ルベーグ積分論

$A\subset \mathbb{R}^d$をルベーグ可測集合とする．

• $\displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}1_A(x)f(x)\,dx$が定まるとき，これを$f$の$A$上のルベーグ積分といい，$\displaystyle \int _Af(x)\,dx$で表す．
• $f$の$A$上のルベーグ積分が定まり
  \[ \left| \int _Af(x)\,dx\right| <\infty \]
  が成り立つとき，$f$は$A$上可積分であるという．

$A,B$をルベーグ可測集合とする．

• $\displaystyle \left| \int _Af(x)\,dx\right| <\int _A|f(x)|\,dx$
• $\mu (A)=0$ならば
  \[ \int _{A}f(x)\,dx=0\]
• $A\cap B=\emptyset$ならば
  \[ \int _{A\cup B}f(x)\,dx=\int _Af(x)\,dx+\int _Bf(x)\,dx\]
• $\displaystyle \int _A|f(x)|\,dx$ならば
  \[ f(x)=0\,\mathrm{a.e.}\,x\in A\]
• $d=1$，$a,b\in \overline{\mathbb{R}}$とする．
  $a<b$ならば
  \[ \int _{(a,b)}f(x)\,dx=\int _{[a,b)}f(x)\,dx=\int _{(a,b]}f(x)\,dx=\int _{[a,b]}f(x)\,dx\]

• 任意の$\alpha \in \mathbb{R}^d$に対して
  \[ \int _{\mathbb{R}^d}f(x+\alpha )\,dx=\int _{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx\]
• \[ \int _{\mathbb{R}^d}f(-x)\,dx=-\int _{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx\]

$K$を$\mathbb{R}^d$の連結コンパクト集合とし，$f:K\to \mathbb{R}$を連続関数，$g:K\to \mathbb{R}$を非負値可積分関数とする．

ある$x_0\in K$が存在して
\[ \int _Kf(x)g(x)\,dx=f(x_0)\int _Kg(x)\,dx\]

$A\subset \mathbb{R}^d$とし，$f:A\to \mathbb{R}$を関数とする．

$f$が$A$上リーマン積分可能であるための必要十分条件は，次の3つの条件を満たすことである．

• $f$は$A$上有界である．
• $\mu (\partial A)=0$
• $f$は$A$上のほとんど至るところで連続である．

このとき，$f$の$A$上のルベーグ積分が定まり，$f$の$A$上のリーマン積分と一致する．

$A\subset \mathbb{R}^d$とし，$f:A\to \mathbb{R}$を$A$上広義リーマン積分可能な関数とする．

• 広義リーマン積分$\displaystyle \int _Af(x)\,dx$が絶対収束するとき，$f$の$A$上のルベーグ積分が定まり，広義リーマン積分と一致する．
• 広義リーマン積分$\displaystyle \int _Af(x)\,dx$が条件収束するとき，$f$の$A$上のルベーグ積分は定まらない．

次の広義リーマン積分
\[ \int _{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}\]
は定まり(ディリクレ積分)，条件収束する．

一方，ルベーグ積分
\[ \int _{\mathbb{R}}\frac{\sin x}{x}\,dx\]
は定まらない．

ディリクレ関数
\[ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R};x\mapsto \begin{cases}1&(x\in \mathbb{Q})\\ 0&(x\not\in \mathbb{Q})\end{cases}\]
は$\mathbb{R}$上のルベーグ積分が定まり
\[ \int _{\mathbb{R}}f(x)\,dx=0\]
となる．

一方，$f$は広義リーマン積分可能でない．

$A\subset \mathbb{R}^d$とし，$f:A\to \overline{\mathbb{R}}$を関数，$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$を$A$から$\overline{\mathbb{R}}$への関数列とする．

• $\displaystyle \lim _{n\to \infty}f_n(x)=f(x)\,\mathrm{a.e.}\,x\in A$であるとき，$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$は$A$上$f$に概収束するという．
• 任意の$\varepsilon >0$に対して
  \[ \lim _{n\to \infty}\mu (\{ x\in A\mid |f_n(x)-f(x)|>\varepsilon \} )=0\]
  が成り立つとき，$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$は$A$上$f$に測度収束するという．
• $f$と$f_n$($n\in \mathbb{N}$)は可積分関数であるとする．
  \[ \lim _{n\to \infty}\int _A|f_n(x)-f(x)|\,dx=0\]
  であるとき，$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$は$A$上$f$に$L^1$-ノルム収束(または強収束)するという．

$A\in \mathcal{M}$，$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$を$A$から$\overline{\mathbb{R}}$への非負値ルベーグ可測関数の単調増加列とする．

\[ \int _A\lim _{n\to \infty}f_n(x)\,dx=\lim _{n\to \infty}\int _Af_n(x)\,dx\]

$A\in \mathcal{M}$，$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$を$A$から$\overline{\mathbb{R}}$への非負値ルベーグ可測関数列とする．

\[ \int _A\liminf _{n\to \infty}f_n(x)\,dx\le \liminf _{n\to \infty}\int _Af_n(x)\,dx\]

$A\in \mathcal{M}$，$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$を$A$から$\overline{\mathbb{R}}$への可測関数列，$\varphi :A\to \overline{\mathbb{R}}$を関数とする．

$\varphi$が次の2つの条件

• 任意の$x\in A$と任意の$n\in \mathbb{N}$に対して
  \[ |f_n(x)|\le \varphi (x)\]
• $\displaystyle \int _A\varphi (x)\,dx<\infty$

を満たすとき，$\varphi$を$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$の優関数という．

$A\in \mathcal{M}$，$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$を$A$から$\overline{\mathbb{R}}$への可測関数列とする．

$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$が$A$上概収束し，$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$の優関数$\varphi :A\to \overline{\mathbb{R}}$が存在するとき
\[ \int _A\lim _{n\to \infty}f_n(x)\,dx=\lim _{n\to \infty}\int _Af_n(x)\,dx\]

$A\in \mathcal{M}$，$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$を$A$から$\overline{\mathbb{R}}$への非負値ルベーグ可測関数列とする．

\[ \int _A\sum _{n=1}^{\infty}f_n(x)\,dx=\sum _{n=1}^{\infty}\int _Af_n(x)\,dx\]

$A\in \mathcal{M}$，$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$を$A$から$\overline{\mathbb{R}}$へのルベーグ可測関数列とする．

$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}\int _A|f_n(x)|\,dx<\infty$ならば，$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}f_n(x)$は$A$上概収束して
\[ \int _A\sum _{n=1}^{\infty}f_n(x)\,dx=\sum _{n=1}^{\infty}\int _Af_n(x)\,dx\]

$\{ A_n\} _{n=1}^{\infty}$を単調増加な$\mathcal{M}$の元の列，$A\coloneqq \displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty}A_n$，$f:A\to \overline{\mathbb{R}}$を関数とする．

\[ \int _Af(x)\,dx=\lim _{n\to \infty}\int _{A_n}f(x)\,dx\]

$a,b\in \overline{\mathbb{R}}$は$a<b$を満たすとし，$c\in [a,b]$，$A\in \mathcal{M}$，$f:A\to \overline{\mathbb{R}}$($t\in (a,b)$)をルベーグ可測関数とする．

\[ \lim _{t\to c}f_t(x)=f(x)\,\mathrm{a.e.}\,x\in A\]
であり，ある$\varphi :A\to \overline{\mathbb{R}}$が存在して，次の2つの条件

• 任意の$x\in A$と任意の$t\in (a,b)$に対して
  \[ |f_t(x)|\le \varphi (x)\]
• $\displaystyle \int _A\varphi (x)\,dx<\infty$

を満たすとき
\[ \int _A\lim _{t\to c}f_t(x)\,dx=\lim _{t\to c}\int _Af_t(x)\,dx\]

$a,b\in \overline{\mathbb{R}}$は$a<b$を満たすとし，$A\in \mathcal{M}$，$f:A\times (a,b)\to \mathbb{R}$を関数とする．

$f$が次の2つの条件

• 任意の$y\in (a,b)$に対して，$A\to \mathbb{R};x\mapsto f(x,y)$はルベーグ可測であり
  \[ \int _A|f(x,y)|\,dx<\infty \]
• 任意の$x\in A$に対して，$(a,b)\to \mathbb{R};y\mapsto f(x,y)$は微分可能であり，ある関数$\varphi :A\to \mathbb{R}$が存在して，次の2つの条件を満たす．
  • 任意の$y\in (a,b)$に対して
    \[ \left| \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right| \le \varphi (x)\]
  • $\displaystyle \int _A\varphi (x)\,dx<\infty$

を満たすとき
\[ \frac{d}{dy}\int _Af(x,y)\,dx=\int _A\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,dx\]

$f:\mathbb{R}^{p+q}\to \overline{\mathbb{R}}$を非負値ルベーグ可測関数とする．

• ほとんどすべての$y\in \mathbb{R}^q$に対して
  \[ \mathbb{R}^p\to \overline{\mathbb{R}};x\mapsto f(x,y)\]
  はルベーグ可測である．
• ほとんどすべての$x\in \mathbb{R}^p$に対して
  \[ \mathbb{R}^q\to \overline{\mathbb{R}};y\mapsto f(x,y)\]
  はルベーグ可測である．
• \[ \mathbb{R}^p\to \overline{\mathbb{R}};x\mapsto \int _{\mathbb{R}^q}f(x,y)\,dy\]
  はルベーグ可測である．
• \[ \mathbb{R}^q\to \overline{\mathbb{R}};y\mapsto \int _{\mathbb{R}^p}f(x,y)\,dx\]
  はルベーグ可測である．
• 次の等式が成り立つ．
  \[ \int _{\mathbb{R}^{p+q}}f(z)\,dz=\int _{\mathbb{R}^p}\,dx\int _{\mathbb{R}^q}f(x,y)\,dy=\int _{\mathbb{R}^q}\,dy\int _{\mathbb{R}^p}f(x,y)\,dx\]

$f:\mathbb{R}^{p+q}\to \overline{\mathbb{R}}$をルベーグ可測関数とする．

\[ \int _{\mathbb{R}^{p+q}}|f(z)|\,dz,\quad \int _{\mathbb{R}^p}\,dx\int _{\mathbb{R}^q}|f(x,y)|\,dy,\quad \int _{\mathbb{R}^q}\,dy\int _{\mathbb{R}^p}|f(x,y)|\,dx\]
のいずれかが有限値ならば
\[ \int _{\mathbb{R}^{p+q}}f(z)\,dz=\int _{\mathbb{R}^p}\,dx\int _{\mathbb{R}^q}f(x,y)\,dy=\int _{\mathbb{R}^q}\,dy\int _{\mathbb{R}^p}f(x,y)\,dx\]