立つ．｣を論理式で表すと
\[ \forall a(a\in \mathbb{R}\land a>0),(\forall b(b\in \mathbb{R}\land b>0),(\exists n(n\in \mathbb{N})\ \mathrm{s.t.}\ na>b))\]
となる．これは，しばしば
\[ \forall a>0,\forall b>0,\exists n\in \mathbb{N},na>b\]
と略記される．
この命題を否定すると
\[ \begin{array}{lll}&\lnot (\forall a(a\in \mathbb{R}\land a>0),(\forall b(b\in \mathbb{R}\land b>0),(\exists n(n\in \mathbb{N})\ \mathrm{s.t.}\ na>b)))&\\ \iff &\exists a(a\in \mathbb{R}\land a>0),\lnot (\forall b(b\in \mathbb{R}\land b>0),(\exists n(n\in \mathbb{N})\ \mathrm{s.t.}\ na>b))&命題1\\ \iff &\exists a(a\in \mathbb{R}\land a>0),(\exists b(b\in \mathbb{R}\land b>0),\lnot (\exists n(n\in \mathbb{N})\ \mathrm{s.t.}\ na>b))&命題1\\ \iff &\exists a(a\in \mathbb{R}\land a>0),(\exists b(b\in \mathbb{R}\land b>0),(\forall n(n\in \mathbb{N})\ \mathrm{s.t.}\ \lnot (na>b)))&命題2\\ \iff &\exists a(a\in \mathbb{R}\land a>0),(\exists b(b\in \mathbb{R}\land b>0),(\forall n(n\in \mathbb{N})\ \mathrm{s.t.}\ na\le b))\end{array}\]
これを略記すると
\[ \exists a>0,\exists b>0,\forall n\in \mathbb{N},na\le b\]
となり，｢ある正の実数$a,b$が存在して，任意の正の整数$n$に対して，$na\le b$となる｣などと読む．
否定のまとめ
命題の否定の方法をまとめておこう．
| 命題 | 否定 |
|---|---|
| $P$ | $\lnot P$ |
| $P\land Q$ | $\lnot P\lor \lnot Q$ |
| $P\lor Q$ | $\lnot P\land \lnot Q$ |
| $\lnot P$ | $P$ |
| $P\implies Q$ | $P\land \lnot Q$ |
| $\forall x(P(x)),Q(x)$ | $\exists x(P(x))\ \mathrm{s.t.}\ \lnot Q(x)$ |
| $\exists x(P(x))\ \mathrm{s.t.}\ Q(x)$ | $\forall x(P(x)),\lnot Q(x)$ |
これらは，様々な形の命題が組み合わさった複合命題の否定にも適用できる．スラスラできるようになるまで，命題の否定に慣れていこう．
- ここでの命題は，論理学でいう｢真偽が定まる主張｣のことを指すのではなく，数学でいう｢真である主張｣のことを指す． ↩︎