整式の展開
まず,整式の展開の定義を理解しよう.
整式の展開→整式の積で表された式を単項式の和の形で表すこと
整式の展開は,どんな場合でも分配法則を利用して計算することができる.具体例で確認しよう.
- 単項式と単項式の積は次のように計算する.
\[ \begin{array}{lll}&(-6x^3y)\cdot 2xy^2&\\ =&(-6)\cdot 2\cdot x^3\cdot x\cdot y\cdot y^2&乗法の交換法則\\ =&-12x^4y^3&指数法則\end{array}\] - 単項式と多項式の積は次のように計算する.
\[ \begin{array}{lll}&-5x(2a+3b)&\\ =&-5x\cdot 2a-5x\cdot 3b&分配法則\\ =&-10ax-15bx&\end{array}\] - 多項式と多項式の積は次のように計算する.
\[ \begin{array}{lll}&(x^2+3)(2x-1)&\\ =&(x^2+3)\cdot 2x+(x^2+3)\cdot (-1)&分配法則\\ =&x^2\cdot 2x+3\cdot 2x+x^2\cdot (-1)+3\cdot (-1)&分配法則\\ =&2x^3+6x-x^2-3&\\ =&2x^3-x^2+6x-3&降べきの順に整理\end{array}\]
展開の公式
次に,展開の公式を理解しよう.以下,$a,b,c,d,x$は定数または変数であるとする.
$2$次式になる展開の公式として,次の5つがある.
- $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
- $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
- $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
- $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
- $(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$
次のように証明することができる.
- 分配法則より
\[ \begin{aligned}(a+b)^2&=(a+b)(a+b)\\ &=(a+b)a+(a+b)b\\ &=a^2+ab+ab+b^2\\ &=a^2+2ab+b^2\quad \blacksquare \end{aligned}\] - 分配法則より
\[ \begin{aligned}(a-b)^2&=(a-b)(a-b)\\ &=(a-b)a-(a-b)b\\ &=a^2-ab-ab+b^2\\ &=a^2-2ab+b^2\quad \blacksquare \end{aligned}\] - 分配法則より
\[ \begin{aligned}(a+b)(a-b)&=(a+b)a-(a+b)b\\ &=a^2+ab-ab-b^2\\ &=a^2-b^2\quad \blacksquare \end{aligned}\] - 分配法則より
\[ \begin{aligned}(x+a)(x+b)&=(x+a)x+(x+a)b\\ &=x^2+ax+bx+ab\\ &=x^2+(a+b)x+ab\quad \blacksquare \end{aligned}\] - 分配法則より
\[ \begin{aligned}(ax+b)(cx+d)&=(ax+b)cx+(ax+b)d\\ &=acx^2+bcx+adx+bd\\ &=acx^2+(ad+bc)x+bd\quad \blacksquare \end{aligned}\]
具体例で確認しよう.
- $(x+3)^2=x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=x^2+6x+9$
- $(2a-1)^2=(2a)^2-2\cdot 2a+1^2=4a^2-4a+1$
- $(6a-b)(6a+b)=(6a)^2-b^2=36a^2-b^2$
- $(x+2)(x-3)=x^2+(2-3)x+2\cdot (-3)=x^2-x-6$
- $(4x+3)(2x-1)=4\cdot 2x^2+\{ 4\cdot (-1)+3\cdot 2\} x+3\cdot (-1)=8x^2+2x-3$
$3$次式になる展開の公式として,次の4つがある.
- $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
- $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
- $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
- $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$
次のように証明することができる.
- 展開の公式より
\[ \begin{aligned}(a+b)^3&=(a+b)(a+b)^2\\ &=(a+b)(a^2+2ab+b^2)\\ &=(a+b)a^2+(a+b)\cdot 2ab+(a+b)b^2\\ &=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3\\ &=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\quad \blacksquare \end{aligned}\] - 展開の公式より
\[ \begin{aligned}(a-b)^3&=(a-b)(a-b)^2\\ &=(a-b)(a^2-2ab+b^2)\\ &=(a-b)a^2-(a-b)\cdot 2ab+(a-b)b^2\\ &=a^3-a^2b-2a^2b+2ab^2+ab^2-b^3\\ &=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\quad \blacksquare \end{aligned}\] - 分配法則より
\[ \begin{aligned}(a+b)(a^2-ab+b^2)&=(a+b)a^2-(a+b)ab+(a+b)b^2\\ &=a^3+a^2b-a^2b-ab^2+ab^2+b^3\\ &=a^3+b^3\quad \blacksquare \end{aligned}\] - 分配法則より
\[ \begin{aligned}(a-b)(a^2+ab+b^2)&=(a-b)a^2+(a-b)ab+(a-b)b^2\\ &=a^3-a^2b+a^2b-ab^2+ab^2-b^3\\ &=a^3-b^3\quad \blacksquare \end{aligned}\]
具体例で確認しよう.
- $(2a+1)^2=(2a)^3+3\cdot (2a)^2\cdot 1+3\cdot 2a\cdot 1^2+1^3=8a^3+12a^2+6a+1$
- $(2-t)^3=2^3-3\cdot 2^2\cdot t+3\cdot 2\cdot t^2-t^3=-t^3+6t^2-12t+8$
- $(a+2)(a^2-2a+4)=a^3+2^3=a^3+8$
- $(4x-y)(16x^2+4xy+y^2)=(4x)^3-y^3=64x^3-y^3$
次の2つの公式も覚えておくと便利である1.
- $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
- $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc$
次のように証明することができる.
- 展開の公式より
\[ \begin{aligned}(a+b+c)^2&=\{ (a+b)+c\} ^2\\ &=(a+b)^2+2(a+b)c+c^2\\ &=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2\\ &=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\quad \blacksquare \end{aligned}\] - 展開の公式より
\[ \begin{aligned}&(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\ =&\{ a+(b+c)\} \{ a^2-(b+c)a+(b^2-bc+c^2)\} \\ =&\{ a+(b+c)\} a^2-\{ a+(b+c)\} (b+c)a+\{ a+(b+c)\} (b^2-bc+c^2)\\ =&a^3+(b+c)a^2-(b+c)a^2-(b+c)^2a+a(b^2-bc+c^2)+(b+c)(b^2-bc+c^2)\\ =&a^3+\{ b^2-bc+c^2-(b+c)^2\} a+b^3+c^3\\ =&a^3+b^3+c^3+(b^2-bc+c^2-b^2-2bc-c^2)a\\ =&a^3+b^3+c^3-3abc\quad \blacksquare \end{aligned}\]
具体例で確認しよう.
- $(2x-y+1)^2=(2x)^2+(-y)^2+1^2+2\cdot 2x\cdot (-y)+2\cdot (-y)\cdot 1+2\cdot 1\cdot 2x=4x^2-4xy+y^2+4x-2y+1$
- $(x-3y-2)(x^2+3xy+9y^2+2x-6y+4)=x^3+(-3y)^3+(-2)^3-3\cdot x\cdot (-3y)\cdot (-2)=x^3-27y^3-18xy-8$
展開の工夫
整式の展開は,様々な問題を解く際に必要な計算であり,スピードと正確性が強く求められるため,公式の暗記と適用が欠かせない.ここでは,公式を適用するための方法と,効率よく展開する方法を解説する.
置換
整式の展開において,同じ部分は1つの文字に置換すると公式を適用できる場合がある.
$(x+y+3)(x+y-1)$を展開せよ.
$A=x+y$とおくと
\[ \begin{array}{lll}&(x+y+3)(x+y-1)&\\ =&(A+3)(A-1)&A=x+yで置換\\ =&A^2+2A-3&展開の公式\\ =&(x+y)^2+2(x+y)-3&Aを元に戻す\\ =&{\color{red}x^2+2xy+y^2+2x+2y-3}&展開の公式\end{array}\]
$(3+2a-b)(3-2a+b)$を展開せよ.
$B=2a-b$とおくと
\[ \begin{array}{lll}&(3+2a-b)(3-2a+b)&\\ =&(3+B)(3-B)&B=2a-bで置換\\ =&9-B^2&展開の公式\\ =&9-(2a-b)^2&Bを元に戻す\\ =&9-(4a^2-4ab+b^2)&展開の公式\\ =&{\color{red}-4a^2+4ab-b^2+9}&\end{array}\]
頭の中で整理できるのであれば,必ずしも新たな文字で置換しなければいけないわけではない.
$(2a-b+c+3d)(2a+b+c-3d)$を展開せよ.
\[ \begin{array}{lll}&(2a-b+c+3d)(2a+b+c-3d)&\\ =&\{ (2a+c)-(b-3d)\} \{ (2a+c)+(b-3d)\} &\\ =&(2a+c)^2-(b-3d)^2&展開の公式\\ =&(4a^2+4ac+c^2)-(b^2-6bd+9d^2)&展開の公式\\ =&4a^2+4ac+c^2-b^2+6bd-9d^2&\\ =&{\color{red}4a^2-b^2+c^2-9d^2+4ac+6bd}&\end{array}\]
順序・組合せ
整式の展開において,掛ける順序や組合せを工夫することで,簡単に計算できる場合がある.
$(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x-y)$を展開せよ.
\[ \begin{array}{lll}&(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x-y)&\\ =&\{ (x+y)(x-y)\} (x^2+y^2)(x^4+y^4)&掛ける順序・組合せの工夫\\ =&(x^2-y^2)(x^2+y^2)(x^4+y^4)&展開の公式\\ =&\{ (x^2+y^2)(x^2-y^2)\} (x^4+y^4)&掛ける順序・組合せの工夫\\ =&(x^4-y^4)(x^4+y^4)&展開の公式\\ =&(x^4+y^4)(x^4-y^4)&掛ける順序・組合せの工夫\\ =&{\color{red}x^8-y^8}&展開の公式\end{array}\]
$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$を展開せよ.
\[ \begin{array}{lll}&(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)&\\ =&\{ (x+1)(x+4)\} \{ (x+2)(x+3)\} &掛ける順序・組合せの工夫\\ =&(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)&展開の公式\\ =&\{ (x^2+5x)+4\} \{ (x^2+5x)+6\} &\\ =&(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24&展開の公式\\ =&(x^4+10x^3+25x^2)+(10x^2+50x)+24&展開の公式\\ =&{\color{red}x^4+10x^3+35x^2+50x+24}&\end{array}\]
入試問題に挑戦!
$(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$を展開せよ.
(2007年度 東京女子医科大学 第1問(1))
\[ \begin{aligned}&(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\\ =&[\{ (b+c)+a\} \{ (b+c)-a\} ][\{ a+(c-b)\} \{ a-(c-b)\} ]\\ =&\{ (b+c)^2-a^2\} \{ a^2-(c-b)^2\} \\ =&(b^2+2bc+c^2-a^2)(a^2-c^2+2bc-b^2)\\ =&\{ 2bc+(b^2+c^2-a^2)\} \{ 2bc-(b^2+c^2-a^2)\} \\ =&4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2\\ =&4b^2c^2-(b^4+c^4+a^4+2b^2c^2-2a^2b^2-2a^2c^2)\\ =&4b^2c^2-b^4-c^4-a^4-2b^2c^2+2a^2b^2+2a^2c^2\\ =&{\color{red}-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2}\end{aligned}\]
- 対称式の計算が必要な問題を解く際に非常に有効な公式である. ↩︎