特に体論において重要な，環の標数についてまとめた．
標数
環に対して，標数は次のように定義される．
$R$を環，$\phi :\mathbb{Z}\to R;n\mapsto n\cdot 1$を自然な環準同型写像とする．
$K$の標数(characteristic)$\operatorname{char}K$(または$\operatorname{ch}K$)を，次のように定める．
- $\operatorname{Ker}(\phi |_{\mathbb{N}})$が空でないとき
\[ \operatorname{char}K\coloneqq \min \operatorname{Ker}(\phi |_{\mathbb{N}})\] - $\operatorname{Ker}(\phi |_{\mathbb{N}})$が空であるとき
\[ \operatorname{char}K\coloneqq 0\]
環の自然な準同型写像については，以下の記事で詳しく解説している．
環$R$の標数が$m$であるとは，$R$の積の単位元$1_R$の$n$個の和が，和の単位元$0_R$になるような，最小の$n\in \mathbb{N}$が$m$となることをいう．
\[ m\cdot 1_R=\underbrace{1_R+1_R+\dots +1_R}_{m}=0_R\]
このような$n\in \mathbb{N}$が存在しないとき，$R$の標数は$0$と定める．つまり，任意の$n\in \mathbb{N}$に対して
\[ n\cdot 1_R=\underbrace{1_R+1_R+\dots +1_R}_{n}\neq 0_R\]
となるとき，$R$の標数は$0$である．
整域の標数には，次のような性質がある．
$R$を環，$\phi :\mathbb{Z}\to R;n\mapsto n\cdot 1$を自然な環準同型写像とする．
$R$が整域ならば，$\operatorname{char}R$は$0$または素数であり，$\operatorname{Ker}(\phi )=(\operatorname{char}R)$である．
$\operatorname{Im}(\phi )$は整域$R$の部分環であるから，整域である．
環の準同型定理より，$\mathbb{Z}/\operatorname{Ker}(\phi )\cong \operatorname{Im}(\phi )$であるから，$\operatorname{Ker}(\phi )$は$\mathbb{Z}$の素イデアルである．
よって，$\operatorname{Ker}(\phi )=(0)$または，ある素数$p$が存在して，$\operatorname{Ker}(\phi )=(p)$となる．$\blacksquare$
標数の例
零環$\{ 0\}$の標数は$1$である．
実際，自然な環準同型写像$\phi :\mathbb{Z}\to \{ 0\} ;n\mapsto n\cdot 0$について
\[ \phi (1)=1\cdot 0=0\]
である．
有理数体$\mathbb{Q}$の標数は$0$である．
実際，自然な環準同型写像$\phi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Q};n\mapsto n\cdot 1$について
\[ \operatorname{Ker}(\phi )=\{ 0\} =(0)\]
である．
同様に，実数体$\mathbb{R}$，複素数体$\mathbb{C}$の標数は$0$である．
$n\in \mathbb{N}$とする．
剰余環$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$の標数は$n$である．
実際
\[ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{ \overline{0},\overline{1},\overline{2},\dots ,\overline{n-1}\} \]
であり，自然な環準同型写像$\phi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z};n\mapsto n\cdot \overline{1}$について
\[ \phi (n)=n\cdot \overline{1}=\overline{0}\]
であり，$1$以上$n$未満の任意の整数$i$に対して
\[ \phi (i)=i\cdot \overline{1}=\overline{i}\neq \overline{0}\]
である．
フロベニウス準同型
標数が素数である可換環について，重要な自己準同型写像が与えられる．
$n\in \mathbb{N}$，$p$を素数，$R$を標数$p$の可換環，$q\coloneqq p^n$とする．
- (一年生の夢(Freshman’s dream)) 任意の$a,b\in R$に対して，$(a+b)^q=a^q+b^q$
- 写像$\phi :R\to R;a\mapsto a^q$は環準同型写像である．
- $n$に関する数学的帰納法で示す．
$n=1$のとき，二項定理より
\[ \begin{aligned}&(a+b)^p\\ =&\sum _{i=0}^p\binom{p}{i}a^ib^{p-i}\\ =&a^p+b^p+pa^{p-1}b+pab^{p-1}\\ &+\sum _{i=2}^{p-2}\left( \prod _{j=1}^i\frac{p-j+1}{j}\right) a^ib^{p-i}\\ =&a^p+b^p+p\sum _{i=2}^{p-2}\left( \prod _{j=2}^i\frac{p-j+1}{j}\right) a^ib^{p-i}\\=&a^p+b^p\end{aligned}\]
$n=k$で与式が成り立つと仮定すると
\[ \begin{aligned}&(a+b)^{p^{k+1}}\\ =&((a+b)^{p^k})^p\\ =&(a^{p^k}+b^{p^k})^p\\ =&(a^{p^k})^p+(b^{p^k})^p\\ =&a^{p^{k+1}}+b^{p^{k+1}}\end{aligned}\]
であるから，$n=k+1$のときも与式が成り立つ．
以上より，示された．$\blacksquare$ - $a,b\in R$を任意にとる．①より
\[ \begin{aligned}\phi (a+b)=&(a+b)^{p^n}\\ =&a^{p^n}+b^{p^n}\\ =&\phi (a)+\phi (b)\end{aligned}\]
であり
\[ \begin{aligned}\phi (ab)=&(ab)^{p^n}\\ =&a^{p^n}b^{p^n}\\ =&\phi (a)\phi (b)\end{aligned}\]
また
\[ \phi (1)=1^{p^n}=1\]
であるから，以上より，$\phi$は環準同型写像である．$\blacksquare$
この自己準同型写像には，名前がついている．
$n\in \mathbb{N}$，$p$を素数，$R$を標数$p$の可換環，$q\coloneqq p^n$とする．
写像$\phi :R\to R;a\mapsto a^q$をフロベニウス自己準同型写像(またはフロベニウス自己準同型)(Frobenius endomorphism)(またはフロベニウス準同型写像(またはフロベニウス準同型)(Frobenius homomorphism)，フロベニウス写像(Frobenius map))という．
有限体上の多項式について，次の命題が成り立つ，
$p$を素数，$f(x)\in \mathbb{F}_p[x]$とするとき，次が成り立つ．
\[ f(x^p)=(f(x))^p\]
$f(x)=\displaystyle \sum _{i=0}^na_ix^i$とする($n\in \mathbb{N}\cup \{ 0\} ,a_i\in \mathbb{F}_p$)．
フェルマーの小定理と一年生の夢より
\[ \begin{aligned}f(x^p)=&\sum _{i=0}^na_i(x^p)^i\\ =&\sum _{i=0}^na_i^px^{ip}\\ =&\left( \sum _{i=0}^na_ix^i\right) ^p\\ =&(f(x))^p\quad \blacksquare \end{aligned}\]
素体
それ以上小さくできない体を素体という．
$K$を体とする．
$K$の部分体が$K$のみであるとき，$K$を素体(prime field)という．
素体の例を挙げておく．
$\mathbb{Q}$は素体である．
実際，$K$を$\mathbb{Q}$の部分体とすると，$0,1\in K$であり，任意の$n\in \mathbb{N}$に対して，$n\in K$ならば$n+1\in K$であるから，$\mathbb{N}\subset K$
また，任意の$n\in \mathbb{N}$に対して，$-n\in K$であるから，$\mathbb{Z}\subset K$
さらに，任意の$m\in \mathbb{Z}\setminus \{ 0\}$に対して，$\dfrac{1}{m}\in K$であり，$\dfrac{n}{m}=n\cdot \dfrac{1}{m}\in K$であるから，$\mathbb{Q}\subset K$
したがって，$K=\mathbb{Q}$である．
$p$を素数とする．
$\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$は素体である．
実際，$K$を$\mathbb{F}_p$の部分体とすると，$\overline{0},\overline{1}\in K$であり
\[ \begin{aligned}\overline{2}=&\overline{1}+\overline{1}\in K\\ \overline{3}=&\overline{2}+\overline{1}\in K\\ \vdots &\\ \overline{p-1}=&\overline{p-2}+\overline{1}\in K\end{aligned}\]
であるから，$\mathbb{F}_p\subset K$
したがって，$K=\mathbb{F}_p$である．
標数$0$の体の代表的な例は有理数体$\mathbb{Q}$であり，標数$p$の体の代表的な例は有限体$\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$である($p$は素数)．
$K$を体とする．
- $\operatorname{char}K=0$ならば，$K$のある部分体$L$が存在して，$L\cong \mathbb{Q}$となる．
- $p\coloneqq \operatorname{char}K>0$ならば，$K$のある部分体$L$が存在して，$L\cong \mathbb{F}_p$となる．
$\phi :\mathbb{Z}\to K;n\mapsto n\cdot 1_K$を自然な環準同型写像とする．
- 写像$\psi :\mathbb{Q}\to K$を
\[ \psi \left( \frac{p}{q}\right) =\phi (p)(\phi (q))^{-1}\quad \left( \frac{p}{q}\in \mathbb{Q}\right) \]
により定める．
$\dfrac{p}{q},\dfrac{r}{s}\in \mathbb{Q}$を任意にとる．
$\dfrac{p}{q}=\dfrac{r}{s}$ならば，$ps=qr$であるから
\[ \phi (p)\phi (s)=\phi (q)\phi (r)\]
両辺に$(\phi (q))^{-1}(\phi (s))^{-1}$を掛けると
\[ \psi \left( \frac{p}{q}\right) =\phi (p)(\phi (q))^{-1}=\phi (r)(\phi (s))^{-1}=\psi \left( \frac{r}{s}\right) \]
を得る．よって，$\psi$はwell-definedである．
また
\[ \begin{aligned}&\psi \left( \frac{p}{q}+\frac{r}{s}\right) \\ =&\psi \left( \frac{ps+qr}{qs}\right) \\ =&\phi (ps+qr)(\phi (qs))^{-1}\\ =&\phi (p)\phi (s)(\phi (s))^{-1}(\phi (q))^{-1}+\phi (q)\phi (r)(\phi (s))^{-1}(\phi (q))^{-1}\\ =&\phi (p)(\phi (q))^{-1}+\phi (r)(\phi (s))^{-1}\\ =&\psi \left( \frac{p}{q}\right) +\psi \left( \frac{r}{s}\right) \end{aligned}\]
\[ \begin{aligned}\psi \left( \frac{p}{q}\cdot \frac{r}{s}\right) =&\psi \left( \frac{pr}{qs}\right) \\ =&\phi (pr)(\phi (qs))^{-1}\\ =&\phi (p)(\phi (q))^{-1}\phi (r)(\phi (s))^{-1}\\ =&\psi \left( \frac{p}{q}\right) \psi \left( \frac{r}{s}\right) \end{aligned}\]
であるから，$\psi$は環準同型写像であり
\[ \begin{aligned}\operatorname{Ker}(\psi )=&\left\{ \frac{p}{q}\in \mathbb{Q}\,\middle|\,\psi \left( \frac{p}{q}\right) =0_K\right\} \\ =&\left\{ \frac{p}{q}\in \mathbb{Q}\,\middle|\,\phi (p)(\phi (q))^{-1}=0_K\right\} \\ =&\left\{ \frac{p}{q}\in \mathbb{Q}\,\middle|\,p\cdot 1_K=0_K\right\} \\ =&\left\{ \frac{p}{q}\in \mathbb{Q}\,\middle|\,p=0\right\} \\ =&\{ 0\} \end{aligned}\]
であるから，$\psi$は単射である．よって，環準同型定理より
\[ \operatorname{Im}\psi \cong \mathbb{Q}/\operatorname{Ker}\psi \cong \mathbb{Q}\]
は$K$の部分体である．$\blacksquare$ - 環準同型定理より
\[ \operatorname{Im}\phi \cong \mathbb{Z}/\operatorname{Ker}\phi =\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=\mathbb{F}_p\]
は$K$の部分体である．$\blacksquare$
つまり，標数によって，体に含まれる素体の構造を調べることができるのである．