行列の和とスカラー倍を定義する．
行列の和･スカラー倍の導入
まずは$2$次元平面上で考えることにする．
$2$次元平面上で2つのベクトル
\[ (a,b),\quad (c,d)\quad (a,b,c,d\in \mathbb{R})\]
が与えられたとき，これをまとめて
\[ A=\begin{pmatrix}a&c\\ b&d\end{pmatrix}\]
という行列で表すことにする．同様に
\[ (e,f),\quad (g,h)\quad (e,f,g,h\in \mathbb{R})\]
という2つのベクトルについても，まとめて
\[ B=\begin{pmatrix}e&g\\ f&h\end{pmatrix}\]
という行列で表すことにする．
このとき，2つの行列の和$A+B$をどのように定義すればよいだろうか．
ベクトルの和は成分ごとに和をとることによって求めることができた．例えば
\[ (a,b)+(e,f)=(a+e,b+f)\\ (c,d)+(g,h)=(c+g,d+h)\]
となる．そこで
\[ A+B=\begin{pmatrix}a&c\\ b&d\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}e&g\\ f&h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+e&c+g\\ b+f&d+h\end{pmatrix}\]
と定めることにしよう．
ベクトルは，和をとることができるほかに，実数倍を考えることもできた．これについても，$k\in \mathbb{R}$に対して
\[ k(a,b)=(ka,kb)\]
のように，各成分を実数倍することにより求めることができた．そこで
\[ k\begin{pmatrix}a&c\\ b&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ka&kc\\ kb&kd\end{pmatrix}\]
と定めることにしよう．
これらを一般化して，行列の和を｢成分ごとに和をとることで得られる行列｣，行列のスカラー1倍を｢各成分をスカラー倍することで得られる行列｣として定義することにしよう．
以下，体$K$上の行列を考える．すなわち，行列の各成分に対して，和と積が定義されているものと仮定する．
行列の和･スカラー倍の定義
行列の和を次のように定義しよう．
$m,n\in \mathbb{N}$，$A=(a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{m\times n}$を$m\times n$行列とする．
$m\times n$行列$(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n}$を$A$と$B$の和(sum)といい，$A+B$で表す．すなわち
\[ \begin{aligned}&\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}\end{aligned}\]
行列の和は，型が同じ行列に対してのみ定義される．
具体例で確認しよう．
\[ \begin{aligned}&\begin{pmatrix}1&-2&3\\ -4&5&-6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2&3&-5\\ 7&-11&13\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}1-2&-2+3&3-5\\ -4+7&5-11&-6+13\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}-1&1&-2\\ 3&-6&7\end{pmatrix}\end{aligned}\]
行列のスカラー倍を次のように定義しよう．
$m,n\in \mathbb{N}$，$k$をスカラー2，$A=(a_{ij})_{m\times n}$を$m\times n$行列とする．
$m\times n$行列$(ka_{ij})_{m\times n}$を$A$の$k$によるスカラー倍(scalar product)といい，$kA$で表す．
具体例で確認しよう．
\[ -3\begin{pmatrix}1&2\\ -3&-4\\ 5&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\cdot 1&-3\cdot 2\\ -3\cdot (-3)&-3\cdot (-4)\\ -3\cdot 5&-3\cdot 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&-6\\ 9&12\\ -15&-18\end{pmatrix}\]
\[ \begin{aligned}&2\begin{pmatrix}3&4\\ -3&5\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}2&0\\ 2&5\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}6&8\\ -6&10\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-6&0\\ -6&-15\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}0&8\\ -12&-5\end{pmatrix}\end{aligned}\]
行列の和･スカラー倍の性質
行列の和･スカラー倍は次の性質を満たす．
$m,n\in \mathbb{N}$，$k,l$をスカラー，$A,B,C$を$m\times n$行列とする．
- (和の交換律) $A+B=B+A$
- (和の結合律) $(A+B)+C=A+(B+C)$
- $A+O_{m,n}=O_{m,n}+A=A$
- (スカラー倍の結合律) $k(lA)=(kl)A$
- (スカラーの分配律) $(k+l)A=kA+lA$
- (行列の分配律) $k(A+B)=kA+kB$
- $1A=A$
- $0A=O_{m,n}$
$A=(a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{m\times n},C=(c_{ij})_{m\times n}$とする．
- 定義1より
\[ \begin{aligned}A+B&=(a_{ij})_{m\times n}+(b_{ij})_{m\times n}\\ &=(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n}\\ &=(b_{ij}+a_{ij})_{m\times n}\\ &=(b_{ij})_{m\times n}+(a_{ij})_{m\times n}\\ &=B+A\quad \blacksquare \end{aligned}\] - 定義1より
\[ \begin{aligned}(A+B)+C&=((a_{ij})_{m\times n}+(b_{ij})_{m\times n})+(c_{ij})_{m\times n}\\ &=(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n}+(c_{ij})_{m\times n}\\ &=((a_{ij}+b_{ij})+c_{ij})_{m\times n}\\ &=(a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij}))_{m\times n}\\ &=(a_{ij})_{m\times n}+(b_{ij}+c_{ij})_{m\times n}\\ &=(a_{ij})_{m\times n}+((b_{ij})_{m\times n}+(c_{ij})_{m\times n})\\ &=A+(B+C)\quad \blacksquare \end{aligned}\] - 定義1より
\[ \begin{aligned}A+O_{m,n}&=(a_{ij})_{m\times n}+(0)_{m\times n}\\ &=(a_{ij}+0)_{m\times n}\\ &=(a_{ij})_{m\times n}=A\end{aligned}\]
①と合わせて
\[ A+O_{m,n}=O_{m,n}+A=A\]
を得る．$\blacksquare$ - 定義2より
\[ \begin{aligned}k(lA)&=k(l(a_{ij})_{m\times n})\\ &=k(la_{ij})_{m\times n}\\ &=(k(la_{ij}))_{m\times n}\\ &=((kl)a_{ij})_{m\times n}\\ &=(kl)(a_{ij})_{m\times n}\\ &=(kl)A\quad \blacksquare \end{aligned}\] - 定義2より
\[ \begin{aligned}(k+l)A&=(k+l)(a_{ij})_{m\times n}\\ &=((k+l)a_{ij})_{m\times n}\\ &=(ka_{ij}+la_{ij})_{m\times n}\\ &=(ka_{ij})_{m\times n}+(la_{ij})_{m\times n}\\ &=k(a_{ij})_{m\times n}+l(a_{ij})_{m\times n}\\ &=kA+lA\quad \blacksquare \end{aligned}\] - 定義1と定義2より
\[ \begin{aligned}k(A+B)&=k((a_{ij})_{m\times n}+(b_{ij})_{m\times n})\\ &=k(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n}\\ &=(k(a_{ij}+b_{ij}))_{m\times n}\\ &=(ka_{ij}+kb_{ij})_{m\times n}\\ &=(ka_{ij})_{m\times n}+(kb_{ij})_{m\times n}\\ &=k(a_{ij})_{m\times n}+k(b_{ij})_{m\times n}\\ &=kA+kB\quad \blacksquare \end{aligned}\] - \[ 1A=1(a_{ij})_{m\times n}=(a_{ij})_{m\times n}=A\quad \blacksquare \]
- \[ 0A=0(a_{ij})_{m\times n}=(0)_{m\times n}=O_{m,n}\quad \blacksquare \]
代数の視点では，零行列は行列の和の単位元である．