ルベーグ積分論

$\mathcal{F}$が次の3つの条件

• $\emptyset \in \mathcal{F}$
• 任意の$A\in \mathcal{F}$に対して，$A^c\in \mathcal{F}$
• (有限加法性)
  任意の$A,B\in \mathcal{F}$に対して，$U\cup V\in \mathcal{F}$

を満たすとき，$\mathcal{F}$を$X$の有限加法族という．

$\mathcal{F}$が次の3つの条件

• $\emptyset \in \mathcal{F}$
• 任意の$A\in \mathcal{F}$に対して，$A^c\in \mathcal{F}$
• (完全加法性)
  $\mathcal{F}$の元の任意の列$\{ A_n\} _{n=1}^{\infty}$に対して，$\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty}A_n\in \mathcal{F}$

を満たすとき，$\mathcal{F}$を$X$の完全加法族といい，$(X,\mathcal{F})$を可測空間という．

完全加法族は有限加法族である．

$\mathcal{F}$を$X$の有限加法族とする．

• $X\in \mathcal{F}$
• 任意の$A,B\in \mathcal{F}$に対して，$A\cap B\in \mathcal{F}$
• 任意の$A_1,A_2,\dots ,A_n\in \mathcal{F}$に対して，$\displaystyle \bigcup _{i=1}^nA_i\in \mathcal{F}$
• 任意の$A_1,A_2,\dots ,A_n\in \mathcal{F}$に対して，$\displaystyle \bigcap _{i=1}^nA_i\in \mathcal{F}$

$\mathcal{F}$を$X$の完全加法族とする．

$\mathcal{F}$の元の任意の列$\{ A_n\} _{n=1}^{\infty}$に対して，$\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty}A_i\in \mathcal{F}$

$\mathcal{F}$を$X$の有限加法族とする．

$\mathcal{F}$が$X$の完全加法族であるための必要十分条件は，$\mathcal{F}$の互いに交わらない元の任意の列$\{ A_n\} _{n=1}^{\infty}$に対して，$\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty}A_n\in \mathcal{F}$となることである．

$I=\displaystyle \prod _{i=1}^d(a_i,b_i)$を$\mathbb{R}^d$の開区間とする．

$I$の体積$|I|$を次のように定める．
\[ |I|=\begin{cases}\displaystyle \prod _{i=1}^d(b_i-a_i)&({}^{\forall}i\in \{ 1,2,\dots ,n\} ,\,a_i\neq b_i)\\ 0&({}^{\exist}i\in \{ 1,2,\dots ,d\} \,\mathrm{s.t.}\,a_i=b_i)\end{cases}\]

$I$を$\mathbb{R}^d$の開区間とする．

• $\mathbb{R}^d$のある開区間$I_1,I_2,\dots ,I_n$が存在して
  \[ I\subset \bigcup _{i=1}^nI_i\]
  となるとき
  \[ |I|\le \sum _{i=1}^N|I_i|\]
• $\mathbb{R}^d$の開区間のある列$\{ I_n\} _{n=1}^{\infty}$が存在して
  \[ I\subset \bigcup _{n=1}^{\infty}I_n\]
  となるとき
  \[ |I|\le \sum _{n=1}^{\infty}|I_n|\]

$A\subset \mathbb{R}^d$とする．

\[ \inf \left\{ \sum _{n=1}^{\infty}|I_i|\in \overline{\mathbb{R}}\,\middle| \,\text{$\{ I_n\} _{n=1}^{\infty}$は$\mathbb{R}^d$の開区間の列で$A\subset \displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty}I_i$を満たすもの}\right\} \]
を$A$の外測度といい，$\bar{\mu}(A)$で表す．

$I$を$\mathbb{R}^d$の開区間とする．

\[ \bar{\mu}(I)=|I|\]

• (非負性)
  任意の$A\subset \mathbb{R}^d$に対して
  \[ 0\le \bar{\mu}(A)\le \infty \]
• $\bar{\mu}(\emptyset )=0$
• (単調性)
  任意の$A,B\subset \mathbb{R}^d$に対して，$A\subset B$ならば$\bar{\mu}(A)\le \bar{\mu}(B)$
• (劣加法性)
  任意の$\mathbb{R}^d$の部分集合列$\{ A_n\} _{n=1}^{\infty}$に対して
  \[ \bar{\mu}\left( \bigcup _{n=1}^{\infty}A_n\right) \le \sum _{n=1}^{\infty}\bar{\mu}(A_n)\]
  特に，任意の$A,B\subset \mathbb{R}^d$に対して
  \[ \bar{\mu}(A\cup B)\le \bar{\mu}(A)+\bar{\mu}(B)\]

$A\subset \mathbb{R}^d$とする．

• $A$がカラテオドリの条件を満たす，すなわち任意の$T\subset \mathbb{R}^d$に対して
  \[ \bar{\mu}(T)=\bar{\mu}(T\cap A)+\bar{\mu}(T\cap A^c)\]
  が成り立つとき，$A$をルベーグ可測集合という．
• $A$がルベーグ可測集合であり，$\bar{\mu}(A)=0$であるとき，$A$を零集合という．

• $\mathbb{R}^d$の開区間はルベーグ可測である．
• $\mathbb{R}^d$の開集合はルベーグ可測である．
• $\mathbb{R}^d$の閉集合はルベーグ可測である．
• $\mathbb{R}^d$の高々可算な部分集合は零集合である．

カントール集合
\[ C\coloneqq \left\{ x\in [0,1]\,\middle| \,\text{$\{ 0,1\}$の元の列$\{ \varepsilon _n\} _{n=1}^{\infty}$が存在して，$x=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}\frac{2\varepsilon _n}{3^n}$}\right\} \]
は非可算集合であり，零集合である．

$\mathbb{R}$のハメル基底を用いて，$\mathbb{R}$の非ルベーグ可測集合を構成できる．

$\mathbb{R}$上の二項関係$\sim$を次のように定める．
\[ x\sim y\iff x-y\in \mathbb{Q}\quad (x,y\in \mathbb{R})\]
このとき，$\sim$は$\mathbb{R}$上の同値関係であり，任意の$[v]\in \mathbb{R}/\sim$に対して，ある$u\in [0,1]$が存在して，$u\in [v]$となる．各同値類に対して，このような代表元を1つとり，これらの代表元全体からなる集合を$V$とすると，$V$はルベーグ可測でない．

$V$はヴィタリ集合と呼ばれている．

• $\mathcal{M}$は完全加法族である．
• $\mathcal{M}$の互いに交わらない元の任意の列$\{ A_n\} _{n=1}^{\infty}$に対して
  \[ \bar{\mu}\left( \bigcup _{n=1}^{\infty}A_n\right) =\sum _{n=1}^{\infty}\bar{\mu}(A_n)\]

ルベーグ外測度$\bar{\mu}$の$\mathcal{M}$への制限$\bar{\mu}|_{\mathcal{M}}$をルベーグ測度といい，$\mu$で表す．

• (非負性)
  任意の$A\in \mathcal{M}$に対して
  \[ 0\le \mu (A)\le \infty \]
• $\mu (\emptyset )=0$
• (単調性)
  任意の$A,B\in \mathcal{M}$に対して，$A\subset B$ならば$\mu (A)\le \mu (B)$
• (完全加法性)
  $\mathcal{M}$の互いに交わらない元の任意の列$\{ A_n\} _{n=1}^{\infty}$に対して
  \[ \mu \left( \bigcup _{n=1}^{\infty}A_n\right) =\sum _{n=1}^{\infty}\mu (A_n)\]
  特に，任意の$A,B\in \mathcal{M}$に対して，$A\cap B=\emptyset$ならば
  \[ \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)\]

$(X,\mathcal{M})$を可測空間とし，$\mu :\mathcal{M}\to \overline{\mathbb{R}}$を写像とする．

$\mu$が次の3つの条件

• (非負性)
  任意の$A\in \mathcal{M}$に対して，$0\le \mu (A)\le \infty$
• $\mu (\emptyset )=0$
• (完全加法性)
  $\mathcal{M}$の互いに交わらない元の任意の列$\{ A_n\} _{n=1}^{\infty}$に対して
  \[ \mu \left( \bigcup _{n=1}^{\infty}A_n\right) =\sum _{n=1}^{\infty}\mu (A_n)\]

を満たすとき，$(X,\mathcal{M},\mu )$を測度空間といい，$\mu$を測度という．

$(X,\mathcal{M},\mu )$を測度空間とする．

任意の$A,B\in \mathcal{M}$に対して，$A\cap B=\emptyset$ならば
\[ \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)\]

$(X,\mathcal{M},\mu )$を測度空間とする．

• 任意の$A,B\in \mathcal{M}$に対して，$A\subset B$ならば$\mu (A)\le \mu (B)$
  特に，$\mu (A)<\infty$ならば，$\mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A)$
• $\mathcal{M}$の元の任意の列$\{ A_n\} _{n=1}^{\infty}$に対して
  \[ \mu \left( \bigcup _{n=1}^{\infty}A_n\right) \le \sum _{n=1}^{\infty}\mu (A_n)\]

$\{ A_n\} _{n=1}^{\infty}$を$\mathcal{M}$の元の列とする．

• $\{ A_n\} _{n=1}^{\infty}$が単調増加であるとき
  \[ \mu \left( \bigcup _{n=1}^{\infty}A_n\right) =\lim _{n\to \infty}\mu (A_n)\]
• $\{ A_n\} _{n=1}^{\infty}$が単調減少であり，$\mu (A_1)<\infty$であるとき
  \[ \mu \left( \bigcap _{n=1}^{\infty}A_n\right) =\lim _{n\to \infty}\mu (A_n)\]

$A\in \mathcal{M}$とする．

• 任意の$x\in \mathbb{R}^d$に対して，$A+x\in \mathcal{M}$であり
  \[ \mu (A+x)=\mu (A)\]
• 任意の$p\in \mathbb{R}\setminus \{ 0\}$に対して，$pA\in \mathcal{M}$であり
  \[ \mu (pA)=|p|^d\mu (A)\]

零集合の部分集合はルベーグ可測である．

$A\in \mathcal{M}$とする．

任意の$\varepsilon >0$に対して，$\mathbb{R}^d$のある開集合$O$と$\mathbb{R}^d$のある閉集合$F$が存在して，次の3つの条件を満たす．

• $F\subset A\subset O$
• $\mu (O\setminus A)<\varepsilon$
• $\mu (A\setminus F)<\varepsilon$

特に，$\mu (A)<\infty$であるとき，$F$はコンパクト集合としてよい．

任意の$A\in \mathcal{M}$に対して，$\mathbb{R}^d$のある単調減少開集合列$\{ O_n\} _{n=1}^{\infty}$が存在して，次の3つの条件を満たす．

• $\mu (O_1)\le \mu (A)+1$
• $A\subset \displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty}O_n$
• $\mu \left( \displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty}O_n\setminus A\right) =0$