当サイトでは，ジョルダン標準形を複数の記事で解説しています．
初学者の方には，以下の順番で記事を読んでいただくことを強く推奨しています．
まずは，具体的な計算を通して，ジョルダン標準形の概念とその求め方を掴みます．2次正方行列については，この記事で解説しています．
3次正方行列については，以下の記事をご覧ください．
実は，任意の正方行列に対して，それと相似なジョルダン標準形が存在します．この証明の準備として，ベクトル空間に関する新しい概念を学びます．
ベクトル空間の和と直和の概念を用いることで，任意の冪零行列に対して，それと相似なジョルダン標準形が存在することを示します．証明は長いですが，ゆっくりと読み進めていけばきっと理解できるはずです．
最後に，一般の正方行列に対して，それと相似なジョルダン標準形が存在することを示します．正方行列を冪零行列に帰着させることによって，証明していきます．
ジョルダン標準形の定義
ジョルダン標準形は，次のように定義される正方行列である．
$\lambda \in \mathbb{C},n\in \mathbb{N}$とする．
$n$次正方行列
\[ \begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0&0\\ 0&\lambda &1&\cdots &0&0\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\ 0&0&0&\cdots &\lambda &1\\ 0&0&0&\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}\]
をジョルダン細胞(Jordan cell)(またはジョルダンブロック(Jordan block))といい，$J(\lambda ;n)$で表す．
ただし，$J(\lambda ;1)=\lambda$とする．
$k\in \mathbb{N}$，$\lambda _1,\lambda _2,\dots ,\lambda _k\in \mathbb{C},n_1,n_2,\dots ,n_k\in \mathbb{N}$とする．
正方行列
\[ \begin{pmatrix}J(\lambda _1;n_1)&&&\text{\huge{0}}\\ &J(\lambda _2;n_2)&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&J(\lambda _k;n_k)\end{pmatrix}\]
をジョルダン標準形(Jordan normal form)という．
$A$を複素正方行列とする．
$A$と相似であるジョルダン標準形$J$を求めることを，$A$を標準化(standardization)するという．
正方行列は対角化することにより，比較的シンプルな形で扱うことができるようになった．しかし，任意の正方行列が対角化可能であるとは限らない．対角化可能でない正方行列に対して，対角化の｢代替的措置｣として行うのが，正方行列の標準化である．対角行列はジョルダン標準形の一種であることに注意が必要である．
2次正方行列のジョルダン標準形
2次正方行列のジョルダン標準形は次の2つのパターンに分類できる．
\[ \begin{pmatrix}\lambda _1&0\\ 0&\lambda _2\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}\lambda _1&1\\ 0&\lambda _1\end{pmatrix}\quad (\lambda _1,\lambda _2\in \mathbb{C})\]
これを体系的に整理すると，次のようになる．
$A$を2次複素正方行列とする．
- $A$が異なる2つの固有値$\lambda _1,\lambda _2\in \mathbb{C}$を持つとき，$A$を標準化すると$\begin{pmatrix}\lambda _1&0\\ 0&\lambda _2\end{pmatrix}$となる．
- $A$がただ1つの固有値$\lambda \in \mathbb{C}$を持つとき
- $\lambda$に対する$A$の固有空間の次元が$2$であるとき，$A$を標準化すると$\begin{pmatrix}\lambda &0\\ 0&\lambda\end{pmatrix}$となる．
- $\lambda$に対する$A$の固有空間の次元が$1$であるとき，$A$を標準化すると$\begin{pmatrix}\lambda &1\\ 0&\lambda\end{pmatrix}$となる．
- $A$は対角化可能であり，$\begin{pmatrix}\lambda _1&0\\ 0&\lambda _2\end{pmatrix}$となる．$\blacksquare$
- $W(\lambda )$を$\lambda$に対する$A$の固有空間とする．
- $A$は対角化可能であり，$\begin{pmatrix}\lambda &0\\ 0&\lambda\end{pmatrix}$となる．特に，$A$はスカラー行列である1．$\blacksquare$
- $A$は対角化可能でない．$\dim (W(\lambda ))=1$より，ある$\bm{x}\in \mathbb{C}^2\setminus \bm{0}$が存在して
\[ \bm{y}\coloneqq (A-\lambda E)\bm{x}\neq \bm{0}\tag{$\ast$}\]
となる．このとき，$\bm{y}$が$A$の固有ベクトルであることを示す．$A$の固有多項式$\phi _A(t)$は
\[ \phi _A(t)=(t-\lambda )^2\]
であるから，ケーリー・ハミルトンの定理より
\[ \phi _A(A)=(A-\lambda E)^2=O\]
である．よって
\[ (A-\lambda E)\bm{y}=(A-\lambda E)^2\bm{x}=O\bm{x}=\bm{0}\]
であるから，$\bm{y}\in W(\lambda )$である．
次に，$\bm{x},\bm{y}$が1次独立であることを示す．
$c_1,c_2\in \mathbb{C}$が
\[ c_1\bm{x}+c_2\bm{y}=\bm{0}\]
を満たすとき，両辺に左から$A-\lambda E$を掛けると
\[ c_1(A-\lambda E)\bm{x}=\bm{0}\]
となるから，$(\ast )$より，$c_1=0$を得る．よって
\[ c_2\bm{y}=\bm{0}\]
であり，$(\ast )$より，$c_2=0$を得る．
したがって，2次正方行列$P$を
\[ P\coloneqq \begin{pmatrix}\bm{y}&\bm{x}\end{pmatrix}\]
により定めると，$P$は正則行列であり
\[ \begin{aligned}(A-\lambda E)P&=\begin{pmatrix}(A-\lambda E)\bm{y}&(A-\lambda E)\bm{x}\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}(A-\lambda E)^2\bm{x}&\bm{y}\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}\bm{0}&\bm{y}\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}\bm{y}&\bm{x}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\\ &=P\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\end{aligned}\]
であるから
\[ P^{-1}(A-\lambda E)P=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\]
すなわち
\[ P^{-1}AP-\lambda E=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\]
となり
\[ P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\lambda &1\\ 0&\lambda \end{pmatrix}\]
を得る．$\blacksquare$
2次正方行列の標準化の例
具体的な行列を標準化してみよう．
$A=\begin{pmatrix}4&1\\ 2&3\end{pmatrix}$の固有多項式$\phi _A(\lambda)$は
\[ \begin{aligned}\phi _A(\lambda )&=|A-\lambda E|\\ &=\begin{vmatrix}4-\lambda &1\\ 2&3-\lambda \end{vmatrix}\\ &=(4-\lambda )(3-\lambda )-2\\ &=\lambda ^2-7\lambda +10\\ &=(\lambda -2)(\lambda -5)\end{aligned}\]
であるから，$A$の固有値は$2$と$5$である．
よって，定理1より，$A$を標準化すると
\[ \begin{pmatrix}2&0\\ 0&5\end{pmatrix}\]
となる．
$B=\begin{pmatrix}3&-1\\ 1&5\end{pmatrix}$の固有多項式$\phi _B(\lambda)$は
\[ \begin{aligned}\phi _B(\lambda )&=|B-\lambda E|\\ &=\begin{vmatrix}3-\lambda &-1\\ 1&5-\lambda \end{vmatrix}\\ &=(3-\lambda )(5-\lambda )+1\\ &=\lambda ^2-8\lambda +16\\ &=(\lambda -4)^2\end{aligned}\]
であるから，$B$の固有値は$4$である．
ここで，連立1次方程式
\[ (B-4E)\bm{x}=\bm{0}\]
すなわち
\[ \begin{pmatrix}-1&-1\\ 1&1\end{pmatrix}\bm{x}=\bm{0}\]
を解くと
\[ \bm{x}=c\begin{pmatrix}1\\ -1\end{pmatrix}\quad (c\in \mathbb{C})\]
であるから，固有値$4$に対する$B$の固有空間の次元は$1$である．
よって，定理1より，$B$を標準化すると
\[ \begin{pmatrix}4&1\\ 0&4\end{pmatrix}\]
となる．
- ある2次の正則行列$P$が存在して，$P^{-1}AP=\lambda E$となるから，両辺に左から$P$を掛けると
\[ AP=\lambda P\]
となる．両辺に右から$P^{-1}$を掛けると
\[ A=\lambda E\]
となるから，$A$はスカラー行列である． ↩︎