集合の演算である差集合と，その派生である補集合についてまとめた．
差集合
$A,B$を集合とする．$A$の元であって，$B$の元でないもの全体の集合を$A$から$B$を引いた差集合(set difference)(または差)(または$B$における$A$の相対補集合(または補集合))といい，$A\setminus B$(または$A-B$)で表す．
次のような概念も導入しておくと便利である．
$A,B$を集合とする．$A$と$B$の対称差(symmetric difference)$A\triangle B$を次のように定める．
\[ A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\]
集合$A=\{ 1,2,3\} ,B=\{ 2,4,6\}$に対し，$A\setminus B=\{ 1,3\}$である．また，$B\setminus A=\{ 4,6\}$であるから，$A\triangle B=\{ 1,3,4,6\}$である．
補集合
補集合の話をする前に，次の集合の概念を導入しておこう．
考えている任意の集合を含む集合を全体集合(または普遍集合)という．
集合を論じる際には，全体集合を設定しておくと便利である．
実数の部分集合について議論しているときは，全体集合を$\mathbb{R}$とすればよい．
$U$を全体集合，$A$を集合とする．$U$の$A$による差集合$U\setminus A$を$A$の補集合といい，$A^c$(または$\overline{A}$)で表す．
$A^c$が集合$A$の補集合を表している場合，$\overline{A}$で$A$の閉包を表し，$\overline{A}$が集合$A$の補集合を表している場合，$A^c$で$A$の閉包を表すことが多い．
当サイトでは，特に断りのない限り，集合$A$の補集合を$A^c$で表し，閉包を$\overline{A}$で表すことにする．
全体集合を$\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$とする．このとき，集合$A=\{ 2,4,6,8,10\}$の補集合$A^c$は次のようになる．
\[ A^c=\{ 1,3,5,7,9\} \]
差集合･補集合のイメージ･意義
差集合のイメージ
2つの集合$A,B$が与えられたとき，$A\setminus B$をベン図で視覚化すると次のようになる．
また，$B\setminus A$は次のようになる．
よって，$A\setminus B\neq B\setminus A$であることがわかる．よって，$A\triangle B$をベン図で表すと，次のようになる．
補集合のイメージ
まず，$U$を全体集合とし，その部分集合$A$を図示してみよう．
このとき，$A^c$をベン図で視覚化すると次のようになる．
差集合･補集合の性質
差集合の性質
まず，差集合には交換律が成り立たない．すなわち，集合$A,B$に対して
\[ A\setminus B=B\setminus A\]
は成り立つとは限らない．これは，先ほどのベン図を用いて確認することができる．
また，次の命題が成り立つ．
集合$A,B$に対して，次が成り立つ．
- $A\setminus B=(A\cup B)\setminus B$
- $A\setminus B=A\setminus (A\cap B)$
- 以下の同値変形から従う．
\[ \begin{aligned}&x\in A\setminus B\\ \iff &x\in A\land x\not\in B\\ \iff &(x\in A\lor x\in B)\land x\not\in B\\ \iff &x\in (A\cup B)\setminus B\blacksquare \end{aligned}\] - 以下の同値変形から従う．
\[ \begin{aligned}&x\in A\setminus B\\ \iff &x\in A\land x\not\in B\\ \iff &x\in A\land \lnot (x\in B)\\ \iff &x\in A\land \lnot (x\in A\land x\in B)\\ \iff &x\in A\land \lnot (x\in A\cap B)\\ \iff &x\in A\land x\not \in A\cap B\\ \iff &x\in A\setminus (A\cap B)\blacksquare \end{aligned}\]
命題より，集合$A,B$に対して，$A$から$B$を引いた差集合$A\setminus B$は$A\cap B$と$A\cup B$を用いて表すことができるため，差集合の表記を導入する必要はないように思える．差集合に独自の表記が与えられているのは，それだけ頻繁に用いられるためである．
補集合の性質
全体集合を$U$とする．集合$A$に対して，次が成り立つ．
- $(A^c)^c=A$
- $A\cup A^c=U$
- $A\cap A^c=\emptyset$
- $\emptyset ^c=U$
- $U^c=\emptyset$
- 以下の同値変形から従う．
\[ \begin{aligned}&x\in (A^c)^c\\ \iff &x\not\in A^c\\ \iff &x\in A\blacksquare \end{aligned}\] - 以下の同値変形から従う．
\[ \begin{aligned}&x\in A\cup A^c\\ \iff &x\in A\lor x\in A^c\\ \iff &x\in A\lor x\not\in A\\ \iff &x\in U\blacksquare \end{aligned}\] - 以下の同値変形から従う．
\[ \begin{aligned}&x\in A\cap A^c\\ \iff &x\in A\land x\in A^c\\ \iff &x\in A\land x\not\in A\\ \iff &x\in \emptyset \blacksquare \end{aligned}\] - 以下の同値変形から従う．
\[ \begin{aligned}&x\in \emptyset ^c\\ \iff &\forall x\in U,x\not\in \emptyset \\ \iff &x\in U\blacksquare \end{aligned}\] - ①，④より$U^c=(\emptyset ^c)^c=\emptyset \blacksquare$
集合$A,B$に対して，次が成り立つ．
- $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$
- $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$
- 以下の同値変形から従う．
\[ \begin{aligned}&x\in (A\cup B)^c\\ \iff &x\not\in A\cup B\\ \iff &\lnot (x\in A\lor x\in B)\\ \iff &x\not\in A\land x\not\in B\\ \iff &x\in A^c\land x\in B^c\\ \iff &x\in A^c\cap B^c\blacksquare \end{aligned}\] - 以下の同値変形から従う．
\[ \begin{aligned}&x\in (A\cap B)^c\\ \iff &x\not\in A\cap B\\ \iff &\lnot (x\in A\land x\in B)\\ \iff &x\not\in A\lor x\not\in B\\ \iff &x\in A^c\lor x\in B^c\\ \iff &x\in A^c\cup B^c\blacksquare \end{aligned}\]
ド･モルガンの法則は，3つ以上の集合の和集合，共通部分についても全く同様に成り立つ．