行列の積を定義する．
行列の積の導入
行列の積について考える．ベクトルに対しては，内積と外積という2種類の積が存在した．これらを用いて行列の積を定義しても良いが，あえて別の方法で定義することにしよう．
そもそも行列は，複数のベクトルをまとめて扱うために導入した．複数のベクトルを同時に扱う最も代表的な状況として，｢座標｣の設定が挙げられる．
$2$次元平面に$xy$直交座標を導入すると，任意の点は$x$座標と$y$座標という，2つの実数の組と1対1に対応した．
つまり，$2$次元平面を取り扱う上で，座標の概念は欠くことのできないものである．
ところで，$2$次元平面に座標を入れる場合，様々な取り方がある．直交座標や極座標，斜交座標などが挙げられる．
先で述べた最も基本的な直交座標は，まず原点を定め，原点から水平方向右向きに$1$だけ進むベクトルを$(1,0)$，それとは垂直に，原点から上方向に$1$だけ進むベクトルを$(0,1)$と定める．｢長さ$1$｣をどのように決めるかは自由だが，このようにすれば座標が設定できる．
このとき，2つのベクトル$\color{blue}(1,0)$と$\color{red}(0,1)$を，この座標の｢基底｣と呼び，まとめて
\[ \begin{pmatrix}{\color{blue}1}&{\color{red}0}\\ {\color{blue}0}&{\color{red}1}\end{pmatrix}\quad \cdots \cdots (\ast )\]
という行列で表すことにする．
次に，$(\ast )$で定まる座標が設定されているという条件のもとで，この座標の｢基底｣を変えることを考えてみよう．
例えば，$x$軸の｢基底｣$(1,0)$を$(2,1)$，$y$軸の｢基底｣$(0,1)$を$(1,1)$に変えると，次のような斜交座標が得られる．
このようにして定まる座標の｢基底｣についても，同様に
\[ \begin{pmatrix}2&1\\ 1&1\end{pmatrix}\]
という行列で表すことにする．
座標を設定し直したときに問題になるのは，新しい座標で例えば$(3,4)$と表されるベクトルは，元の座標ではどのように表されていたのかということである．これを簡単に扱う方法として，行列の積を定義しよう．
新しい座標系で$(3,4)$と表されるベクトルは，原点から$(2,1)$方向に$3$，$(1,1)$方向に$4$だけ進んだベクトルとして解釈される．これが元の座標系で$(x,y)$と表されるベクトルであるならば
\[ 3(2,1)+4(1,1)=(x,y)\]
が成り立つことになる．すなわち
\[ (3\cdot 2+4\cdot 1,3\cdot 1+4\cdot 1)=(x,y)\]
であるから，$(x,y)=(10,7)$であることが分かる．
ここまでの内容を整理する．最も基本的な$2$次元平面の座標系を表す行列として
\[ \begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\]
という単位行列を考えることにし，この｢基底｣を変えることによって得られる新たな座標系が
\[ \begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\]
という行列で表されるとき，新たな座標系で$(x,y)$と表されるベクトルを元の座標系に復元すると
\[ x(a,c)+y(b,d)=(ax+by,cx+dy)\]
となることが分かった．これを
\[ \begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+by\\ cx+dy\end{pmatrix}\]
で表すことにする．新たな座標系で表された複数のベクトル(例えば$(x,y)$と$(z,w)$)をまとめて復元したい場合は
\[ \begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&z\\ y&w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+by&az+bw\\ cx+dy&cz+bw\end{pmatrix}\]
と表すことにする．これを行列の積の定義としよう．
以下，体$K$上の行列を考える．すなわち，行列の各成分に対して，和と積が定義されているものと仮定する．
行列の積
行列の積を次のように定義しよう．
$l,m,n\in \mathbb{N}$，$A=(a_{ij})_{l\times m}$を$l\times m$行列，$B=(b_{jk})_{m\times n}$を$m\times n$行列とする．
$l\times n$行列$\left( \displaystyle \sum _{j=1}^ma_{ij}b_{jk}\right) _{l\times n}$を$A$と$B$の積(product)といい，$AB$で表す．すなわち
\[ \begin{aligned}&\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+\dots +a_{1m}b_{m1}&\cdots &a_{11}b_{1n}+\dots +a_{1m}b_{mn}\\ \vdots &\ddots &\vdots \\ a_{l1}b_{11}+\dots +a_{lm}b_{m1}&\cdots &a_{l1}b_{1n}+\dots +a_{lm}b_{mn}\end{pmatrix}\end{aligned}\]
行列$A$と$B$の積は，$A$の列の数と$B$の行の数が等しいときのみ定義される．
行列の積の$(i,j)$成分は，左側の行列の第$i$行の行ベクトルと，右側の行列の第$j$列の列ベクトルの内積である．具体例で確認しよう．
\[ \begin{aligned}&\begin{pmatrix}2&3&4\\ -1&0&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&0&1&2\\ -5&4&0&-1\\ 2&7&-3&-2\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}2\cdot 3 + 3\cdot (-5) + 4\cdot 2 & 2\cdot 0 + 3\cdot 4 + 4\cdot 7 & 2\cdot 1 + 3\cdot 0 + 4\cdot (-3) & 2\cdot 2 + 3\cdot (-1) + 4\cdot (-2) \\ (-1)\cdot 3 + 0\cdot (-5) + 5\cdot 2 & (-1)\cdot 0 + 0\cdot 4 + 5\cdot 7 & (-1)\cdot 1 + 0\cdot 0 + 5\cdot (-3) & (-1)\cdot 2 + 0\cdot (-1) + 5\cdot (-2) \end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix} -1 & 40 & -10 & -7 \\ 7 & 35 & -16 & -12 \end{pmatrix}\end{aligned} \]
行列の積の性質
行列の積は次の性質を満たす．
- $A$を$m\times n$行列，$B$を$n\times p$行列，$C$を$p\times q$行列とする．
(積の結合律) $(AB)C=A(BC)$ - $A$を$l\times m$行列，$B,C$を$m\times n$行列とする．
(左分配律) $A(B+C)=AB+AC$ - $A,B$を$l\times m$行列，$C$を$m\times n$行列とする．
(右分配律) $(A+B)C=AC+BC$ - $A$を$l\times m$行列，$B$を$m\times n$行列とする．
$(cA)B=A(cB)=c(AB)$ - $A$を$m\times n$行列とする．
$AE_n=E_mA=A$
- $A=(a_{ij})_{m\times n},B=(b_{jk})_{n\times p},C=(c_{kl})_{p\times q}$とする．
\[ \begin{aligned}&(AB)C\\ =&\left( \sum _{j=1}^na_{ij}b_{jk}\right) _{m\times p}(c_{kl})_{p\times q}\\ =&\left( \sum _{k=1}^p\left( \sum _{j=1}^na_{ij}b_{jk}\right) c_{kl}\right) _{m\times q}\\ =&\left( \sum _{j=1}^na_{ij}\left( \sum _{k=1}^pb_{jk}c_{kl}\right) \right) _{m\times q}\\ =&(a_{ij})_{m\times n}\left( \sum _{k=1}^pb_{jk}c_{kl}\right) _{n\times q}\\ =&A(BC)\quad \blacksquare \end{aligned}\] - $A=(a_{ij})_{l\times m},B=(b_{jk})_{m\times n},C=(c_{jk})_{m\times n}$とする．
\[ \begin{aligned}&A(B+C)\\ =&(a_{ij})_{l\times m}(b_{jk}+c_{jk})_{m\times n}\\ =&\left( \sum _{j=1}^ma_{ij}(b_{jk}+c_{jk})\right) _{l\times n}\\ =&\left( \sum _{j=1}^ma_{ij}b_{jk}+ \sum _{j=1}^ma_{ij}c_{jk}\right) _{l\times n}\\ =&\left( \sum _{j=1}^ma_{ij}b_{jk}\right) _{l\times n}+\left( \sum _{j=1}^ma_{ij}c_{jk}\right) _{l\times n}\\ =&AB+AC\quad \blacksquare \end{aligned}\] - $A=(a_{ij})_{l\times m},B=(b_{ij})_{l\times m},C=(c_{jk})_{m\times n}$とする．
\[ \begin{aligned}&(A+B)C\\ =&(a_{ij}+b_{ij})_{l\times m}(c_{jk})_{m\times n}\\ =&\left( \sum _{j=1}^m(a_{ij}+b_{ij})c_{jk}\right) _{l\times n}\\ =&\left( \sum _{j=1}^ma_{ij}c_{jk}+ \sum _{j=1}^mb_{ij}c_{jk}\right) _{l\times n}\\ =&\left( \sum _{j=1}^ma_{ij}c_{jk}\right) _{l\times n}+\left( \sum _{j=1}^mb_{ij}c_{jk}\right) _{l\times n}\\ =&AC+BC\quad \blacksquare \end{aligned}\] - $A=(a_{ij})_{l\times m},B=(b_{jk})_{m\times n}$とする．
\[ \begin{aligned}(cA)B=&(ca_{ij})_{l\times m}(b_{jk})_{m\times n}\\ =&\left( \sum _{j=1}^mca_{ij}b_{jk}\right) _{l\times n}\\ =&c\left( \sum _{j=1}^ma_{ij}b_{jk}\right) _{l\times n}\\ =&c(AB)\end{aligned}\]
\[ \begin{aligned}A(cB)=&(a_{ij})_{l\times m}(cb_{jk})_{m\times n}\\ =&\left( \sum _{j=1}^ma_{ij}cb_{jk}\right) _{l\times n}\\ =&c\left( \sum _{j=1}^ma_{ij}b_{jk}\right) _{l\times n}\\ =&cAB\end{aligned}\]
したがって
\[ (cA)B=A(cB)=c(AB)\quad \blacksquare \] - $A=(a_{ij})_{m\times n}$とする．
\[ \begin{aligned}AE_n=&(a_{ij})_{m\times n}(\delta _{jk})_{n\times n}\\ =&\left( \sum _{j=1}^na_{ij}\delta _{jk}\right) _{m\times n}\\ =&(a_{ik})_{m\times n}=A\end{aligned}\]
\[ \begin{aligned}E_mA=&(\delta _{ki})_{m\times m}(a_{ij})_{m\times n}\\ =&\left( \sum _{i=1}^m\delta _{ki}a_{ij}\right) _{m\times n}\\ =&(a_{kj})_{m\times n}=A\end{aligned}\]
したがって
\[ AE_n=E_mA=A\quad \blacksquare \]
代数学の視点では，単位行列は行列の積の単位元である．