面積や体積を一般化した測度を定義する土台となる，有限加法族について解説する．
有限加法族の定義
有限加法族は，集合の演算である和に注目した構造である．
$X$を空でない集合，$\mathcal{F}$を$X$の部分集合族とする．
$\mathcal{F}$が次の3つの条件を満たすとき，$\mathcal{F}$を有限加法族(finitely additive class, finitely additive family)(または加法族(additive class, additive family))という．
- $\emptyset \in \mathcal{F}$
- 任意の$A\in \mathcal{F}$に対して，$A^c\in \mathcal{F}$
- 任意の$A,B\in \mathcal{F}$に対して，$A\cup B\in \mathcal{F}$
有限加法族は，面積や体積を一般の集合の部分集合に対して定義することを動機とし，｢体積｣を定義できる部分集合を集めたものとして理解できる．
まず，空集合の｢体積｣は$0$として定めたい．実際にそのように定義するかどうかは別として，空集合は｢体積｣が定まる部分集合としたいため，1つ目の条件がある．
また，｢体積｣が定まる集合の補集合についても，｢体積｣が定まるようにしたい．ここでの｢体積｣は，無限大の値をとることも認めることとする．
さらに，｢体積｣が定まる集合の和集合についても，｢体積｣が定まるようにしたい．直感的には，互いに交わらない2つの集合の直和の｢体積｣は，元の2つの集合の｢体積｣の和となり，共通部分が空でない2つの集合の和集合の｢体積｣は，元の2つの集合の｢体積｣の和から，共通部分の｢体積｣を引いたものとなるようにしたい．共通部分の｢体積｣が定まるかどうか，すなわち共通部分をとることが有限加法族において閉じているかどうかは，命題1で考える．
有限加法族の｢有限｣は，集合の和の性質を指している．有限加法族の有限個の元の和集合は有限加法族の元であるが，有限加法族の無限個の元の和集合は有限加法族の元であるとは限らない．
それを可能にするのが，完全加法族である．完全加法族については，以下の記事を参照していただきたい．
有限加法族の例
有限加法族の例をいくつか紹介する．
$X$を空でない集合とする．
- $X$の部分集合族
\[ \mathcal{F}=\{ \emptyset ,X\} \]
は有限加法族である．
実際，明らかに$\emptyset \in \mathcal{F}$であり
\[ \emptyset ^c=X\in \mathcal{F}\\ X^C=\emptyset \in \mathcal{F}\]
である．また
\[ \emptyset \cup \emptyset =\emptyset \in \mathcal{F}\\ \emptyset \cup X=X\cup X=X\in \mathcal{F}\]
である． - $X$の冪集合
\[ \mathcal{P}(X)=\{ S\mid S\subset X\} \]
は有限加法族である． - $S$を$X$の部分集合とする．$X$の部分集合族
\[ \mathcal{F}=\{ \emptyset ,S,S^c,X\} \]
は有限加法族である．
実際，明らかに$\emptyset \in \mathcal{F}$であり
\[ \emptyset ^c=X\in \mathcal{F}\\ S^c\in \mathcal{F}\\ (S^c)^c=S\in \mathcal{F}\\ X^C=\emptyset \in \mathcal{F}\]
である．また，任意の$A\in \mathcal{F}$に対して
\[ A\cup \emptyset =A\cup A=A\in \mathcal{F}\\ A\cup X=A\cup A^c=X\in \mathcal{F}\]
である．
もう少し複雑な例を紹介する．
$X$を空でない集合とする．
- $X$の部分集合族
\[ \mathcal{F}=\{ S\subset X\mid SまたはS^cは有限集合\} \]
は有限加法族である．
実際，$A,B\in \mathcal{F}$を任意にとると，明らかに$\emptyset \in \mathcal{F}$であり，$A$または$A^c$は有限集合であるから，$A^c\in \mathcal{F}$である．
また，$A^c$または$B^c$が有限集合であるとき，$(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$は有限集合であり，$A^c,B^c$が無限集合であるとき，$A,B$は有限集合であるから，$A\cup B$は有限集合である．
よって，$A\cup B\in \mathcal{F}$である． - $X$の部分集合族
\[ \mathcal{F}=\{ S\subset X\mid SまたはS^cは高々可算集合\} \]
は有限加法族である．
実際，$A,B\in \mathcal{F}$を任意にとると，明らかに$\emptyset \in \mathcal{F}$であり，$A$または$A^c$は高々可算集合であるから，$A^c\in \mathcal{F}$である．
また，$A^c$または$B^c$が高々可算集合であるとき，$(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$は高々可算集合であり，$A^c,B^c$が非可算集合であるとき，$A,B$は高々可算集合であるから，$A\cup B$は高々可算集合である．
よって，$A\cup B\in \mathcal{F}$である．
抽象的な例も紹介しておく．
$X$を空でない集合，$\mathcal{F}$を$X$の部分集合族とする．
$\mathcal{F}$が次の3つの条件を満たすとき，$\mathcal{F}$は有限加法族である．
- $\emptyset \in \mathcal{F}$
- 任意の$A\in \mathcal{F}$に対して，$A^c\in \mathcal{F}$
- 任意の$A,B\in \mathcal{F}$に対して，$A\cap B\in \mathcal{F}$
実際，任意の$A,B\in \mathcal{F}$に対して，$A^c,B^c\in \mathcal{F}$であるから
\[ A\cup B=(A\cap B)^c\in \mathcal{F}\]
が成り立つ．
$X$を空でない集合，$\mathcal{F}$を$X$の空でない部分集合族とする．
$\mathcal{F}$が次の2つの条件を満たすとき，$\mathcal{F}$は有限加法族である．
- 任意の$A\in \mathcal{F}$に対して，$A^c\in \mathcal{F}$
- 任意の$A,B\in \mathcal{F}$に対して，$A\cup B\in \mathcal{F}$
実際，$\mathcal{F}$は空でないから，ある$A\in \mathcal{F}$が存在する．$A^c\in \mathcal{F}$であるから
\[ X=A\cup A^c\in \mathcal{F}\]
であり，したがって
\[ \emptyset =X^c\in \mathcal{F}\]
が成り立つ．
$X$を空でない集合，$\mathcal{F}$を$X$の部分集合族とする．
$\mathcal{F}$が次の2つの条件を満たすとき，$\mathcal{F}$は有限加法族である．
- $\emptyset \in \mathcal{F}$
- 任意の$A,B\in \mathcal{F}$に対して，$(A\cup B)^c\in \mathcal{F}$
実際，$A,B\in \mathcal{F}$を任意にとると，$\emptyset \in \mathcal{F}$より
\[ A^c=(A\cup \emptyset )^c\in \mathcal{F}\]
であり
\[ A\cup B=((A\cup B)^c)^c\in \mathcal{F}\]
が成り立つ．
$X$を空でない集合，$\mathcal{F}$を$X$の部分集合族とする．
$\mathcal{F}$が次の2つの条件を満たすとき，$\mathcal{F}$は有限加法族である．
- $X\in \mathcal{F}$
- 任意の$A,B\in \mathcal{F}$に対して，$A\setminus B\in \mathcal{F}$
実際，$A,B\in \mathcal{F}$を任意にとると，$X\in \mathcal{F}$であるから
\[ A^c=X\setminus A\in \mathcal{F}\]
であり
\[ A^c\cap B^c=A^c\setminus B\in \mathcal{F}\]
であるから
\[ A\cup B=(A^c\cap B^c)^c\in \mathcal{F}\]
が成り立つ．
有限加法族の性質
有限加法族には，次のような性質がある．
$X$を空でない集合，$\mathcal{F}$を$X$上の有限加法族とする．
- $X\in \mathcal{F}$
- 任意の$A,B\in \mathcal{F}$に対して，$A\cap B\in \mathcal{F}$
- 任意の$A,B\in \mathcal{F}$に対して，$A\setminus B\in \mathcal{F}$
- $\emptyset \in \mathcal{F}$であるから
\[ X=\emptyset ^c\in \mathcal{F}\quad \blacksquare \] - $A^c,B^c\in \mathcal{F}$であるから
\[ A\cap B=(A^c\cup B^c)^c\in \mathcal{F}\quad \blacksquare \] - $B^c\in \mathcal{F}$であるから，②より
\[ A\setminus B=A\cap B^c\in \mathcal{F}\quad \blacksquare \]
有限加法族の共通部分は有限加法族である．
$X$を空でない集合，$\{ \mathcal{F}_{\lambda}\} _{\lambda \in \Lambda}$を$\Lambda$を添字集合とする$X$上の有限加法族の列とする．
$\displaystyle \bigcap _{\lambda \in \Lambda}\mathcal{F}_{\lambda}$は$X$上の有限加法族である．
$\langle \mathcal{F}\rangle \coloneqq \displaystyle \bigcap _{\lambda \in \Lambda}\mathcal{F}_{\lambda}$とする．
任意の$\lambda \in \Lambda$に対して，$\emptyset \in \mathcal{F}_{\lambda \in \Lambda}$であるから，$\emptyset \in \langle \mathcal{F}\rangle$
$A,B\in \mathcal{F}$を任意にとる．このとき，任意の$\lambda \in \Lambda$に対して，$A,B\in \mathcal{F}_{\lambda \in \Lambda}$である．
任意の$\lambda \in \Lambda$に対して，$A^c\in \mathcal{F}_{\lambda \in \Lambda}$であるから，$A^c\in \langle \mathcal{F}\rangle$である．
任意の$\lambda \in \Lambda$に対して，$A\cup B\in \mathcal{F}_{\lambda \in \Lambda}$であるから，$A\cup B\in \langle \mathcal{F}\rangle$である．
以上より，$\langle \mathcal{F}\rangle$は有限加法族である．$\blacksquare$
有限加法族の生成
補題1により，部分集合族を含む，最小の有限加法族を構成することができる．
$X$を空でない集合，$\mathcal{F}$を$X$の部分集合族，$\mathscr{F}$を$X$上の$\mathcal{F}$を含む有限加法族全体の集合族とする．
\[ \bigcap _{\mathcal{F}^{\prime}\in \mathscr{F}}\mathcal{F}^{\prime}\]
を$\mathcal{F}$が生成する$X$上の有限加法族という．
部分集合族が生成する有限加法族は，包含関係を保つ．
$X$を空でない集合，$\mathcal{F},\mathcal{G}$を$X$の部分集合族，$\langle \mathcal{F}\rangle$を$\mathcal{F}$が生成する$X$上の有限加法族，$\langle \mathcal{G}\rangle$を$\mathcal{G}$が生成する$X$上の有限加法族とする．
$\mathcal{F}\subset \mathcal{G}$ならば$\langle \mathcal{F}\rangle\subset \langle \mathcal{G}\rangle$である．
$A\in \langle \mathcal{F}\rangle$ならば，$\mathcal{F}$を含む任意の有限加法族$\mathcal{F}^{\prime}$に対して，$A\in \mathcal{F}^{\prime}$である．
$\mathcal{F}\subset \mathcal{G}$より，$\mathcal{G}$を含む任意の有限加法族$\mathcal{G}^{\prime}$は$\mathcal{F}$を含む有限加法族であるから，$A\in \mathcal{G}^{\prime}$である．
したがって，$A\in \langle \mathcal{G}\rangle$であるから，$\langle \mathcal{F}\rangle\subset \langle \mathcal{G}\rangle$である．$\blacksquare$