像と逆像

写像$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$を
\[ f(n)=n^2\qquad (n\in \mathbb{N})\]
により定めるとき，$f(2)=4$であるから，$\{ 2\}$の$f$による像$f(\{ 2\} )$は次のようになる．
\[ f(\{ 2\} )=\{ 4\} \]

写像$g:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$を
\[ g(q)=q+2\qquad (q\in \mathbb{Q})\]
により定めるとき，任意の$n\in \mathbb{Z}$に対して
\[ g(n-2)=n\]
となり，$n-2\in \mathbb{Z}$であるから，$\mathbb{Z}$の$g$による像$g(\mathbb{Z})$は次のようになる．
\[ g(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\]

写像$h:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$を
\[ h(n)=2n\qquad (n\in \mathbb{Z})\]
により定めるとき，任意の$n\in \mathbb{Z}$に対して$h(n)$は偶数であり，任意の偶数$m$に対して
\[ h\left( \frac{m}{2}\right) =m\]
となり，$\dfrac{m}{2}\in \mathbb{Z}$であるから，$\mathbb{Z}$の$h$による像$h(\mathbb{Z})$は次のようになる．
\[ h(\mathbb{Z})=\{ 2n\mid n\in \mathbb{Z}\} \]

写像$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$を
\[ f(n)=n^2\qquad (n\in \mathbb{N})\]
により定めるとき
\[ f(n)=4\quad すなわち\quad n^2=4\]
を満たす$n\in \mathbb{N}$は$n=2$のみであるから，$\{ 4\}$の$f$による逆像$f^{-1}(\{ 4\} )$は次のようになる．
\[ f^{-1}(\{ 4\} )=\{ 2\} \]

写像$g:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$を
\[ g(q)=q+2\qquad (q\in \mathbb{Q})\]
により定めるとき，$g(q)\in \mathbb{Z}$となるとき，ある$n\in \mathbb{Z}$が存在して
\[ g(q)=n\quad すなわち\quad q=n-2\]
となり，$n-2\in \mathbb{Z}$であるから，$q\in \mathbb{Z}$となる．よって，$\mathbb{Z}$の$g$による逆像$g^{-1}(\mathbb{Z})$は次のようになる．
\[ g^{-1}(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\]

$X=\{ 1,2,3\}$，$A_1=\{ 1,2\} ,A_2=\{ 2,3\}$とする．
このとき，$A_1,A_2$は$X$の部分集合であり
\[ A_1\cap A_2=\{ 2\} \]
である．

写像$f:X\to X$を
\[ f(x)=\begin{cases}1&(x=1,3)\\ 2&(x=2)\end{cases}\]
により定めると
\[ \begin{aligned}f(A_1)=f(A_2)=&\{ 1,2\} \\ f(A_1\cap A_2)=&\{ 2\} \end{aligned}\]
であるから
\[ f(A_1\cap A_2)\subset f(A_1)\cap f(A_2)\]
は成り立つが
\[ f(A_1)\cap f(A_2)\subset f(A_1\cap A_2)\]
は成り立たない．

$X=\{ 1,2,3\}$，$A=\{ 1,2\}$とする．
このとき，$A$は$X$の部分集合であり
\[ X\setminus A=\{ 1\} \]
である．

写像$f:X\to X$を
\[ f(x)=\begin{cases}1&(x=1,3)\\ 2&(x=2)\end{cases}\]
により定めると
\[ \begin{aligned}f(X)=f(A)=&\{ 1,2\} \\ f(X\setminus A)=&\{ 1\} \end{aligned}\]
であるから
\[ f(X)\setminus f(A)\subset f(X\setminus A)\]
は成り立つが
\[ f(X\setminus A)\subset f(X)\setminus f(A)\]
は成り立たない．