写像に関する演算の1つである，写像の合成について解説する．
写像の合成
合成写像の定義
2つの写像から，1つの写像を構成する方法として，写像の合成がある．
$X$を集合，$Y,Z$を空でない集合とし，$f:X\to Y$を写像とする．また，$P$を$f(X)$を含む集合とし，$g:P\to Z$を写像とする．
\[ h(x)=g(f(x))\quad (x\in X)\]
により定まる写像$h:X\to Z$を$f$と$g$の合成(composition)といい，$g\circ f$(または$gf$)で表す．
ただし，$\mathrm{id}_{\emptyset}\circ \mathrm{id}_{\emptyset}=\mathrm{id}_{\emptyset}$とする．
任意の写像$f,g$に対して，合成写像$g\circ f$が定義されるわけではない．
$g\circ f$と$f\circ g$の両方が定まるとき，$g\circ f=f\circ g$であるとは限らない．
合成写像は，以下の図1のようなイメージで捉えると良い．
合成写像の例を挙げておく．
写像$f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$を
\[ \begin{aligned}f(x)=&2x-1\quad (x\in \mathbb{R})\\ g(x)=&3x+1\quad (x\in \mathbb{R})\end{aligned}\]
により定めると
\[ f(\mathbb{R})=g(\mathbb{R})=\mathbb{R}\]
であるから，$g\circ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$と$f\circ g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$が定まる．
このとき，任意の$x\in \mathbb{R}$に対して
\[ \begin{aligned}(g\circ f)(x)=&g(f(x))\\ =&g(2x-1)\\ =&3(2x-1)+1\\ =&6x-2\end{aligned}\]
\[ \begin{aligned}(f\circ g)(x)=&f(g(x))\\ =&f(3x+1)\\ =&2(3x+1)-1\\ =&6x+1\end{aligned}\]
が成り立つ．
写像の反復
写像の合成を繰り返し行うときには，次のような表記が便利である．
$f$を像が定義域に含まれるような写像とする．
\[ \begin{aligned}f^0=&\mathrm{id}\\ f^n=&f^{n-1}\circ f\quad (n\in \mathbb{N})\end{aligned}\]
により定まる写像を$f$の反復(または反復合成，反復合成写像，繰り返し)(iteration)という．
また，$f$の逆写像が存在するとき，任意の$n\in \mathbb{N}$に対して，$(f^{-1})^n$を$f^{-n}$で表す．
逆写像については，以下の記事を参照していただきたい．
反復合成写像の例を挙げておく．
$X=\mathbb{R}\setminus \{ 0,1\}$とする．
写像$f:X\to \mathbb{R}$を
\[ f(x)=\frac{1}{1-x}\quad (x\in X)\]
により定めると
\[ f(X)=X\]
であるから，$f$の反復が定まる．
\[ \begin{aligned}f^2(x)=&(f\circ f)(x)\\ =&f(f(x))\\ =&f\left( \frac{1}{1-x}\right) \\ =&\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}\\ =&\frac{1-x}{1-x-1}\\ =&1-\frac{1}{x}\end{aligned}\]
\[ \begin{aligned}f^3(x)=&(f^2\circ f)(x)\\ =&f^2(f(x))\\ =&f^2\left( \frac{1}{1-x}\right) \\ =&1-\frac{1}{\frac{1}{1-x}}\\ =&1-(1-x)\\ =&x\end{aligned}\]
であるから
\[ f^n(x)=\begin{cases}x&(n=0,3,6,\dots )\\ \dfrac{1}{1-x}&(n=1,4,7,\dots )\\ 1-\dfrac{1}{x}&(n=2,5,8,\dots )\end{cases}\]
となる．
合成写像の性質
合成写像について，次の命題が成り立つ．
$X$を集合，$Y,Z,W$を空でない集合，$f:X\to Y$を写像とする．また，$P$を$f(X)$を含む集合，$g:P\to Z$を写像とし，$Q$を$g(P)$を含む集合，$h:Q\to W$を写像とする．
- $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$
- $f\circ \mathrm{id}_X=\mathrm{id}_Y\circ f=f$
- $f$が全単射ならば，$f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_X,f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_Y$である．
命題1の③の証明は，以下の記事を参照していただきたい．
- 任意の$x\in X$に対して
\[ \begin{aligned}((h\circ g)\circ f)(x)=&(h\circ g)(f(x))\\ =&h(g(f(x)))\\ =&h((g\circ f)(x))\\ =&(h\circ (g\circ f))(x)\end{aligned}\]
が成り立つから，$(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$である．$\blacksquare$ - 任意の$x\in X$に対して
\[ \begin{aligned}(f\circ \mathrm{id}_X)(x)=&f(\mathrm{id}_X(x))\\ =&f(x)\end{aligned}\]
\[ \begin{aligned}(\mathrm{id}_Y\circ f)(x)=&\mathrm{id}_Y(f(x))\\ =&f(x)\end{aligned}\]
が成り立つから，$f\circ \mathrm{id}_X=\mathrm{id}_Y\circ f=f$である．$\blacksquare$
命題1より，集合$X$から$X$への写像全体の集合は，写像の合成に関して群をなすことが分かる．
群については，以下の記事を参照していただきたい．
全射，単射の合成について，次の命題が成り立つ．
全射，単射については，以下の記事を参照していただきたい．
$X$を集合，$Y,Z$を空でない集合とし，$f:X\to Y$を写像とする．また，$P$を$f(X)$を含む集合とし，$g:P\to Z$を写像とする．
- $f,g$が全射ならば，$g\circ f$は全射である．
- $f,g$が単射ならば，$g\circ f$は単射である．
- $f,g$が全単射ならば，$g\circ f$は全単射である．
- $g$の全射性より，任意の$z\in Z$に対して，ある$y\in Y$が存在して，$z=g(y)$となる．
また，$f$の全射性より，ある$x\in X$が存在して，$y=f(x)$となる．
このとき
\[ \begin{aligned}(g\circ f)(x)=&g(f(x))\\ =&g(y)\\ =z\end{aligned}\]
となるから，$g\circ f$は全射である．$\blacksquare$ - $f$の単射性より，任意の$x_1,x_2\in X$に対して，$f(x_1)\neq f(x_2)$である．
また，$g$の単射性より，$g(f(x_1))\neq g(f(x_2))$すなわち
\[ (g\circ f)(x_1)\neq (g\circ f)(x_2)\]
であるから，$g\circ f$は単射である．$\blacksquare$ - ①，②より，直ちに従う．$\blacksquare$
$X$を集合，$Y,Z$を空でない集合とし，$f:X\to Y$を写像とする．また，$P$を$f(X)$を含む集合とし，$g:P\to Z$を写像とする．
- $g\circ f$が全射ならば，$g$は全射である．
- $g\circ f$が全射かつ$g$が単射ならば，$f$は全射である．
- $g\circ f$が単射ならば，$f$は単射である．
- $g\circ f$が単射かつ$f$が全射ならば，$g$は単射である．
- $g\circ f$の全射性より，任意の$z\in Z$に対して，ある$x\in X$が存在して
\[ z=(g\circ f)(x)=g(f(x))\]
となる．
よって，$g$は全射である．$\blacksquare$ - $g\circ f$の全射性より，任意の$y\in Y$に対して，ある$x\in X$が存在して
\[ (g\circ f)(x)=g(y)\]
すなわち
\[ g(f(x))=g(y)\]
となる．
$g$の単射性より，$f(x)=y$となるから，$f$は全射である．$\blacksquare$ - $g\circ f$の単射性より，任意の$x_1,x_2\in X$に対して，$x_1\neq x_2$ならば
\[ (g\circ f)(x_1)\neq (g\circ f)(x_2)\]
すなわち
\[ g(f(x_1))\neq g(f(x_2))\]
である．
よって，$f(x_1)\neq f(x_2)$であるから，$f$は単射である．$\blacksquare$ - $f$の全射性より，任意の$y_1,y_2\in Y$に対して，ある$x_1,x_2\in X$が存在して
\[ y_1=f(x_1),\quad y_2=f(x_2)\]
となる．
$y_1\neq y_2$ならば，$x_1\neq x_2$であり，$g\circ f$の単射性より
\[ \begin{aligned}(g\circ f)(x_1)\neq &(g\circ f)(x_2)\\ g(f(x_1))\neq &g(f(x_2))\end{aligned}\]
すなわち
\[ g(y_1)\neq g(y_2)\]
となる．
よって，$g$は単射である．$\blacksquare$
$X$を集合，$Y,Z$を空でない集合とし，$f,f^{\prime}:X\to Y$を写像とする．また，$P$を$f(X)$を含む集合とし，$g,g^{\prime}:P\to Z$を写像とする．
- $f$が全射かつ$g\circ f=g^{\prime}\circ f$ならば，$g=g^{\prime}$である．
- $g$が単射かつ$g\circ f=g\circ f^{\prime}$ならば，$f=f^{\prime}$である．
- $f$の全射性より，任意の$y\in Y$に対して，ある$x\in X$が存在して，$y=f(x)$となる．
このとき
\[ \begin{aligned}g(y)=&g(f(x))\\ =&(g\circ f)(x)\\ =&(g^{\prime}\circ f)(x)\\ =&g^{\prime}(f(x))\\ =&g^{\prime}(y)\end{aligned}\]
であるから，$g=g^{\prime}$である．$\blacksquare$ - 任意の$x\in X$に対して
\[ \begin{aligned}g(f(x))=&(g\circ f)(x)\\ =&(g\circ f^{\prime})(x)\\ =&g(f^{\prime}(x))\end{aligned}\]
が成り立つから，$g$の単射性より，$f(x)=f^{\prime}(x)$である．
よって，$f=f^{\prime}$である．$\blacksquare$
合成写像の像は，次のように与えられる．
写像の像については，以下の記事を参照していただきたい．
$X$を集合，$Y,Z$を空でない集合，$A$を$X$の部分集合とし，$f:X\to Y$を写像とする．また，$P$を$f(X)$を含む集合とし，$g:P\to Z$を写像とする．
このとき，次が成り立つ．
\[ (g\circ f)(A)=g(f(A))\]
\[ \begin{aligned}(g\circ f)(A)=&\{ z\in Z\mid {}^\exists x\in A\,\mathrm{s.t.}\,z=(g\circ f)(x)\} \\ =&\{ z\in Z\mid {}^\exists x\in A\,\mathrm{s.t.}\,z=g(f(x))\} \\ =&\{ z\in Z\mid {}^\exists y\in f(A)\,\mathrm{s.t.}\,z=g(y)\} \\ =&g(f(A))\quad \blacksquare \end{aligned}\]