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このページは，ルベーグ積分論についてまとめた，Web上の教科書です．できる限り多くの内容を網羅したページとなることを目的としています．掲載してほしい内容がありましたら，お問い合わせフォームよりご連絡ください．
以下，$d,n\in \mathbb{N}$とし，$\overline{\mathbb{R}}\coloneqq \mathbb{R}\cup \{ \pm \infty \}$とする．
また，$\overline{\mathbb{R}}$上の四則演算と大小関係について，次のように定める．
- $x,y\in \mathbb{R}$に対して，和$x+y$と積$xy$は通常通りに定める．
- $x\in \mathbb{R}$に対して
\[ x\pm \infty =\pm \infty +x=\pm \infty \]
と定める．
また
\[ \pm \infty \pm \infty =\pm \infty \]
と定める．
ただし，$\pm \infty \mp \infty$は定めない． - $x\in \mathbb{R}$に対して
\[ x\cdot (\pm \infty )=(\pm \infty )\cdot x=\begin{cases}0&(x=0)\\ \pm \infty &(x>0)\\ \mp \infty &(x<0)\end{cases}\]
と定める．
また
\[ (\pm \infty )\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \\ (\pm \infty )\cdot (\mp \infty )=\mp \infty \]
と定める． - $x\in \mathbb{R}$に対して
\[ x/(\pm \infty )=0\]
と定める．
ただし，$(\pm \infty )/(\pm \infty )$や$(\pm \infty )/(\mp \infty )$，$(\pm \infty )/0$は定めない． - $x\in \mathbb{R}$に対して
\[ 0^x=\begin{cases}0&(x>0)\\ 1&(x=0)\\ \infty &(x<0)\end{cases}\]
とする． - 任意の$x\in \mathbb{R}$に対して
\[ -\infty <x<\infty \]
また，集合や写像についての表記を，次のように定める．
以下，$A\subset \mathbb{R}^d$とする．
- $x\in \mathbb{R}^d$に対して
\[ A+x\coloneqq \{ a+x\in \mathbb{R}^d\mid a\in A\} \] - $p\in \mathbb{R}\setminus \{ 0\}$に対して
\[ pA\coloneqq \{ pa\in \mathbb{R}^d\mid a\in A\} \]
以下，$f,g:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$を関数とする．
- $\alpha \in \mathbb{R}$に対して，関数$|f|^{\alpha}:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$を次のように定める．
\[ |f|^{\alpha}(x)=|f(x)|^{\alpha}\quad (x\in \mathbb{R}^d)\] - $\alpha \in \mathbb{R}$に対して，関数$\alpha +f:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$を次のように定める．
\[ (\alpha +f)(x)=\alpha +f(x)\quad (x\in \mathbb{R}^d)\] - $\alpha \in \mathbb{R}$に対して，関数$\alpha f:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$を次のように定める．
\[ (\alpha f)(x)=\alpha f(x)\quad (x\in \mathbb{R}^d)\] - 関数$f+g:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$を次のように定める．
\[ (f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad (x\in \mathbb{R}^d)\]
ただし，ある$x\in \mathbb{R}^d$が存在して，$f(x)=\pm \infty ,g(x)=\mp \infty$となるとき，$f+g:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$は定めない1． - 関数$fg:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$を次のように定める．
\[ (fg)(x)=f(x)g(x)\quad (x\in \mathbb{R}^d)\] - 関数$f^+:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$を次のように定める．
\[ f^+(x)=\max \{ 0,f(x)\} \quad (x\in \mathbb{R}^d)\] - 関数$f^-:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$を次のように定める．
\[ f^-(x)=\max \{ 0,-f(x)\} \quad (x\in \mathbb{R}^d)\]
以下，$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$を$\mathbb{R}^d$から$\overline{\mathbb{R}}$への関数列とする．
- 関数$\sup _{n\in \mathbb{N}}f_n:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$を次のように定める．
\[ \left( \sup _{n\in \mathbb{N}}f_n\right) (x)=\sup _{n\in \mathbb{N}}f_n(x)\quad (x\in \mathbb{R}^d)\] - 関数$\inf _{n\in \mathbb{N}}f_n:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$を次のように定める．
\[ \left( \inf _{n\in \mathbb{N}}f_n\right) (x)=\inf _{n\in \mathbb{N}}f_n(x)\quad (x\in \mathbb{R}^d)\] - 関数$\limsup _{n\to \infty}f_n:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$を次のように定める．
\[ \left( \limsup _{n\to \infty}f_n\right) (x)=\limsup _{n\to \infty}f_n(x)\quad (x\in \mathbb{R}^d)\] - 関数$\liminf _{n\to \infty}f_n:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$を次のように定める．
\[ \left( \liminf _{n\to \infty}f_n\right) (x)=\liminf _{n\to \infty}f_n(x)\quad (x\in \mathbb{R}^d)\] - 関数$\lim _{n\to \infty}f_n:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$を次のように定める．
\[ \left( \lim _{n\to \infty}f_n\right) (x)=\lim _{n\to \infty}f_n(x)\quad (x\in \mathbb{R}^d)\]
ただし，ある$x\in \mathbb{R}^d$が存在して，$\lim _{n\to \infty}f_n(x)$が存在しないとき，$\lim _{n\to \infty}f_n:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$は定めない． - 任意の$x\in \mathbb{R}^d$と任意の$n\in \mathbb{N}$に対して
\[ f_n(x)\le f_{n+1}(x)\]
が成り立つとき，$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$は単調増加であるという． - 任意の$x\in \mathbb{R}^d$と任意の$n\in \mathbb{N}$に対して
\[ f_n(x)\ge f_{n+1}(x)\]
が成り立つとき，$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$は単調減少であるという． - $\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$が単調増加であり，任意の$x\in \mathbb{R}^d$に対して
\[ \lim _{n\to \infty}f_n(x)=f(x)\]
となるとき，$f_n\uparrow f\quad (n\to \infty )$で表す． - $\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$が単調減少であり，任意の$x\in \mathbb{R}^d$に対して
\[ \lim _{n\to \infty}f_n(x)=f(x)\]
となるとき，$f_n\downarrow f\quad (n\to \infty )$で表す．