2. ルベーグ積分
いよいよ，体積の拡張であるルベーグ測度を利用して，リーマン積分の拡張であるルベーグ積分を定義する．
その準備として，次の概念を定義しておく．
$X\subset \mathbb{R}^d$とし，$P(x)$を$x\in X$に関する命題とする．
$P(x)$が偽であるような$x\in X$全体の集合が零集合であるとき，$P(x)$はほとんどすべての$x\in X$に対して成り立つといい，$P(x)\,\mathrm{a.e.}\,x\in X$で表す．
特に，$X=\mathbb{R}^d$であるとき，$P(x)\,\mathrm{a.e.}\,x$と表すこともある．
ほとんどすべての実数は無理数である．
2.1. ルベーグ可測関数
まずは，ルベーグ積分を定義できるような関数について考える．
$[a,b]$を$\mathbb{R}$の有界閉区間とする．関数$f:[a,b]\to \mathbb{R}$のリーマン積分を考えよう．
リーマン積分は，$[a,b]$の分割
\[ \Delta :a=a_0<a_1<\dots <a_n=b\]
を考える．
\[ \overline{S}(f,\Delta )\coloneqq \sum _{i=1}^n(a_i-a_{i-1})\sup _{x\in [a_{i-1},a_i)}f(x)\\ \underline{S}(f,\Delta )\coloneqq \sum _{i=1}^n(a_i-a_{i-1})\inf _{x\in [a_{i-1},a_i)}f(x)\]
とすると
\[ \inf _{\Delta}\overline{S}(f,\Delta )=\sup _{\Delta}\underline{S}(f,\Delta )\]
が成り立つとき，$f$は$[a,b]$上リーマン積分可能であった．
つまり，区間を十分細かく分割することで，分割された各部分において，$f(x)$の値の取りうる範囲が十分小さくなるとき，$f$はリーマン積分可能となる．特に，$a_i-a_{i-1}$は区間$[a_{i-1},a_i)$の長さであり，ルベーグ測度である．
リーマン積分可能でない関数の例として，ディリクレ関数がある．
\[ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R};x\mapsto \begin{cases}1&(x\in \mathbb{Q})\\ 0&(x\not\in \mathbb{Q})\end{cases}\]
$\mathbb{R}$の任意の区間内に，有理数と無理数が存在するため，$[a,b]$の任意の分割$\Delta$に対して
\[ \overline{S}(f,\Delta )=1\\ \underline{S}(f,\Delta )=0\]
となり，$f$は$[a,b]$上リーマン積分可能でない．
ディリクレ関数のように，$f(x)$の値が至るところで飛び飛びの値をとる関数などは，リーマン積分を定義することができない．そこで，このような関数に対しても積分を定義するために，$f([a,b])$の分割を考え，その逆像を用いて，積分を定めよう．
$f([a,b])$の互いに交わらない区間$\{ I_j\}$への分割を$\Delta$とする．
\[ \inf _{\Delta}\sum _j\mu (f^{-1}(I_j))\sup I_j=\sup _{\Delta}\sum _j\mu (f^{-1}(I_j))\inf I_j\]
が成り立つとき，この値を$f$の$[a,b]$上の積分として定めると，これはリーマン積分の自然な拡張になっている2．
このようにして積分を定めるとするならば，各区間$I_j$に対して，$f^{-1}(I_j)$がルベーグ可測となる必要がある．そこで，このような関数について考えよう．
$f:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$を関数とする．
任意の$a\in \mathbb{R}$に対して
\[ \{ x\in \mathbb{R}^d\mid f(x)>a\} \in \mathcal{M}\]
であるとき，$f$はルベーグ可測であるといい，$f$をルベーグ可測関数という．
関数がルベーグ可測であることは，次のように言い換えることができる．
$f:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$を関数とする．
次の命題は，互いに同値である．
- $f$はルベーグ可測である．
- 任意の$a\in \mathbb{R}$に対して
\[ \{ x\in \mathbb{R}^d\mid f(x)<a\} \in \mathcal{M}\] - 任意の$a\in \mathbb{R}$に対して
\[ \{ x\in \mathbb{R}^d\mid f(x)\ge a\} \in \mathcal{M}\] - 任意の$a\in \mathbb{R}$に対して
\[ \{ x\in \mathbb{R}^d\mid f(x)\le a\} \in \mathcal{M}\]
つまり，ルベーグ可測関数は，$\mathbb{R}$上の任意の区間の逆像がルベーグ可測である関数のことである．
ルベーグ可測関数の例を見ていこう．
連続関数$f:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$はルベーグ可測である．
ルベーグ可測でない関数には，次のようなものがある．
$A\subset \mathbb{R}^d$をルベーグ可測でない集合とする．
次のように定まる関数
\[ f:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}};x\mapsto \begin{cases}1&(x\in A)\\ 0&(x\not\in A)\end{cases}\]
はルベーグ可測でない．
ルベーグ可測関数の性質を見ていこう．
以下，$f,g$をルベーグ可測関数とし，$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$をルベーグ可測関数列とする．
\[ \{ x\in \mathbb{R}^d\mid f(x)<g(x)\} \in \mathcal{M}\]
$\varphi :\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$を関数とする．
$f(x)=\varphi (x)\,\mathrm{a.e.}\,x$であるとき，$\varphi$はルベーグ可測である．
$\alpha \in \mathbb{R}$とする．
- 関数$|f|^{\alpha}:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$はルベーグ可測である．
- 関数$\alpha +f:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$はルベーグ可測である．
- 関数$\alpha f:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$はルベーグ可測である．
- 関数$f+g:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$が定まるとき，これはルベーグ可測である．
- 関数$fg:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$はルベーグ可測である．
- 関数$\displaystyle \sup _{n\in \mathbb{N}}f_n:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$はルベーグ可測である．
- 関数$\displaystyle \inf _{n\in \mathbb{N}}f_n:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$はルベーグ可測である．
- 関数$\displaystyle \limsup _{n\to \infty}f_n:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$はルベーグ可測である．
- 関数$\displaystyle \liminf _{n\to \infty}f_n:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$はルベーグ可測である．
- 関数$\displaystyle \lim _{n\to \infty}f_n:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$が定まるとき，これはルベーグ可測である．
2.2. 単関数
ルベーグ積分を前述のように定めようとするとき，まずは$f$の像が有限集合であるような，ルベーグ可測関数を考えることが自然である．
$f:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$を関数とする．
$f(\mathbb{R}^d)$が有限集合であるとき，$f$を単関数という．
単関数の最も代表的な例が，定義関数である．
$A\subset \mathbb{R}^d$とする．
関数
\[ \chi _A:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}};x\mapsto \begin{cases}1&(x\in A)\\ 0&(x\not\in A)\end{cases}\]
を$A$の定義関数(または指示関数)といい，$\chi _A$で表す．また，$A$を$\chi _A$の台という．
また，次の概念を定義しておく．
$A_1,A_2,\dots ,A_n\in \mathcal{M}$はどの2つも互いに交わらないとする．
$\displaystyle \bigcup _{i=1}^nA_i=\mathbb{R}^d$であるとき，$A_1,A_2,\dots ,A_n$を$\mathbb{R}^d$の可測分割という．
単関数の性質を見ていこう．
- ルベーグ可測集合の定義関数はルベーグ可測である．
- $f:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$がルベーグ可測単関数であるための必要十分条件は，$\mathbb{R}^d$のある可測分割$A_1,A_2,\dots ,A_n$とある相異なる$\alpha _1,\alpha _2,\dots ,\alpha _n\in \mathbb{R}$が存在して，任意の$x\in \mathbb{R}^d$に対して
\[ f(x)=\sum _{i=1}^n\alpha _i\chi _{A_i}(x)\]
となることである． - $f,g:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$を単関数とする．
- $f+g$が定まるとき，これは単関数である．
- $fg$は単関数である．
特に，次の定理は重要である．
$f:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$を非負値ルベーグ可測関数とする．
ある単調増加な非負実数値ルベーグ可測単関数列$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$が存在して
\[ f_n\uparrow f\quad (n\to \infty )\]
となる．
2.3. 非負実数値ルベーグ可測単関数のルベーグ積分
いよいよルベーグ積分を定義する．
まず，非負実数値ルベーグ可測単関数に対して，ルベーグ積分を定義する．
以下，$f,g:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$を非負実数値ルベーグ可測単関数とする．
ルベーグ可測単関数は定義関数を用いて表示することができる．具体的には，$\mathbb{R}^d$のある可測分割$A_1,A_2,\dots ,A_n$とある相異なる$\alpha _1,\alpha _2,\dots ,\alpha _n\in \mathbb{R}$が存在して，任意の$x\in \mathbb{R}^d$に対して
\[ f(x)=\sum _{i=1}^n\alpha _i\chi _{A_i}(x)\]
となるのであった．
$f$の像の最も細かい分割は$\{ a_1\} ,\{ a_2\} ,\dots ,\{ a_n\}$で与えられる．このとき，$f$のルベーグ積分は，リーマン積分の自然な拡張として，次の値によって定めたい．
\[ \sum _{i=1}^n\alpha _i\mu (f^{-1}\{ a_i\} )=\sum _{i=1}^n\alpha _i\mu (A_i)\quad \cdots (\ast )\]
しかし，これには問題がある．というのも，ルベーグ可測単関数の定義関数による表示は，一意性を満たさない．
すなわち，どのような表示に対しても，$(\ast )$が不変であることを確かめなければならない．
$A_1,A_2,\dots ,A_n\in \mathcal{M}$と$B_1,B_2,\dots ,B_m\in \mathcal{M}$を$\mathbb{R}^d$の可測分割とし，$\alpha _1,\alpha _2,\dots ,\alpha _n,\beta _1,\beta _2,\dots ,\beta _m$を相異なる非負実数とする．
任意の$x\in \mathbb{R}^d$に対して
\[ \sum _{i=1}^n\alpha _i\chi _{A_i}(x)=\sum _{j=1}^m\beta _j\chi _{B_j}(x)\]
ならば
\[ \sum _{i=1}^n\alpha _i\mu (A_i)=\sum _{j=1}^m\beta _j\mu (B_j)\]
これによって，非負実数値ルベーグ可測単関数のルベーグ積分を，次のように定めることができる．
$A_1,A_2,\dots ,A_n\in \mathcal{M}$を$\mathbb{R}^d$の可測分割とし，ある相異なる非負実数$\alpha _1,\alpha _2,\dots ,\alpha _n$が存在して，任意の$x\in \mathbb{R}^d$に対して
\[ f(x)=\sum _{i=1}^n\alpha _i\chi _{A_i}(x)\]
となるとする．
\[ \sum _{i=1}^n\alpha _i\mu (A_i)\]
を$f$のルベーグ積分といい，$\displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx$など3で表す．
非負実数値ルベーグ可測単関数のルベーグ積分の性質を見ていこう．
- $\displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx\ge 0$
- $\displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx+\int _{\mathbb{R}^d}g(x)\,dx$
- 任意の$\alpha \in \mathbb{R}$に対して，
$\displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx$ - 任意の$x\in \mathbb{R}^d$に対して，$f(x)\le g(x)$が成り立つならば，
$\displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}\alpha f(x)\,dx\le \int _{\mathbb{R}^d}\alpha g(x)\,dx$
2.4. 非負値ルベーグ可測関数のルベーグ積分
次に，非負実数値ルベーグ可測単関数のルベーグ積分を利用して，非負値ルベーグ可測関数のルベーグ積分を定義する．
以下，$f,g:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$を非負値ルベーグ可測関数とする．
非負値ルベーグ可測関数は，非負実数値ルベーグ可測単関数の極限として表現できる．具体的には，ある単調増加な非負実数値ルベーグ可測単関数列$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$が存在して
\[ f_n\uparrow f\quad (n\to \infty )\]
となる．
ルベーグ積分を考える利点の1つは，リーマン積分の拡張であるが，極限と積分の順序交換ができるための条件が，より明確になるという利点もある．
そこで，非負値ルベーグ可測関数のルベーグ積分を，非負実数値ルベーグ可測単関数のルベーグ積分の極限として，次のように定義してみよう．
\[ \lim _{n\to \infty}\int _{\mathbb{R}^d}f_n(x)\,dx\quad \cdots (\ast \ast )\]
非負実数値ルベーグ可測単関数のルベーグ積分の単調性より，$\left\{ \displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}f_n(x)\,dx\right\} _{n=1}^{\infty}$は単調増加であるから，極限が存在することに注意しよう．
しかし，これには問題がある．というのも，非負値ルベーグ可測関数の，非負実数値ルベーグ可測単関数の極限による表示は，一意性を満たさない．
すなわち，どのような表示に対しても，$(\ast \ast )$が不変であることを確かめなければならない．
$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty},\{ g_n\} _{n=1}^{\infty}$を単調増加な非負実数値ルベーグ可測単関数列とし
\[ f_n\uparrow f\quad (n\to \infty )\]
を満たすとする．
このとき，次の等式が成り立つ．
\[ \lim _{n\to \infty}\int _{\mathbb{R}^d}f_n(x)\,dx=\lim _{n\to \infty}\int _{\mathbb{R}^d}g_n(x)\,dx\]
これによって，非負値ルベーグ可測関数のルベーグ積分を，次のように定めることができる．
$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$を単調増加な非負実数値ルベーグ可測単関数列とし
\[ f_n\uparrow f\quad (n\to \infty )\]
を満たすとする．
\[ \lim _{n\to \infty}\int _{\mathbb{R}^d}f_n(x)\,dx\]
を$f$のルベーグ積分といい，$\displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx$などで表す．
特に，$f$が非負実数値ルベーグ可測単関数の場合，任意の$n\in \mathbb{N}$に対して，$f_n=f$とすることで，定義—における$f$のルベーグ積分が，定義—におけるルベーグ積分と一致することが分かる．
非負値ルベーグ可測関数のルベーグ積分についても同様に，次の性質が成り立つ．
- $\displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx\ge 0$
- $\displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx+\int _{\mathbb{R}^d}g(x)\,dx$
- 任意の$\alpha \in \mathbb{R}$に対して，
$\displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx$ - 任意の$x\in \mathbb{R}^d$に対して，$f(x)\le g(x)$が成り立つならば，
$\displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}\alpha f(x)\,dx\le \int _{\mathbb{R}^d}\alpha g(x)\,dx$
さらに，次の性質が成り立つ．
- $f(x)=g(x)\,\mathrm{a.e.}\,x$ならば
\[ \int _{\mathbb{R}^d}\alpha f(x)\,dx=\int _{\mathbb{R}^d}\alpha g(x)\,dx\] - $\displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}\alpha f(x)\,dx<\infty$ならば
\[ f(x)<\infty \,\mathrm{a.e.}\,x\]
特に，積分と極限の交換について，次の命題が成り立つ．
$\{ f_n\} _{n=1}^{\infty}$を単調増加な非負実数値ルベーグ可測関数列とする．
\[ \lim _{n\to \infty}\int _{\mathbb{R}^d}f_n(x)\,dx=\int _{\mathbb{R}^d}\lim _{n\to \infty}f_n(x)\,dx\]
2.5. ルベーグ可測関数のルベーグ積分
以下，$f,g:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$をルベーグ可測関数とする．
一般のルベーグ可測関数のルベーグ積分を，非負値ルベーグ可測関数のルベーグ積分を用いて定義してみよう．
- $f^{\pm}:\mathbb{R}^d\to \overline{\mathbb{R}}$は非負値ルベーグ可測関数である．
- 任意の$x\in \mathbb{R}^d$に対して
\[ f(x)=f^+(x)-f^-(x)\] - 任意の$x\in \mathbb{R}^d$に対して
\[ |f|(x)=f^+(x)+f^-(x)\]
これによって，ルベーグ可測関数のルベーグ積分を，次のように定めることができる．
\[ \int _{\mathbb{R}^d}f^+(x)\,dx-\int _{\mathbb{R}^d}f^-(x)\,dx\]
が定まるとき，これを$f$のルベーグ積分といい，$\displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx$などで表す．
以下，それぞれのルベーグ積分は定義できるものとする．
$\left| \displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx\right| <\infty$であるとき，$f$は可積分であるという．
次の性質は基本的である．
- $f$が可積分であるための必要十分条件は，$\displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}|f(x)|\,dx<\infty$となることである．
- $\displaystyle \left| \int _{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx\right| <\int _{\mathbb{R}^d}|f(x)|\,dx$
- $\displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}|f(x)|\,dx=0$ならば
\[ f(x)=0\,\mathrm{a.e.}\,x\]
- $f(x)=g(x)\,\mathrm{a.e.}\,x$ならば
\[ \int _{\mathbb{R}^d}\alpha f(x)\,dx=\int _{\mathbb{R}^d}\alpha g(x)\,dx\] - $\displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx+\int _{\mathbb{R}^d}g(x)\,dx$
- 任意の$\alpha \in \mathbb{R}$に対して，
$\displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx$ - 任意の$x\in \mathbb{R}^d$に対して，$f(x)\le g(x)$が成り立つならば
\[ \int _{\mathbb{R}^d}\alpha f(x)\,dx\le \int _{\mathbb{R}^d}\alpha g(x)\,dx\]
特に，$f$のルベーグ積分は，零集合上での値に依らず定まることが分かる．
2.6. 複素数値関数のルベーグ積分
複素数値関数についても，ルベーグ可測関数が定まり，それに対してルベーグ積分を定義することができる．
$f:\mathbb{R}^d\to \mathbb{C}$を関数とし，関数$u,v:\mathbb{R}^d\to \mathbb{R}$を次のように定める．
\[ u(x)=\operatorname{Re}(f(x))\quad (x\in \mathbb{R}^d)\\ v(x)=\operatorname{Im}(f(x))\quad (x\in \mathbb{R}^d)\]
- $u,v$がルベーグ可測であるとき，$f$はルベーグ可測であるといい，$f$をルベーグ可測関数という．
- $u,v$が可積分であるとき，$f$は可積分であるという．
$f:\mathbb{R}^d\to \mathbb{C}$を可積分関数とし，関数$u,v:\mathbb{R}^d\to \mathbb{R}$を次のように定める．
\[ u(x)=\operatorname{Re}(f(x))\quad (x\in \mathbb{R}^d)\\ v(x)=\operatorname{Im}(f(x))\quad (x\in \mathbb{R}^d)\]
\[ \int _{\mathbb{R}^d}u(x)\,dx+i\int _{\mathbb{R}^d}v(x)\,dx\]
を$f$のルベーグ積分といい，$\displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx$などで表す．
複素数値関数のルベーグ積分は，可積分関数に対してのみ定義される．
以下，$f,g:\mathbb{R}^d\to \mathbb{C}$を可積分関数とする．
- $f$が可積分であるための必要十分条件は，$|f|$が可積分となることである．
- $\displaystyle \left| \int _{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx\right| <\int _{\mathbb{R}^d}|f(x)|\,dx$
- $f(x)=g(x)\,\mathrm{a.e.}\,x$ならば
\[ \int _{\mathbb{R}^d}\alpha f(x)\,dx=\int _{\mathbb{R}^d}\alpha g(x)\,dx\] - $\displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx+\int _{\mathbb{R}^d}g(x)\,dx$
- 任意の$\alpha \in \mathbb{R}$に対して，
$\displaystyle \int _{\mathbb{R}^d}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx$