写像の定義とその意義について徹底的に解説する．
写像
$X,Y$を集合とする．
任意の$x\in X$に対して，ある$y\in Y$をただ一つ対応させるという規則を$f$とするとき
\[ y=f(x)\]
で表し，$f$を$X$から$Y$への写像(mapping, map)という．また，$X$を$f$の定義域(domain of definition)(または始域，始集合，域，領域(domain))，$Y$を$f$の終域(または余域)(codomain)(または終集合(target set))という．
ただし，空集合から空集合への写像の存在は認める．
写像は図1のように，集合の元を別の集合の元に対応させる規則と捉えることができる．
定義1は素朴集合論のよくある写像の定義であるが，｢対応させる｣という表現が不明確である．そこで，写像を次のように厳密に定義することもある．
$X$を集合，$Y$を空でない集合，$f$を$X\times Y$の部分集合とする．
任意の$x\in X$に対して，ある$y\in Y$がただ1つ存在して，$(x,y)\in f$となるとき，$f$を$X$から$Y$への写像(mapping, map)といい，$f:X\to Y$で表し，$y$を$f(x)$で表す．
また，$X$を$f$の定義域(domain of definition)(または始域，始集合，域，領域(domain))といい，$Y$を$f$の終域(または余域)(codomain)(または終集合(target set))という．
ただし，空集合から空集合への写像の存在は認める．
圏論の立場では，写像を次のように定義することもできる．これは定義2とほとんど同じである．
$X$を集合，$Y$を空でない集合，$F$を$X\times Y$の部分集合とする．
次の2つの条件
- 任意の$x\in X$に対して，ある$y\in Y$が存在して，$(x,y)\in F$となる．
- 任意の$x\in X$と任意の$y_1,y_2\in Y$に対して，$(x,y_1)\in F$かつ$(x,y_2)\in F$ならば，$y_1=y_2$である．
を満たすとき，集合の組$f\coloneqq (X,Y,F)$を$X$から$Y$への写像(mapping, map)といい，$f:X\to Y$で表し，$y$を$f(x)$で表す．
また，$X$を$f$の定義域(domain of definition)(または始域，始集合，域，領域(domain))といい，$Y$を$f$の終域(または余域)(codomain)(または終集合(target set))という．
ただし，空集合から空集合への写像の存在は認める．
要するに，写像はその定義域と終域の直積の部分集合(二項関係)のことなのである．
$X,Y$を集合，$f:X\to Y$を写像とする．ある$x\in X,y\in Y$に対して
\[ y=f(x)\]
が成り立つとき，$x$は$f$によって$y$に写されるといい，$y$を$x$における$f$の値(value)(または像(image))という．
ここで注意が必要なのは，写像に対して定義される｢定義域｣，｢値域｣，｢始域｣，｢終域｣の概念の違いである．これについては次の記事で詳しく解説されているため，参照することを推奨する．
写像の相等関係は，次のように定義する．
$X$を集合，$Y$を空でない集合，$f,g:X\to Y$を写像とする．
任意の$x\in X$に対して，$f(x)=g(x)$であるとき，$f$と$g$は等しい(equal)といい，$f=g$で表す．
写像は重要な数学的対象であるため，写像を元とする集合を考えることはよくある．
$X$を集合，$Y$を空でない集合とする．
$X$から$Y$への写像全体の集合を$X$から$Y$への配置集合(exponential set)といい，$Y^X$で表す．すなわち
\[ Y^X\coloneqq \{ f:X\to Y\} \]
写像の例
まず，名前が付いている重要な写像の例をいくつか紹介する．
$X$を集合，$A$を$X$の部分集合とする．
\[ f(x)=x\quad (x\in A)\]
により定まる写像$f:A\to X$を包含写像(inclusion mapping, inclusion function)(または自然な単射(natural injection)，標準単射(canonical injection))という．
$\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$である．
\[ f(x)=x\quad (x\in \mathbb{Q})\]
により定まる写像$f:\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$は包含写像である．
$X$を集合とする．
\[ f(x)=x\quad (x\in X)\]
により定まる写像$f:X\to X$を$X$の恒等写像(identity mapping, identity function)(または恒等変換(identity transformation)，恒等作用素(identity operator))といい，$\mathrm{id}_X$で表す．
以下の式
\[ f(n)=n\quad (n\in \mathbb{Z})\]
により定まる写像$f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}$の恒等写像である．
$X$を集合，$Y$を空でない集合とし，$A$を$X$の部分集合，$f:X\to Y$を写像とする．
\[ g(x)=f(x)\quad (x\in A)\]
により定まる写像$g:A\to Y$を$f$の$A$への制限(restriction)(または制限写像(restriction mapping)，縮小)といい，$f|_A$で表す．
また，$f$を$g$の延長(continuation)(または延長写像(continuation mapping)，拡大)という．
例2の写像$f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$に対して
\[ g(n)=f(n)\quad (n\in \mathbb{N})\]
により定まる写像$g:\mathbb{N}\to \mathbb{Z}$は$f$の$\mathbb{N}$への制限である．
$X$を集合，$Y$を空でない集合，$c\in Y$とする．
\[ f(x)=c\quad (x\in X)\]
により定まる写像$f:X\to Y$を定値写像(constant mapping)(または定数関数(constant function))という．
$X=\{ 1,2,3,4,5\}$とする．
\[ f(x)=1\quad (x\in X)\]
により定まる写像$f:X\to X$は定値写像である．
$X$を集合，$A$を$X$の部分集合，$Y={ 0,1}$とする．
\[ f(x)=\begin{cases}1 & (x\in A)\\0 & (x\in X\setminus A)\end{cases}\]
により定まる写像$f:X\to Y$を$A$の定義関数(または特性関数)(characteristic function)(または指示関数(indicator function))という．
$\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$である．
\[ f(x)=\begin{cases}1&(x\in \mathbb{Q})\\ 0&(x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\end{cases}\]
により定まる写像$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$は$\mathbb{Q}$の定義関数である．
次に，より具体的な写像の例を紹介する．
- $n\in \mathbb{N}$とし，$\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$を$n$次実正則行列全体の集合とする．
$A\in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$に$A$の行列式$\det A$を対応させる$\det :\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$は写像である． - $F$を$C^{\infty}$級の実関数全体の集合とする．
$f\in F$に$f$の導関数$f^{\prime}$を対応させる$(\cdot )^{\prime}:F\to F$は写像である． - $z\in \mathbb{C}$に$z$の実部$\operatorname{Re}z$を対応させる$\operatorname{Re}:\mathbb{C}\to \mathbb{R}$は写像である．
- $z\in \mathbb{C}$に$z$の虚部$\operatorname{Im}z$を対応させる$\operatorname{Im}:\mathbb{C}\to \mathbb{R}$は写像である．
空集合と写像
定義1，定義2，定義3にあるように，空でない集合から空集合への写像は存在しない．
| 定義域 | 終域 | 写像の存在性 |
|---|---|---|
| 空でない集合 | 空でない集合 | 存在する |
| 空でない集合 | 空集合 | 存在しない |
| 空集合 | 空でない集合 | 存在する |
| 空集合 | 空集合 | 存在する |
空集合を定義域とする写像を空写像(empty mapping)(または空関数(empty function))という．
$X$を集合，$Y$を空でない集合とする．
$f:X\to Y$が定値写像であることを定義10のように定めるとき，空写像は定値写像でない．
一方，$f:X\to Y$が定値写像であることを，任意の$x\in X$と任意の$y\in Y$に対して
\[ f(x)=f(y)\]
が成り立つことと定めるとき，空写像は定値写像になる．
定値写像の定義はこの2つの流儀があるため，空写像を定値写像とするかどうかは，定値写像の定義による．