体の拡大 | MathAbyss

体について議論するために欠かせない，体の拡大について解説する．

拡大体･部分体･中間体

体の拡大は，次のように定義される．

定義1

$K$を体，$L,M$を$K$の部分環とする．

$L$が体であるとき，$L$を$K$の部分体(subfield)(または基礎体，下にある体)といい，$K$を$L$の拡大体(extension field)という．また，組$(K,L)$を体の拡大(field extension)といい，$K/L$で表す．
$M$が$K$の部分体かつ$L\subset M$であるとき，$M$を体の拡大$K/L$の中間体(intermediate field)という．

中間体について，次の命題が成り立つ．

命題1

$K,L,M$を体とする．

$L$が$K$の部分体であり，$M$が$K/L$の中間体ならば，$L$は$M$の部分体である．

命題1の証明

$K,L,M$の演算は一致し，$L\subset M$であることから従う．$\blacksquare$

体の拡大や中間体の例を紹介しよう．

例1

$\mathbb{R}$や$\mathbb{C}$は$\mathbb{Q}$の拡大体であり，$\mathbb{C}$は$\mathbb{R}$の拡大体である．

特に，$\mathbb{R}$は拡大$\mathbb{C}/\mathbb{Q}$の中間体である．

例2

$\mathbb{R}(x)$や$\mathbb{R}(x,y)$は$\mathbb{R}$の拡大体とみなすことができ，$\mathbb{R}(x,y)$は$\mathbb{R}(x)$の拡大体とみなすことができる．

特に，$\mathbb{R}(x)$は拡大$\mahbb{R}(x,y)/\mathbb{R}$の中間体である．

拡大次数

体$K$は$K$上のベクトル空間とみなすことができる．特に，$K$は部分体$L$上のベクトル空間とみなすことができる．

定義2

$K$を体，$L$を$K$の部分体とする．

$\dim _LK$を$K$の$L$上の拡大次数(または次数)(degree of field extension)といい，$[K:L]$で表す．
ある$n\in \mathbb{N}$が存在して，$[K:L]=n$となるとき，体の拡大$K/L$を有限次拡大(または有限拡大)(finite extension)といい，特に$n$次拡大($n$-th extension)という．
有限次拡大でない体の拡大を無限次拡大(または無限拡大)(infinite extension)という．

具体的な体の拡大について，拡大次数を考えてみよう．

例3

体の拡大$\mathbb{C}/\mathbb{R}$について
\[ \mathbb{C}=\{ a\cdot 1+b\cdot \sqrt{-1}\mid a,b\in \mathbb{R}\} \]
であるから，$\mathbb{C}$を$\mathbb{R}$上のベクトル空間とみなすと，基底として$\{ 1,\sqrt{-1}\}$がとれる．よって
\[ [\mathbb{C}:\mathbb{R}]=\dim _{\mathbb{R}}\mathbb{C}=2\]
であり，$\mathbb{C}/\mathbb{R}$は$2$次拡大である．

例4

$K$を体とする．

体の拡大$K(x)/K$について
\[ K[x]=\left\{ \sum _{i=0}^na_ix^i\,\middle| \,a_i\in K,\,n\in \mathbb{N}\cup \{ 0\} \right\} \]
であるから，$K[x]$を$K$上のベクトル空間とみなすと，基底として
\[ \{ 1,x,x^2,\dots \} \]
がとれる．よって，$\dim _KK[x]=\infty$であり，$K[x]\subset K(x)$であるから
\[ [K(x):K]=\dim _KK(x)=\infty \]
であり，$K(x)/K$は無限次拡大である．