正方行列のジョルダン標準形

当サイトでは，ジョルダン標準形を複数の記事で解説しています．
初学者の方には，以下の順番で記事を読んでいただくことを強く推奨しています．

まずは，具体的な計算を通して，ジョルダン標準形の概念とその求め方を掴みます．2次正方行列については，以下の記事をご覧ください．

当サイトでは，ジョルダン標準形を複数の記事で解説しています．初学者の方には，以下の順番で記事を読んでいただくことを強く推奨しています．まずは，具体的な計算を通して，ジョルダン標準形の概念とその求め方を掴みます．2次正方行列については，この記...

3次正方行列については，以下の記事をご覧ください．

3次正方行列のジョルダン標準形

当サイトでは，ジョルダン標準形を複数の記事で解説しています．初学者の方には，以下の順番で記事を読んでいただくことを強く推奨しています．まずは，具体的な計算を通して，ジョルダン標準形の概念とその求め方を掴みます．2次正方行列については，以下の...

実は，任意の正方行列に対して，それと相似なジョルダン標準形が存在します．この証明の準備として，ベクトル空間に関する新しい概念を学びます．

ベクトル空間の和と直和

ベクトル空間の和定義1$n\in \mathbb{N}$，$V$を$\mathbb{C}$上のベクトル空間，$W_1,W_2,\dots ,W_n$を$V$の部分空間とする．\を$W_1,W_2,\dots ,W_n$の和(sum)(または...

ベクトル空間の和と直和の概念を用いることで，任意の冪零行列に対して，それと相似なジョルダン標準形が存在することを示します．証明は長いですが，ゆっくりと読み進めていけばきっと理解できるはずです．

冪零行列のジョルダン標準形

この記事では，一般の正方行列に対して，それと相似なジョルダン標準形が存在することを示します．正方行列を冪零行列に帰着させることによって，証明していきます．

ジョルダン標準形の定義
補題の準備
ジョルダン標準形の存在定理

ジョルダン標準形の定義

ジョルダン標準形は，次のように定義される正方行列である．

定義1

$\lambda \in \mathbb{C},n\in \mathbb{N}$とする．
$n$次正方行列
\[ \begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0&0\\ 0&\lambda &1&\cdots &0&0\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\ 0&0&0&\cdots &\lambda &1\\ 0&0&0&\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}\]
をジョルダン細胞(Jordan cell)(またはジョルダンブロック(Jordan block))といい，$J(\lambda ;n)$で表す．
ただし，$J(\lambda ;1)=\lambda$とする．

定義2

$k\in \mathbb{N}$，$\lambda _1,\lambda _2,\dots ,\lambda _k\in \mathbb{C},n_1,n_2,\dots ,n_k\in \mathbb{N}$とする．
正方行列
\[ \begin{pmatrix}J(\lambda _1;n_1)&&&\text{\huge{0}}\\ &J(\lambda _2;n_2)&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&J(\lambda _k;n_k)\end{pmatrix}\]
をジョルダン標準形(Jordan normal form)という．

定義3

$A$を複素正方行列とする．
$A$と相似であるジョルダン標準形$J$を求めることを，$A$を標準化(standardization)するという．

正方行列は対角化することにより，比較的シンプルな形で扱うことができるようになった．しかし，任意の正方行列が対角化可能であるとは限らない．対角化可能でない正方行列に対して，対角化の｢代替的措置｣として行うのが，正方行列の標準化である．対角行列はジョルダン標準形の一種であることに注意が必要である．

補題の準備

一般の正方行列が標準化できることを示す準備として，2つの補題を示す．

補題1

$m,n\in \mathbb{N}$，$A$を$m\times n$複素行列，$B$を$n$次複素行列，$N$を$m$次の冪零行列とする．
ある$m+n$次正則行列$P$が存在して
\[ P^{-1}\begin{pmatrix}N&A\\ O&B\end{pmatrix}P=\begin{pmatrix}N&O\\ O&B\end{pmatrix}\]
となる．

補題1の証明

$N$は冪零行列であるから，ある$k\in \mathbb{N}$が存在して，$N^k=O$となる．
このとき，ある$m\times n$複素行列$C$が存在して
\[ \begin{pmatrix}N&A\\ O&B\end{pmatrix}^k=\begin{pmatrix}O&C\\ O&B^k\end{pmatrix}\]
となる．

ここで，$B$が正則であることに注意して
\[ P\coloneqq \begin{pmatrix}E_m&C(B^{-1})^k\\ O&E_n\end{pmatrix}\]
とおくと
\[ \begin{aligned}&P\begin{pmatrix}E_m&-C(B^{-1})^k\\ O&E_n\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}E_m&C(B^{-1})^k\\ O&E_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_m&-C(B^{-1})^k\\ O&E_n\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}E_m&O\\ O&E_n\end{pmatrix}=E_{m+n}\end{aligned}\]
であるから$P$は正則であり
\[ P^{-1}=\begin{pmatrix}E_m&-C(B^{-1})^k\\ O&E_n\end{pmatrix}\]
である．

また
\[ \begin{aligned}&P^{-1}\begin{pmatrix}N&A\\ O&B\end{pmatrix}^kP\\ =&\begin{pmatrix}E_m&-C(B^{-1})^k\\ O&E_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}O&C\\ O&B^k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_m&C(B^{-1})^k\\ O&E_n\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}O&O\\ O&B^k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_m&C(B^{-1})^k\\ O&E_n\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}O&O\\ O&B^k\end{pmatrix}\end{aligned}\]
であり
\[ D\coloneqq NC(B^{-1})^k+A-C(B^{-1})^{k-1}\]
とおくと
\[ \begin{aligned}&P^{-1}\begin{pmatrix}N&A\\ O&B\end{pmatrix}P\\ =&\begin{pmatrix}E_m&-C(B^{-1})^k\\ O&E_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}N&A\\ O&B\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_m&C(B^{-1})^k\\ O&E_n\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}N&A-C(B^{-1})^{k-1}\\ O&B\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_m&C(B^{-1})^k\\ O&E_n\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}N&NC(B^{-1})^k+A-C(B^{-1})^{k-1}\\ O&B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}N&D\\ O&B\end{pmatrix}\end{aligned}\]
となる．

以上より
\[ \begin{aligned}&P^{-1}\begin{pmatrix}N&A\\ O&B\end{pmatrix}^kP\\ =&P^{-1}\begin{pmatrix}N&A\\ O&B\end{pmatrix}^kPP^{-1}\begin{pmatrix}N&A\\ O&B\end{pmatrix}P\\ =&\begin{pmatrix}O&O\\ O&B^k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}N&D\\ O&B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}O&O\\ O&B^{k+1}\end{pmatrix}\end{aligned}\]
であり
\[ \begin{aligned}&P^{-1}\begin{pmatrix}N&A\\ O&B\end{pmatrix}^kP\\ =&P^{-1}\begin{pmatrix}N&A\\ O&B\end{pmatrix}PP^{-1}\begin{pmatrix}N&A\\ O&B\end{pmatrix}^kP\\ =&\begin{pmatrix}N&D\\ O&B\end{pmatrix}\begin{pmatrix}O&O\\ O&B^k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}O&DB^k\\ O&B^{k+1}\end{pmatrix}\end{aligned}\]
であるから
\[ O=DB^k\]
$B$は正則であるから，両辺に$(B^{-1})^k$を右から掛けると，$D=O$を得る．したがって
\[ P^{-1}\begin{pmatrix}N&A\\ O&B\end{pmatrix}P=\begin{pmatrix}N&O\\ O&B\end{pmatrix}\]
となり，示された．$\blacksquare$

補題2

$k\in \mathbb{N}$，$\lambda _1,\lambda _2,\dots ,\lambda _k\in \mathbb{C}$とし，$i\in \{ 1,2,\dots ,k\}$に対して
\[ A_i=\begin{pmatrix}\lambda _i&&\text{\huge{$\ast$}}\\ &\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&\lambda _i\end{pmatrix}\]
とする．
\[ A=\begin{pmatrix}A_1&&&\text{\huge{$\ast$}}\\ &A_2&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&A_k\end{pmatrix}\]
に対して，ある正則行列$P$が存在して
\[ P^{-1}AP=\begin{pmatrix}A_1&&&\text{\huge{0}}\\ &A_2&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&A_k\end{pmatrix}\]
となる．

補題2の証明

$k$に関する数学的帰納法で示す．

$k=1$のとき，$P=E$とすると
\[ P^{-1}AP=EAE=A=A_1\]
となる．

$k=l$のとき，補題2が成り立つと仮定すると，ある正則行列$Q$が存在して
\[ Q^{-1}\begin{pmatrix}A_2&&&\text{\huge{$\ast$}}\\ &A_3&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&A_{l+1}\end{pmatrix}Q=\begin{pmatrix}A_2&&&\text{\huge{0}}\\ &A_3&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&A_l\end{pmatrix}\]
となる．ここで
\[ R\coloneqq \begin{pmatrix}1&O\\ O&Q\end{pmatrix}\]
とおくと
\[ \begin{aligned}R^{-1}AR&=\begin{pmatrix}1&O\\ O&Q^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_1&&&\text{\huge{$\ast$}}\\ &A_2&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&A_{l+1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&O\\ O&Q\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}A_1&\ast \\ O&Q^{-1}\begin{pmatrix}A_2&&&\text{\huge{$\ast$}}\\ &A_3&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&A_{l+1}\end{pmatrix}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&O\\ O&Q\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}A_1&\ast \\ O&Q^{-1}\begin{pmatrix}A_2&&&\text{\huge{$\ast$}}\\ &A_3&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&A_{l+1}\end{pmatrix}Q\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}A_1&&\ast &\\ \hdashline &A_2&&\text{\huge{0}}\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&A_{l+1}\end{pmatrix}\end{aligned}\]

ここで
\[ N\coloneqq A_1-\lambda _1E\\ B\coloneqq \begin{pmatrix}A_2&&&\text{\huge{$\ast$}}\\ &A_3&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&A_{l+1}\end{pmatrix}-\lambda _1E\]
とおくと，$N$は冪零行列¹，$B$は正則行列であり²
\[ R^{-1}AR-\lambda _1E=\begin{pmatrix}N&\ast \\ O&B\end{pmatrix}\]
よって，補題1より，ある正則行列$S$が存在して
\[ S^{-1}\begin{pmatrix}N&\ast \\ O&B\end{pmatrix}S=\begin{pmatrix}N&O\\ O&B\end{pmatrix}\]
となる．

よって，$P=RS$とおくと
\[ \begin{aligned}P^{-1}AP&=S^{-1}R^{-1}ARS\\ &=S^{-1}\left( \begin{pmatrix}N&\ast \\ O&B\end{pmatrix}+\lambda _1E\right) S\\ &=S^{-1}\begin{pmatrix}N&\ast \\ O&B\end{pmatrix}S+\lambda _1E\\ &=\begin{pmatrix}N&O\\ O&B\end{pmatrix}+\lambda _1E\\ &=\begin{pmatrix}A_1&&&\text{\huge{0}}\\ &A_2&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&A_{l+1}\end{pmatrix}\end{aligned}\]
であるから，$k=l+1$のときも，補題2が成り立つ．

以上より，任意の$k\in \mathbb{N}$に対して，補題2が成り立つ．$\blacksquare$

ジョルダン標準形の存在定理

任意の正方行列に対して，相似なジョルダン標準形が存在する．

定理1

$n,r\in \mathbb{N}$，$A$を$n$次正方行列とする．
ある$n$次正則行列$P$と$\lambda _1,\lambda _2,\dots ,\lambda _r\in \mathbb{C}$及び$m_1,m_2,\dots ,m_r\in \mathbb{N}$(ただし$m_1+m_2+\dots +m_r=n$)が存在して
\[ P^{-1}AP=\begin{pmatrix}J(\lambda _1;m_1)&&&\text{\huge{0}}\\ &J(\lambda _2;m_2)&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&J(\lambda _r;m_r)\end{pmatrix}\]
となる．特に，右辺はジョルダン細胞の並べ方を除いて一意的である．

定理1の証明

$k$を$A$の互いに異なる固有値の個数とし，$\lambda^{\prime} _1,\lambda^{\prime} _2,\dots ,\lambda^{\prime} _k$を$A$の互いに異なる固有値とする．

任意の正方行列は上三角化可能であるから，ある正則行列$Q$が存在して
\[ Q^{-1}AQ=\begin{pmatrix}A_1&&&\text{\huge{$\ast$}}\\ &A_2&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&A_k\end{pmatrix}\]
となる．ただし，$i\in \{ 1,2,\dots ,k\}$に対して
\[ A_i=\begin{pmatrix}\lambda^{\prime} _i&&\text{\huge{$\ast$}}\\ &\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&\lambda^{\prime} _i\end{pmatrix}\]
と定める．

補題2より，ある正則行列$R$が存在して
\[ R^{-1}Q^{-1}AQR=\begin{pmatrix}A_1&&&\text{\huge{0}}\\ &A_2&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&A_k\end{pmatrix}\]
となる．

ここで，$A_i-\lambda^{\prime} _iE$は冪零行列であるから³，ある正則行列$S_i$が存在して
\[ S_i^{-1}(A_i-\lambda^{\prime} _iE)S_i=\begin{pmatrix}J(0;m_{i,1})&&&\text{\huge{0}}\\ &J(0;m_{i,2})&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&J(0;m_{i,k_i})\end{pmatrix}\tag{A}\]
となる⁴．ただし，$m_{i,1},m_{i,2},\dots ,m_{i,k_i}\in \mathbb{N}$である．
よって
\[ \begin{aligned}S_i^{-1}A_iS_i&=\begin{pmatrix}J(0;m_{i,1})&&&\text{\huge{0}}\\ &J(0;m_{i,2})&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&J(0;m_{i,k_i})\end{pmatrix}+\lambda^{\prime} _iE\\ &=\begin{pmatrix}J(\lambda^{\prime} _i;m_{i,1})&&&\text{\huge{0}}\\ &J(\lambda ^{\prime}_i;m_{i,2})&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&J(\lambda ^{\prime}_i;m_{i,k_i})\end{pmatrix}\end{aligned}\]
である．

したがって
\[ P\coloneqq QR\begin{pmatrix}S_1&&&\text{\huge{0}}\\ &S_2&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&S_k\end{pmatrix}\]
とおくと
\[ \begin{aligned}P^{-1}AP&=\begin{pmatrix}S_1^{-1}&&&\text{\huge{0}}\\ &S_2^{-1}&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&S_k^{-1}\end{pmatrix}R^{-1}Q^{-1}AQR\begin{pmatrix}S_1&&&\text{\huge{0}}\\ &S_2&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&S_k\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}S_1^{-1}&&&\text{\huge{0}}\\ &S_2^{-1}&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&S_k^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_1&&&\text{\huge{0}}\\ &A_2&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&A_k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}S_1&&&\text{\huge{0}}\\ &S_2&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&S_k\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}S_1^{-1}A_1S_1&&&\text{\huge{0}}\\ &S_2^{-1}A_2S_2&&\\ &&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&S_k^{-1}A_kS_k\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}J(\lambda^{\prime} _1;m_{1,1})&&&&&&\text{\huge{0}}\\ &\ddots &&&&&\\ &&J(\lambda^{\prime} _1;m_{1,k_1})&&&&\\ &&&\ddots &&&\\ &&&&J(\lambda^{\prime} _k;m_{k,1})&&\\ &&&&&\ddots &\\ \text{\huge{0}}&&&&&&J(\lambda^{\prime} _k;m_{k,k_k})\end{pmatrix}\tag{B}\end{aligned}\]

特に，$\rm (A)$の右辺はジョルダン細胞の並べ方を除いて一意的であるから，$\rm (B)$の右辺もジョルダン細胞の並べ方を除いて一意的である．
よって，示された．$\blacksquare$

対角成分及び左下の成分すべてが$0$であり，固有値は$0$のみであることから成り立つ． ↩︎
$\lambda _2,\lambda _2,\dots ,\lambda _{l+1}$が相異なることから成り立つ． ↩︎
対角成分及び左下の成分すべてが$0$であり，固有値は$0$のみであることから成り立つ． ↩︎
以下の記事の定理3を参照するとよい．
https://mathabyss.com/nilpotent-jordan_normal_form ↩︎