2026年度東大理系数学第1問

問題

(1) 関数$f(\theta )=\sin \theta -\theta +\dfrac{\theta ^3}{6}$の区間$-1\leqq \theta \leqq 1$における最大値$M$および最小値$m$を求めよ．
(2) (1)で定めた$M$に対し，次の不等式を示せ．
\[ \frac{7}{8}\pi \leqq \int _0^{2\pi}\sin (\cos x-x)\,dx\leqq \frac{7}{8}\pi +4M\]

(2026年度東京大学前期理系第1問)

当記事で紹介する解答は東京大学が示した解答ではありません．

(1)は典型的な問題．複数回微分して，増減表を描いて処理することで解ける．
(2)は本問の山場．(1)をきちんと利用することに加え，被積分関数の$\sin (\cos x-x)$をどのように処理するかがポイントである．

まず，(1)について考えてみよう．(1)は，定義域が与えられた関数の最大値と最小値を求める問題である．

【大学入試】最大値･最小値の解法

平方完成をする:2乗の形をつくり，任意の実数$r$に対して$r^2\geqq 0$であることを利用
→等号成立条件は$r=0$
相加相乗平均の不等式:任意の$a,b>0$に対して$a+b\geqq 2\sqrt{ab}$であることを利用
→等号成立条件は$a=b$
図形的処理:方程式を座標平面(空間)上に図示
→共有点の存在範囲を考える
増減表を書く:微分して増減表を書く(異なる種類の関数が複合されている場合は有効，文系数学で多項式以外の最大･最小→微分は用いない)
→端点と極値を調べる
コーシー･シュワルツの不等式:任意の実数$a,b,c,d$に対して$(ac+bd)^2\leqq (a^2+b^2)(c^2+d^2)$(ベクトルの内積は距離の積以下である)であることを利用
→等号成立条件は$ad=bc$(ベクトルが平行)

$f(\theta )$は多項式関数と三角関数の和によって定義されているため，この場合は，微分して増減表を書くことになる．

\[ \begin{aligned}f^{\prime}(\theta )=&\cos \theta -1+\frac{\theta ^2}{2}\\ f^{\prime \prime}(\theta )=&-\sin \theta +\theta \\ f^{\prime \prime \prime}(\theta )=&-\cos \theta +1\end{aligned}\]

3回微分まで計算することで，多項式関数は定数になり，不等式評価しやすい形になった．

$-1\leqq \theta \leqq 1$のとき
\[ f^{\prime \prime \prime}(\theta )=-\cos \theta +1>0\]
であるから，$f^{\prime \prime}(\theta )$は(狭義)単調増加である．

\[ \begin{aligned}f^{\prime \prime}(-1)=&\sin 1-1<0\\ f^{\prime \prime}(1)=&-\sin 1+1>0\end{aligned}\]
であるから，$f^{\prime \prime}(\theta )$が(狭義)単調増加であることと，中間値の定理より，ある$-1<c<1$がただ1つ存在して，$f^{\prime \prime}(c)=0$となる．
冷静に考えると
\[ f^{\prime \prime}(0)=0\]
であるから，このような$c$は$0$であり，ここまでの議論をする必要はない．

以上より，$f^{\prime}(\theta )$の増減表は次のようになる．

$\theta$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$
$f^{\prime \prime}(\theta )$	$\sin 1-1$	$-$	$0$	$+$	$-\sin 1+1$
$f^{\prime}(\theta )$	$\cos 1-\dfrac{1}{2}$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$\cos 1-\dfrac{1}{2}$

よって，$-1\leqq \theta \leqq 1$において，$f^{\prime}(\theta )$は$\theta =0$で極小値$0$をとり，$f^{\prime}(\theta )\geqq 0$が成り立つ．

したがって，$f(\theta )$は(広義)単調増加であり，$\theta =-1$のときに最小となり，$\theta =1$のときに最大となる．
最小値は
\[ m=f(-1)=-\sin 1+\frac{5}{6}\]
であり，最大値は
\[ M=f(1)=\sin 1-\frac{5}{6}\]
である．

ここまでの内容をまとめると，次のようになる．

(1)の解答

難易度:★★☆☆☆

$f(\theta )=\sin \theta -\theta +\dfrac{\theta ^3}{6}$であるから
\[ \begin{aligned}f^{\prime}(\theta )=&\cos \theta -1+\frac{\theta ^2}{2}\\ f^{\prime \prime}(\theta )=&-\sin \theta +\theta \\ f^{\prime \prime \prime}(\theta )=&-\cos \theta +1>0\end{aligned}\]
よって，$f^{\prime \prime}(\theta )$は単調増加である．
$f^{\prime \prime}(0)=0$であるから，$f^{\prime}(\theta )$の増減表は次のようになる．

$\theta$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$
$f^{\prime \prime}(\theta )$		$-$	$0$	$+$
$f^{\prime}(\theta )$		$\searrow$	$0$	$\nearrow$

ゆえに，$f^{\prime}(\theta )\geqq 0$であるから，$f(\theta )$は単調増加であり，$\theta =-1$のときに最小値$m$をとり，$\theta =1$のときに最大値$M$をとる．
したがって
\[ \begin{aligned}{\color{red}m}=&f(-1)={\color{red}-\sin 1+\frac{5}{6}}\\ {\color{red}M}=&f(1)={\color{red}\sin 1-\frac{5}{6}}\end{aligned}\]

【背景知識】テイラー展開

$a$を実数とする．関数$f(x)$が何回でも微分可能であるとき，$a$と$x$の間の実数$c$が存在して
\[ f(x)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n\]
が成り立つ．これをテイラーの定理という．特に$a=0$であるとき，$0<c<|x|$となる実数$c$が存在して
\[ f(x)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}x^n\]
が成り立つ．これをマクローリンの定理という．

テイラーの定理における$\dfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n$を剰余項といい
\[ \lim _{n\to \infty}\dfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n=0\]
が成り立つとき
\[ f(x)=\sum _{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\]
が成り立つ．これを$f(x)$のテイラー展開という．特に$a=0$であるとき
\[ f(x)=\sum _{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\]
となり，これを$f(x)$のマクローリン展開という．

代表的な関数のマクローリン展開の例として
\[ e^x=\sum _{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n\\ \sin x=\sum _{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\ \cos x=\sum _{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\]
がある．本問の(1)は，$\sin \theta$のマクローリン展開の第2項までの和$\theta -\dfrac{1}{6}\theta ^3$が，$\sin \theta$をどの程度近似しているのか，その誤差を考える問題であると言える．

それでは(2)に移ろう．(2)は，定積分を不等式評価する問題のようである．

【大学入試】不等式証明の解法

有名不等式を利用する:相加相乗平均の不等式，コーシー･シュワルツの不等式，三角不等式などの有名不等式を利用する
→有名不等式が使える条件と等号成立条件に注意
平方完成する:2次関数と同様に，$2$乗の形を作る
→実数の$2$乗が$0$以上になることを利用
$(左辺)−(右辺)$を評価する:$(左辺)−(右辺)$を計算し，$0$との大小関係を評価する
→式変形の必要性と十分性に注意
数学的帰納法で示す:漸化式などを利用して数学的帰納法を用いる
→正の整数についての不等式や数列の項の評価に有効
微分して増減表を作る:$(左辺)−(右辺)$を微分し，増減表を書いて極値を求める
→1文字固定での不等式証明の最終手段

このタイプの問題は，定積分を計算することができないか，非常に難しいかのどちらかであることがほとんどである．
そのため，直接計算することは諦めて，(1)を利用する方法について考えたい．

(1)で分かったことを整理しておくと，$-1\leqq \theta \leqq 1$において
\[ m\leqq \sin \theta -\theta +\frac{\theta ^3}{6}\leqq M\]
が成り立つということである．このとき
\[ \begin{aligned}M=&\sin 1-\frac{5}{6}\fallingdotseq \sin \frac{\pi}{3}-\frac{5}{6}\\ =&\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{5}{6}=\frac{3\sqrt{3}-5}{6}\\ \fallingdotseq &\frac{3\cdot 1.73-5}{6}=\frac{0.19}{6}\end{aligned}\]
であるから，$f(\theta )$は$0$に近い値をとることが分かる．
つまり，$\theta -\dfrac{\theta ^3}{6}$は$\sin \theta$の良い近似になっているということである．
\[ \sin \theta \fallingdotseq \theta -\dfrac{\theta ^3}{6}\quad (-1\leqq \theta \leqq 1)\]
被積分関数には$\sin$が含まれているため，これが使えそうな気がするが，(1)から得られる近似には，$-1\leqq \theta \leqq 1$という制限がある．
被積分関数の$\sin$の中身は$\cos x-x$であるため，(1)をそのまま適用することは難しそうである．

$\sin$の中身が$\cos$のみである場合は，$-1\leqq \cos x\leqq 1$であるから，(1)の近似が使えそうである．
そこで，被積分関数に，三角関数の加法定理を適用してみよう．
\[ \begin{aligned}&\int _0^{2\pi}\sin (\cos x-x)\,dx\\ =&\int _0^{2\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx-\int _0^{2\pi}\cos (\cos x)\sin x\,dx\end{aligned}\]
第1項の積分については，(1)の近似を用いることで，不等式評価できそうだが，第2項はそうはいかない．
不等式評価はできないが，よく見ると，直接計算することができる．
\[ \begin{aligned}&\int _0^{2\pi}\cos (\cos x)\sin x\,dx\\ =&-\int _0^{2\pi}\cos (\cos x)(\cos x)^{\prime}\,dx\\ =&-[\sin (\cos x)]_0^{2\pi}=0\end{aligned}\]
つまり，示すべき不等式は，次のようになる．
\[ \frac{7}{8}\pi \leqq \int _0^{2\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx\leqq \frac{7}{8}\pi +4M\]

まず，左側の不等式を示そう．被積分関数を小さく抑えることによって，証明できそうである．
(1)の議論により，$f(\theta )$は単調増加であり，$f(0)=0$であるから，$0\leqq \theta \leqq 1$のとき
\[ 0\leqq f(\theta )=\sin \theta -\theta +\frac{\theta ^3}{6}\leqq M\quad \cdots (\rm A)\]
が成り立つことが分かる．$\rm (A)$の左側の不等式に注目すると
\[ \sin \theta \geqq \theta -\frac{\theta ^3}{6}\]
が成り立つことが分かる．よって，$0\leqq \cos x\leqq 1$のとき，被積分関数を
\[ \sin (\cos x)\cos x\geqq \cos ^2x-\frac{\cos ^4x}{6}\quad \cdots (\rm B)\]
のように，下から評価することができる．

しかし，積分範囲は$0\leqq x\leqq 2\pi$であるから，$0\leqq \cos x\leqq 1$はいつでも成り立つというわけではない．
そこで，三角関数の周期性や，対称性などをうまく利用して，積分範囲を狭めることを考えてみよう．

まず，積分範囲を$0\leqq x\leqq \pi$に狭めることを考える．
\[ \cos (x+\pi )=-\cos x\]
であるから
\[ \begin{aligned}&\sin (\cos (x+\pi ))\cos (x+\pi )\\ =&-\sin (-\cos x)\cos x\\ =&\sin (\cos x)\cos x\end{aligned}\]
よって$x=y+\pi$と置換すると
\[ \begin{aligned}&\int _{\pi}^{2\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx\\ =&\int _0^{\pi}\sin (\cos (y+\pi ))\cos (y+\pi )\,dy\\ =&\int _0^{\pi}\sin (\cos y)\cos y\,dy\end{aligned}\]
したがって
\[ \begin{aligned}&\int _0^{2\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx\\ =&2\int _0^{\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx\end{aligned}\]
を導くことができた．

さらに，積分範囲を$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$に狭めることを考える．
\[ \cos (\pi -x)=-\cos x\]
であるから
\[ \begin{aligned}&\sin (\cos (\pi -x))\cos (\pi -x)\\ =&-\sin (-\cos x)\cos x\\ =&\sin (\cos x)\cos x\end{aligned}\]
よって$x=\pi -y$と置換すると
\[ \begin{aligned}&\int _{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx\\ =&\int _0^{\frac{\pi}{2}}\sin (\cos (\pi -y))\cos (\pi -y)\,dy\\ =&\int _0^{\frac{\pi}{2}}\sin (\cos y)\cos y\,dy\end{aligned}\]
したがって
\[ \begin{aligned}&\int _0^{2\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx\\ =&4\int _0^{\frac{\pi}{2}}\sin (\cos x)\cos x\,dx\end{aligned}\]
を導くことができた．

$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$において，$0\leqq \cos x\leqq 1$であるから，$\rm (B)$より
\[ \begin{aligned}&\int _0^{\frac{\pi}{2}}\sin (\cos x)\cos x\,dx\\ \geqq &\int _0^{\frac{\pi}{2}}\cos ^2x-\frac{1}{6}\cos ^4x\,dx\end{aligned}\]
ここで
\[ \begin{aligned}\cos ^2x=&\frac{1+\cos 2x}{2}\\ \cos ^4x=&\left( \frac{1+\cos 2x}{2}\right) ^2\\ =&\frac{1+2\cos 2x+\cos ^22x}{4}\\ =&\frac{1}{4}+\frac{\cos 2x}{2}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1+\cos 4x}{2}\\ =&\frac{3}{8}+\frac{\cos 2x}{2}+\frac{\cos 4x}{8}\end{aligned}\]
であるから
\[ \begin{aligned}&\cos ^2x-\frac{1}{6}\cos ^4x\\ =&\frac{1}{2}+\frac{\cos 2x}{2}-\frac{1}{16}-\frac{\cos 2x}{12}-\frac{\cos 4x}{48}\\ =&\frac{7}{16}+\frac{5}{12}\cos 2x+\frac{23}{48}\cos 4x\end{aligned}\]
よって
\[ \begin{aligned}&\int _0^{\frac{\pi}{2}}\left( \cos ^2x-\frac{1}{6}\cos ^4x\right) \,dx\\ =&\int _0^{\frac{\pi}{2}}\left( \frac{7}{16}+\frac{5}{12}\cos 2x+\frac{23}{48}\cos 4x\right) \,dx\\ =&\left[ \frac{7}{16}x+\frac{5}{24}\sin 2x+\frac{23}{192}\cos 4x\right] _0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{7}{32}\pi \end{aligned}\]
したがって
\[ \begin{aligned}&\int _0^{2\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx\\ =&4\int _0^{\frac{\pi}{2}}\sin (\cos x)\cos x\,dx\\ \geqq &4\int _0^{\frac{\pi}{2}}\left( \cos ^2x-\frac{1}{6}\cos ^4x\right) \,dx\\ =&4\cdot \frac{7}{32}\pi =\frac{7}{8}\pi \end{aligned}\]
となり，左側の不等式が証明できた．

次に，右側の不等式を示そう．
$\rm (A)$の右側の不等式に注目すると
\[ \sin \theta \leqq \theta -\frac{\theta ^3}{6}+M\]
が成り立つから，$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$のとき
\[ \sin (\cos x)\cos x\leqq \cos ^2x-\frac{\cos ^4x}{6}+M\cos x\]
である．よって
\[ \begin{aligned}&\int _0^{2\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx\\ =&4\int _0^{\frac{\pi}{2}}\sin (\cos x)\cos x\,dx\\ \leqq &4\int _0^{\frac{\pi}{2}}\left( \cos ^2x-\frac{\cos ^4x}{6}+M\cos x\right) \,dx\\ =&4\cdot \left( \frac{7}{32}\pi +[M\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}}\right) =\frac{7}{8}\pi +4M\end{aligned}\]
となる．

ここまでの内容をまとめると，次のようになる．

(2)の解答1

難易度:★★★★☆

三角関数の加法定理より
\[ \begin{aligned}&\int _0^{2\pi}\cos (\cos x)\sin x\,dx\\ =&-\int _0^{2\pi}\cos (\cos x)(\cos x)^{\prime}\,dx\\ =&-[\sin (\cos x)]_0^{2\pi}=0\end{aligned}\]
であるから
\[ \begin{aligned}&\int _0^{2\pi}\sin (\cos x-x)\,dx\\ =&\int _0^{2\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx-\int _0^{2\pi}\cos (\cos x)\sin x\,dx\\ =&\int _0^{2\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx\end{aligned}\]
$x=y+\pi$と置換すると
\[ \begin{aligned}&\int _{\pi}^{2\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx\\ =&\int _0^{\pi}\sin (\cos (y+\pi ))\cos (y+\pi )\,dy\\ =&\int _0^{\pi}\sin (\cos y)\cos y\,dy\end{aligned}\]
また，$x=\pi -y$と置換すると
\[ \begin{aligned}&\int _{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx\\ =&\int _0^{\frac{\pi}{2}}\sin (\cos (\pi -y))\cos (\pi -y)\,dy\\ =&\int _0^{\frac{\pi}{2}}\sin (\cos y)\cos y\,dy\end{aligned}\]
したがって
\[ \begin{aligned}&\int _0^{2\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx\\ =&2\int _0^{\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx\\ =&4\int _0^{\frac{\pi}{2}}\sin (\cos x)\cos x\,dx\end{aligned}\]
$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$のとき，$0\leqq \cos x\leqq 1$であるから，(1)より
\[ 0\leqq f(\theta )\leqq M\]
すなわち
\[ \theta -\frac{\theta ^3}{6}\leqq \sin \theta \leqq \theta -\frac{\theta ^3}{6}+M\]
が成り立つ．よって
\[ \begin{aligned}&\int _0^{2\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx\\ =&4\int _0^{\frac{\pi}{2}}\sin (\cos x)\cos x\,dx\\ \geqq &4\int _0^{\frac{\pi}{2}}\left( \cos ^2x-\frac{1}{6}\cos ^4x\right) \,dx\\ =&4\int _0^{\frac{\pi}{2}}\left( \frac{7}{16}+\frac{5}{12}\cos 2x+\frac{23}{48}\cos 4x\right) \,dx\\ =&4\left[ \frac{7}{16}x+\frac{5}{24}\sin 2x+\frac{23}{192}\cos 4x\right] _0^{\frac{\pi}{2}}\\ =&4\cdot \frac{7}{32}\pi =\frac{7}{8}\pi \end{aligned}\]
また
\[ \begin{aligned}&\int _0^{2\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx\\ =&4\int _0^{\frac{\pi}{2}}\sin (\cos x)\cos x\,dx\\ \leqq &4\int _0^{\frac{\pi}{2}}\left( \cos ^2x-\frac{\cos ^4x}{6}+M\cos x\right) \,dx\\ =&4\cdot \left( \frac{7}{32}\pi +[M\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}}\right) =\frac{7}{8}\pi +4M\end{aligned}\]
以上より
\[ \frac{7}{8}\pi \leqq \int _0^{2\pi}\sin (\cos x-x)\,dx\leqq \frac{7}{8}\pi +4M\]

筆者は最初，この問題を上記のようにして解いたが，別の解法もある．
三角関数の加法定理より
\[ \begin{aligned}&\int _0^{2\pi}\sin (\cos x-x)\,dx\\ =&\int _0^{2\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx\end{aligned}\]
であることを示すところまでは同じである．

(1)を利用すると見て，被積分関数を考えるために，とりあえず$f(\theta )$に$\theta =\cos x$を代入してみよう．
\[ f(\cos x)=\sin (\cos x)-\cos x+\frac{\cos ^4x}{6}\]
よって
\[ \begin{aligned}&\sin (\cos x)\cos x\\ =&f(\cos x)\cos x+\cos ^2x-\frac{\cos ^4x}{6}\end{aligned}\]
となるから
\[ \begin{aligned}&\int _0^{2\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx\\ =&\int _0^{2\pi}f(\cos x)\cos x\,dx+\int _0^{2\pi}\left( \cos ^2x-\frac{1}{6}\cos ^4x\right) \,dx\end{aligned}\]
について考えれば良い．

第2項の積分は，先程と同様に計算すると
\[ \int _0^{2\pi}\left( \cos ^2x-\frac{1}{6}\cos ^4x\right) \,dx=\frac{7}{8}\pi \]
となるから，示すべき不等式は
\[ 0\leqq \int _0^{2\pi}f(\cos x)\cos x\,dx\leqq 4M\quad \cdots (\rm C)\]
である．

まず，$\rm (C)$の左側の不等式を示そう．被積分関数が常に$0$以上であることが言えれば示せる．
$\cos x\geqq 0$のとき，$f(\cos x)\geqq 0$であるから，$f(\cos x)\cos x\geqq 0$である．
また，$\cos x\leqq 0$のとき，$f(\cos x)\leqq 0$であるから，$f(\cos x)\cos x\geqq 0$である．
よって，$0\leqq x\leqq 2\pi$において，$f(\cos x)\cos x\geqq 0$であるから，$\rm (C)$の左側の不等式が成り立つ．

次に，右側の不等式を示そう．$M$が出てくるということは，もう一度(1)の結果を考える必要がありそうだ．
(1)では，$m=-M$であったから
\[ -M\leqq f(\theta )\leqq M\]
が成り立つことが分かる．これは
\[ |f(\theta )|\leqq M\]
と変形することができる．試しに，被積分関数に絶対値を付けて積分してみよう．
$f(\cos x)\cos x\geqq 0$が成り立つということは，絶対値を付けても，定積分の値に変化は生じない．
\[ \begin{aligned}&\int _0^{2\pi}f(\cos x)\cos x\,dx\\ =&\int _0^{2\pi}|f(\cos x)||\cos x|\,dx\\ \leqq &\int _0^{2\pi}M|\cos x|\,dx\\ =&M\int _0^{2\pi}|\cos x|\,dx\\ =&4M\int _0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx\\ =&4M[\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}}=4M\end{aligned}\]
これで，$\rm (C)$の右側の不等式も示すことができた．

ここまでの内容をまとめると，次のようになる．

(2)の解答2

難易度:★★★★☆

三角関数の加法定理より
\[ \begin{aligned}&\int _0^{2\pi}\cos (\cos x)\sin x\,dx\\ =&-\int _0^{2\pi}\cos (\cos x)(\cos x)^{\prime}\,dx\\ =&-[\sin (\cos x)]_0^{2\pi}=0\end{aligned}\]
であるから
\[ \begin{aligned}&\int _0^{2\pi}\sin (\cos x-x)\,dx\\ =&\int _0^{2\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx-\int _0^{2\pi}\cos (\cos x)\sin x\,dx\\ =&\int _0^{2\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx\end{aligned}\]
ここで
\[ f(\cos x)=\sin (\cos x)-\cos x+\frac{\cos ^4x}{6}\]
すなわち
\[ \sin (\cos x)\cos x=f(\cos x)\cos x+\cos ^2x-\frac{\cos ^4x}{6}\]
であり
\[ \begin{aligned}&\int _0^{2\pi}\left( \cos ^2x-\frac{1}{6}\cos ^4x\right) \,dx\\ =&\int _0^{2\pi}\left( \frac{7}{16}+\frac{5}{12}\cos 2x+\frac{23}{48}\cos 4x\right) \,dx\\ =&\left[ \frac{7}{16}x+\frac{5}{24}\sin 2x+\frac{23}{192}\cos 4x\right] _0^{2\pi}=\frac{7}{8}\pi \end{aligned}\]
であるから
\[ \begin{aligned}&\int _0^{2\pi}\sin (\cos x)\cos x\,dx\\ =&\int _0^{2\pi}f(\cos x)\cos x\,dx+\int _0^{2\pi}\left( \cos ^2x-\frac{1}{6}\cos ^4x\right) \,dx\\ =&\int _0^{2\pi}f(\cos x)\cos x\,dx+\frac{7}{8}\pi \end{aligned}\]
$\cos x\geqq 0$のとき，$f(\cos x)\geqq 0$であるから，$f(\cos x)\cos x\geqq 0$であり，$\cos x\leqq 0$のとき，$f(\cos x)\leqq 0$であるから，$f(\cos x)\cos x\geqq 0$である．
よって，$0\leqq x\leqq 2\pi$において，$f(\cos x)\cos x\geqq 0$であるから
\[ \int _0^{2\pi}f(\cos x)\cos x\,dx\geqq 0\]
また
\[ \begin{aligned}&\int _0^{2\pi}f(\cos x)\cos x\,dx\\ =&\int _0^{2\pi}|f(\cos x)||\cos x|\,dx\\ \leqq &\int _0^{2\pi}M|\cos x|\,dx\\ =&M\int _0^{2\pi}|\cos x|\,dx\\ =&4M\int _0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx\\ =&4M[\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}}=4M\end{aligned}\]
以上より
\[ \frac{7}{8}\pi \leqq \int _0^{2\pi}\sin (\cos x-x)\,dx\leqq \frac{7}{8}\pi +4M\]