【高校数学】整式の展開

整式の展開

まず，整式の展開の定義を理解しよう．

整式の展開→整式の積で表された式を単項式の和の形で表すこと

整式の展開は，どんな場合でも分配法則を利用して計算することができる．具体例で確認しよう．

• 単項式と単項式の積は次のように計算する．
  \[ \begin{array}{lll}&(-6x^3y)\cdot 2xy^2&\\ =&(-6)\cdot 2\cdot x^3\cdot x\cdot y\cdot y^2&乗法の交換法則\\ =&-12x^4y^3&指数法則\end{array}\]
• 単項式と多項式の積は次のように計算する．
  \[ \begin{array}{lll}&-5x(2a+3b)&\\ =&-5x\cdot 2a-5x\cdot 3b&分配法則\\ =&-10ax-15bx&\end{array}\]
• 多項式と多項式の積は次のように計算する．
  \[ \begin{array}{lll}&(x^2+3)(2x-1)&\\ =&(x^2+3)\cdot 2x+(x^2+3)\cdot (-1)&分配法則\\ =&x^2\cdot 2x+3\cdot 2x+x^2\cdot (-1)+3\cdot (-1)&分配法則\\ =&2x^3+6x-x^2-3&\\ =&2x^3-x^2+6x-3&降べきの順に整理\end{array}\]

展開の公式

次に，展開の公式を理解しよう．以下，$a,b,c,d,x$は定数または変数であるとする．

$2$次式になる展開の公式として，次の5つがある．

• $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
• $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
• $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
• $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
• $(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$

次のように証明することができる．

• 分配法則より
  \[ \begin{aligned}(a+b)^2&=(a+b)(a+b)\\ &=(a+b)a+(a+b)b\\ &=a^2+ab+ab+b^2\\ &=a^2+2ab+b^2\quad \blacksquare \end{aligned}\]
• 分配法則より
  \[ \begin{aligned}(a-b)^2&=(a-b)(a-b)\\ &=(a-b)a-(a-b)b\\ &=a^2-ab-ab+b^2\\ &=a^2-2ab+b^2\quad \blacksquare \end{aligned}\]
• 分配法則より
  \[ \begin{aligned}(a+b)(a-b)&=(a+b)a-(a+b)b\\ &=a^2+ab-ab-b^2\\ &=a^2-b^2\quad \blacksquare \end{aligned}\]
• 分配法則より
  \[ \begin{aligned}(x+a)(x+b)&=(x+a)x+(x+a)b\\ &=x^2+ax+bx+ab\\ &=x^2+(a+b)x+ab\quad \blacksquare \end{aligned}\]
• 分配法則より
  \[ \begin{aligned}(ax+b)(cx+d)&=(ax+b)cx+(ax+b)d\\ &=acx^2+bcx+adx+bd\\ &=acx^2+(ad+bc)x+bd\quad \blacksquare \end{aligned}\]

具体例で確認しよう．

• $(x+3)^2=x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=x^2+6x+9$
• $(2a-1)^2=(2a)^2-2\cdot 2a+1^2=4a^2-4a+1$
• $(6a-b)(6a+b)=(6a)^2-b^2=36a^2-b^2$
• $(x+2)(x-3)=x^2+(2-3)x+2\cdot (-3)=x^2-x-6$
• $(4x+3)(2x-1)=4\cdot 2x^2+\{ 4\cdot (-1)+3\cdot 2\} x+3\cdot (-1)=8x^2+2x-3$

$3$次式になる展開の公式として，次の4つがある．

• $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
• $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
• $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
• $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$

次のように証明することができる．

• 展開の公式より
  \[ \begin{aligned}(a+b)^3&=(a+b)(a+b)^2\\ &=(a+b)(a^2+2ab+b^2)\\ &=(a+b)a^2+(a+b)\cdot 2ab+(a+b)b^2\\ &=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3\\ &=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\quad \blacksquare \end{aligned}\]
• 展開の公式より
  \[ \begin{aligned}(a-b)^3&=(a-b)(a-b)^2\\ &=(a-b)(a^2-2ab+b^2)\\ &=(a-b)a^2-(a-b)\cdot 2ab+(a-b)b^2\\ &=a^3-a^2b-2a^2b+2ab^2+ab^2-b^3\\ &=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\quad \blacksquare \end{aligned}\]
• 分配法則より
  \[ \begin{aligned}(a+b)(a^2-ab+b^2)&=(a+b)a^2-(a+b)ab+(a+b)b^2\\ &=a^3+a^2b-a^2b-ab^2+ab^2+b^3\\ &=a^3+b^3\quad \blacksquare \end{aligned}\]
• 分配法則より
  \[ \begin{aligned}(a-b)(a^2+ab+b^2)&=(a-b)a^2+(a-b)ab+(a-b)b^2\\ &=a^3-a^2b+a^2b-ab^2+ab^2-b^3\\ &=a^3-b^3\quad \blacksquare \end{aligned}\]

具体例で確認しよう．

• $(2a+1)^2=(2a)^3+3\cdot (2a)^2\cdot 1+3\cdot 2a\cdot 1^2+1^3=8a^3+12a^2+6a+1$
• $(2-t)^3=2^3-3\cdot 2^2\cdot t+3\cdot 2\cdot t^2-t^3=-t^3+6t^2-12t+8$
• $(a+2)(a^2-2a+4)=a^3+2^3=a^3+8$
• $(4x-y)(16x^2+4xy+y^2)=(4x)^3-y^3=64x^3-y^3$

次の2つの公式も覚えておくと便利である¹．

• $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
• $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc$

次のように証明することができる．

• 展開の公式より
  \[ \begin{aligned}(a+b+c)^2&=\{ (a+b)+c\} ^2\\ &=(a+b)^2+2(a+b)c+c^2\\ &=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2\\ &=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\quad \blacksquare \end{aligned}\]
• 展開の公式より
  \[ \begin{aligned}&(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\ =&\{ a+(b+c)\} \{ a^2-(b+c)a+(b^2-bc+c^2)\} \\ =&\{ a+(b+c)\} a^2-\{ a+(b+c)\} (b+c)a+\{ a+(b+c)\} (b^2-bc+c^2)\\ =&a^3+(b+c)a^2-(b+c)a^2-(b+c)^2a+a(b^2-bc+c^2)+(b+c)(b^2-bc+c^2)\\ =&a^3+\{ b^2-bc+c^2-(b+c)^2\} a+b^3+c^3\\ =&a^3+b^3+c^3+(b^2-bc+c^2-b^2-2bc-c^2)a\\ =&a^3+b^3+c^3-3abc\quad \blacksquare \end{aligned}\]

具体例で確認しよう．

• $(2x-y+1)^2=(2x)^2+(-y)^2+1^2+2\cdot 2x\cdot (-y)+2\cdot (-y)\cdot 1+2\cdot 1\cdot 2x=4x^2-4xy+y^2+4x-2y+1$
• $(x-3y-2)(x^2+3xy+9y^2+2x-6y+4)=x^3+(-3y)^3+(-2)^3-3\cdot x\cdot (-3y)\cdot (-2)=x^3-27y^3-18xy-8$

展開の工夫

整式の展開は，様々な問題を解く際に必要な計算であり，スピードと正確性が強く求められるため，公式の暗記と適用が欠かせない．ここでは，公式を適用するための方法と，効率よく展開する方法を解説する．

置換

整式の展開において，同じ部分は1つの文字に置換すると公式を適用できる場合がある．

頭の中で整理できるのであれば，必ずしも新たな文字で置換しなければいけないわけではない．

順序･組合せ

整式の展開において，掛ける順序や組合せを工夫することで，簡単に計算できる場合がある．

入試問題に挑戦！

1. 対称式の計算が必要な問題を解く際に非常に有効な公式である． ↩︎