面積や体積を一般化した測度を定義する土台となる，完全加法族について解説する．
完全加法族の定義
完全加法族は，有限加法族により強い条件を付した集合族である．
有限加法族については，以下の記事を参照していただきたい．
$X$を空でない集合，$\mathcal{F}$を$X$上の有限加法族とする．
$\mathcal{F}$が次の条件を満たすとき，$\mathcal{F}$を完全加法族(completely additive class, completely additive family)(または可算加法族(countably additive class, countably additive family)，$\sigma$-加法族($\sigma$-additive family)，$\sigma$-集合代数($\sigma$-algebra, $\sigma$-set algebra)，$\sigma$-集合体($\sigma$-field))という．
$\mathcal{F}$の元の任意の列$\{ A_{\lambda} \} _{\lambda \in \Lambda}$に対して，$\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}\in \mathcal{F}$
有限加法族の定義を思い出すと，定義1は，次のように書ける．
$X$を空でない集合，$\mathcal{F}$を$X$の部分集合族とする．
$\mathcal{F}$が次の3つの条件を満たすとき，$\mathcal{F}$を完全加法族(completely additive class, completely additive family)(または可算加法族(countably additive class, countably additive family)，$\sigma$-加法族($\sigma$-additive family)，$\sigma$-集合代数($\sigma$-algebra, $\sigma$-set algebra)，$\sigma$-集合体($\sigma$-field))という．
- $\emptyset \in \mathcal{F}$
- 任意の$A\in \mathcal{F}$に対して，$A^c\in \mathcal{F}$
- $\mathcal{F}$の元の任意の列$\{ A_{\lambda} \} _{\lambda \in \Lambda}$に対して，$\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}\in \mathcal{F}$
完全加法族は，有限加法族と同様に，面積や体積を一般の集合の部分集合に対して定義することを動機とし，｢体積｣を定義できる部分集合を集めたものとして理解できる．
完全加法族は，有限加法族と異なり，無限個の元の和集合が完全加法族の元になることを保証している．これにより，｢無限｣について考える解析学的な取り扱いが可能になる．
通常，面積や体積はリーマン積分によって定義されてきたが，一般の集合に対して完全加法族を定めることによって，面積や体積の一般化である測度を定義することができる．そしてこれは，リーマン積分の一般化であるルベーグ積分へとつながるのである．
測度やルベーグ積分の定義については，以下の記事を参照していただきたい．
完全加法族の例
以下の記事で紹介した有限加法族の例を取り上げる．
有限個の元からなる有限加法族は完全加法族である．
$X$を空でない集合とする．
- $X$の有限加法族
\[ \mathcal{F}=\{ \emptyset ,X\} \]
は完全加法族である． - $X$の冪集合
\[ \mathcal{P}(X)=\{ S\mid S\subset X\} \]
は完全加法族である． - $S$を$X$の部分集合とする．$X$の有限加法族
\[ \mathcal{F}=\{ \emptyset ,S,S^c,X\} \]
は完全加法族である．
もう少し複雑な例を紹介する．
$X$を空でない集合とする．
- $X$の有限加法族
\[ \mathcal{F}=\{ S\subset X\mid SまたはS^cは有限集合\} \]
は完全加法族である．
実際，$\mathcal{F}$の元の任意の列$\{ A_{\lambda} \} _{\lambda \in \Lambda}$に対して，
ある$\lambda _0\in \Lambda$が存在して，$A_{\lambda _0}^c$が有限集合となるとき
\[ \left( \bigcup _{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}\right) ^c=\bigcap _{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}^c\]
は有限集合であり，任意の$\lambda \in \Lambda$に対して，$A_{\lambda}^c$が無限集合となるとき，$A_{\lambda}$は有限集合であるから
\[ \left( \bigcup _{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}\right) ^c=\bigcap _{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}^c\]
は有限集合である．
よって，$\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}\in \mathcal{F}$である． - $X$の有限加法族
\[ \mathcal{F}=\{ S\subset X\mid SまたはS^cは高々可算集合\} \]
は完全加法族である．
実際，$\mathcal{F}$の元の任意の列$\{ A_{\lambda} \} _{\lambda \in \Lambda}$に対して，
ある$\lambda _0\in \Lambda$が存在して，$A_{\lambda _0}^c$が高々可算となるとき
\[ \left( \bigcup _{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}\right) ^c=\bigcap _{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}^c\]
は高々可算であり，任意の$\lambda \in \Lambda$に対して，$A_{\lambda}^c$が非可算集合となるとき，$A_{\lambda}$は高々可算であるから
\[ \left( \bigcup _{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}\right) ^c=\bigcap _{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}^c\]
は高々可算である．
よって，$\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}\in \mathcal{F}$である．
有限加法族であって，完全加法族でない例も紹介しておく．
$X$を空でない集合，$\mathcal{F}$を$\mathbb{R}$の有限個の左半開区間の和集合全体の集合族，すなわち
\[ \mathcal{F}\coloneqq \left\{ A\subset \mathbb{R}\,\middle| \,{}^\exists I_1,I_2,\dots ,I_n:\mathbb{R}の左半開区間\,\mathrm{s.t.}\,A=\bigcup _{k=1}^nI_k\right\} \]
とする．
左半開区間は，次のような集合である．
\[ (a,b]=\{ x\in \mathbb{R}\mid a<x\le b\} \quad (a,b\in \mathbb{R}\cup \{ \pm \infty\} )\]
明らかに，$\emptyset \in X$である．
$A,B\in \mathcal{F}$を任意にとると，$A,B$は$\mathbb{R}$の有限個の左半開区間の和集合として表すことができる．
よって，$A\cup B$は有限個の左半開区間の和集合として表すことができるから，$A\cup B\in \mathcal{F}$である．
また，左半開区間
\[ (a,b]=\{ x\in \mathbb{R}\mid a<x\le b\} \quad (a,b\in \mathbb{R}\cup \{ \pm \infty\} )\]
の補集合は
\[ (a,b]^c=(-\infty ,a]\cup (b,\infty ]\]
と有限個の左半開区間の和集合として表すことができるから，$A^c$は有限個の左半開区間の和集合として表すことができる．よって，$A^c\in \mathcal{F}$である．
以上より，$\mathcal{F}$は有限加法族である．
一方
\[ \bigcup _{n=1}^{\infty}\left( 0,\frac{1}{n}\right] =(0,1)\not\in \mathcal{F}\]
であるから，$\mathcal{F}$は完全加法族でない．
完全加法族の生成
完全加法族の共通部分は完全加法族である．
$X$を空でない集合，$\{ \mathcal{F}_{\lambda}\} _{\lambda \in \Lambda}$を$\Lambda$を添字集合とする$X$上の有限加法族の列とする．
$\displaystyle \bigcap _{\lambda \in \Lambda}\mathcal{F}_{\lambda}$は$X$上の有限加法族である．
有限加法族の共通部分が有限加法族であることは，以下の記事で証明している．
$\langle \mathcal{F}\rangle$は有限加法族であるから，完全加法族であることを示せば良い．
$\mathcal{F}$の元の列$\{ A_i\} _{i\in I}$を任意にとると，任意の$\lambda \in \Lambda$に対して，$\{ A_i\} _{i\in I}$は$\mathcal{F}_{\lambda}$の元の列であるから
\[ \bigcup _{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}\in \mathcal{F}_{\lambda}\]
よって
\[ \bigcup _{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}\in \mathcal{F}\quad \blacksquare \]
補題1により，部分集合族を含む，最小の有限加法族を構成することができる．
$X$を空でない集合，$\mathcal{F}$を$X$の部分集合族，$\mathscr{F}$を$X$上の$\mathcal{F}$を含む完全加法族全体の集合族とする．
\[ \bigcap _{\mathcal{F}^{\prime}\in \mathscr{F}}\mathcal{F}^{\prime}\]
を$\mathcal{F}$が生成する$X$上の完全加法族という．
部分集合族が生成する完全加法族は，包含関係を保つ．
$X$を空でない集合，$\mathcal{F},\mathcal{G}$を$X$の部分集合族，$\langle \mathcal{F}\rangle$を$\mathcal{F}$が生成する$X$上の完全加法族，$\langle \mathcal{G}\rangle$を$\mathcal{G}$が生成する$X$上の完全加法族とする．
$\mathcal{F}\subset \mathcal{G}$ならば$\langle \mathcal{F}\rangle\subset \langle \mathcal{G}\rangle$である．
$A\in \langle \mathcal{F}\rangle$ならば，$\mathcal{F}$を含む任意の完全加法族$\mathcal{F}^{\prime}$に対して，$A\in \mathcal{F}^{\prime}$である．
$\mathcal{F}\subset \mathcal{G}$より，$\mathcal{G}$を含む任意の完全加法族$\mathcal{G}^{\prime}$は$\mathcal{F}$を含む完全加法族であるから，$A\in \mathcal{G}^{\prime}$である．
したがって，$A\in \langle \mathcal{G}\rangle$であるから，$\langle \mathcal{F}\rangle\subset \langle \mathcal{G}\rangle$である．$\blacksquare$