集合論

写像によって定義される重要な集合である像と逆像についてまとめた．像と逆像の定義像写像の像は，次のように定義される．定義1$X$を集合，$Y$を空でない集合とし，$f:X\to Y$を写像とする．$A$を$X$の部分集合とする．集合\を$f$...

写像の定義とその意義について徹底的に解説する．写像定義1$X,Y$を集合とする．任意の$x\in X$に対して，ある$y\in Y$をただ一つ対応させるという規則を$f$とするとき\で表し，$f$を$X$から$Y$への写像(mapping,...

複数の集合の元によって構成される直積について解説する．集合の直積2つの集合の直積定義1$A,B$を集合とする．$A$の元と$B$の元の順序対1からなる集合$A\times B$を\により定め，$A$と$B$の直積(または直積集合)(dire...

集合の演算である差集合と，その派生である補集合についてまとめた．差集合定義1$A,B$を集合とする．$A$の元であって，$B$の元でないもの全体の集合を$A$から$B$を引いた差集合(set difference)(または差)(または$B$...

共通部分とは，すべての集合に属する元全体の集合，和集合とは，いずれかの集合に属する元全体の集合のことである．2つの集合の共通部分･和集合の定義(素朴集合論)定義1集合$A,B$に対し，$A,B$の両方に属する元全体の集合を$A$と$B$の共...

部分集合とは，簡単に言えば｢集合の一部分からなる集合｣のことであり，冪集合は部分集合全体の集合である．部分集合定義1集合$A,B$について，$A$の任意の元が$B$の元であるとき，$A$を$B$の部分集合(subset)といい，$B$を$A...

集合とは，｢ものの集まり｣を表す，ほとんどすべての数学の土台を築いている概念である．集合の定義(素朴集合論)定義1明確に定義された数学的対象の集まりを集合(set)といい，集合を構成する各数学的要素を，その集合の元(または元素，要素)(el...

集合論が発展した歴史とともに，集合論の数学での役割をまとめた．素朴集合論高校数学で扱われる集合論や，大学数学の基礎として扱われる集合論は，詳しく言うと素朴集合論と呼ばれる．これは，非形式的な自然言語によって展開される集合論であり，数学者ゲオ...

全称命題と存在命題の定義と，その否定についてまとめた．全称記号次の命題$P$を考える．$P$:$n$が正の整数$\implies n>0$$n$が正の整数であることと，$n$が$1,2,\dots $のいずれかと等しいことは同値であるから，...