線形変換による拡大率を表す行列式の定義について解説する．
行列式の導入
平面上の任意のベクトルは，$x$軸方向の単位ベクトル$\dbinom{1}{0}$と$y$軸方向の単位ベクトル$\dbinom{0}{1}$の和とスカラー倍によって表すことができる．具体的には，以下のように表すことができる．
\[ \binom{a}{b}=a\binom{1}{0}+b\binom{0}{1}\]
このとき，$\dbinom{1}{0}$や$\dbinom{0}{1}$を，それぞれ他のベクトルに取り替えることによって，異なる座標系が得られる．行列
\[ \begin{pmatrix}a&c\\ b&d\end{pmatrix}\]
は，直交座標系の$\dbinom{1}{0},\dbinom{0}{1}$を$\dbinom{a}{b},\dbinom{c}{d}$に取り替えることによって得られる座標系を表しているとみなすことができる．
単位行列$\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}$が表す座標系における平面図形を，行列$\begin{pmatrix}a&c\\ b&d\end{pmatrix}$が表す座標系に変換したとき，その面積の拡大率を表すものとして，行列式が定義される．
行列式の幾何学的意味については，以下の記事を参照していただきたい．
置換
行列式は置換を用いて定義されるため，置換について簡単に説明する．詳細については，以下の記事を参照することを強くおすすめする．
置換の定義
置換は一般の集合に対して定義されるが，行列式の定義で用いる範囲に留めて紹介する．
$n\in \mathbb{N}$とする．
全単射$\sigma :\{ 1,2,\dots ,n\} \to \{ 1,2,\dots ,n\}$を$n$次の置換($n$-th permutation)という．
$n$次の置換全体の集合を$n$次対称群($n$-th symmetric group)といい，$S_n$(または$\mathfrak{S}_n$，$\mathrm{Sym}(n)$，$\Sigma _n$)で表す．
全単射については，以下の記事で詳しく解説している．
$n$次の置換とは，要するに$1$以上$n$以下の整数の並び替えのことである．そのため，$n$次の置換の総数は$n!$である．
$n$次の置換の表記方法には，二行記法，一行記法の2種類がある．
$\sigma \in S_n$は次のように表す，
- $\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\ \sigma (1)&\sigma (2)&\cdots &\sigma (n)\end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix}\sigma (1)&\sigma (2)&\cdots &\sigma (n)\end{pmatrix}$
$4$次の置換$\sigma :\{ 1,2,3,4\} \to \{ 1,2,3,4\}$を
\[ \sigma (1)=2,\sigma (2)=4,\sigma (3)=1,\sigma (4)=3\]
により定めるとき
\[ \sigma =\begin{pmatrix}1&2&3&4\\ 2&4&1&3\end{pmatrix}\]
である．$\sigma$は次のように表記してもよい．
\[ \sigma =\begin{pmatrix}3&1&4&2\\ 1&2&3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4&1&3\end{pmatrix}\]
巡回置換と互換
ここで，次のような置換について考える．
$m\in \mathbb{N}$とする．$\sigma$に対し，$\sigma ^m$を
\[ \sigma ^m\coloneqq \begin{cases}\sigma &(m=1)\\ \sigma ^{m-1}\circ \sigma &(m\in \mathbb{N}\setminus \{ 1\} )\end{cases}\]
により定めることにする．
また，$i\le n$かつ$i\neq \sigma (i)$を満たす$i\in \mathbb{N}$に対し，$\sigma ^m(i)=i$となる最小の$m\in \mathbb{N}$を$N$とし
\[ S=\{ i,\sigma (i),\sigma ^2(i),\dots ,\sigma ^{N-1}(i)\} \]
とする．
\[ \sigma (j)\begin{cases}\neq j&(j\in S)\\ =j&(j\not\in S)\end{cases}\]
であるとき，$\sigma$を長さ(length)$N$の巡回置換(cycle)といい，$(i,\sigma (i),\sigma ^2(i),\dots ,\sigma ^{N-1}(i))$で表す．
$\sigma \in S_5$が
\[ \sigma (1)=1,\sigma (2)=3,\sigma (3)=5,\sigma (4)=4,\sigma (5)=2\]
により定められているとき
\[ \sigma ^2(2)=(\sigma \circ \sigma )(2)=\sigma (\sigma (2))=\sigma (3)=5\]
\[ \sigma ^3(2)=(\sigma \circ \sigma \circ \sigma )(2)=\sigma (\sigma ^2(2))=\sigma (5)=2\]
であるから，$\sigma$は長さ$3$の巡回置換であり，$(2,3,5)$で表す($(3,5,2),(5,2,3)$と表しても良い)．
定義3において，巡回置換の長さ$N$が$i$の値により変わらない(巡回置換の長さの定義がwell-definedである)ことを確認する．
まず
\[ i,\sigma (i),\sigma ^2(i),\dots ,\sigma ^{N-1}(i)\]
が相異なることを示す．$N$の定義より，任意の$N-1$以下の正の整数$k$に対し，$i\neq \sigma ^k(i)$が成り立つ．
ここで，$p,q$を$p<q$となる$N$未満の正の整数とし，$\sigma ^p(i)=\sigma ^q(i)$であると仮定すると
\[ i=\sigma ^N(i)=\sigma ^{N-q}(\sigma ^q(i))=\sigma ^{N-q}(\sigma ^p(i))=\sigma ^{N+p-q}(i)\]
となるが，$N>N+p-q$より，$N$の最小性に矛盾する．
さて，任意の$j\in S$に対し，ある$m\in \mathbb{N}$が存在し，$j=\sigma ^m(i)$と表されるから
\[ j,\sigma (j),\sigma ^2(j),\dots ,\sigma ^{N-1}(j)\]
すなわち
\[ \sigma ^m(i),\sigma ^{m+1}(i),\dots ,\sigma ^{m+N-1}(i)\]
は
\[ i,\sigma (i),\sigma ^2(i),\dots ,\sigma ^{N-1}(i)\]
の並び替えである．よって，ある$N$未満の非負整数$m^{\prime}$が存在し，$\sigma^N(j)=\sigma ^{m^{\prime}}(j)$となる．ただし，$\sigma ^0(i)=i$とする．$m^{\prime}\neq 0$であると仮定すると$\sigma ^{m^{\prime}-1}(j)=\sigma ^{N-1}(j)$となり
\[ i,\sigma (i),\sigma ^2(i),\dots ,\sigma ^{N-1}(i)\]
が相異なることに矛盾する．したがって$\sigma ^N(j)=j$であり，巡回置換の長さは$i$に依存しない．
長さ$2$の巡回置換を互換(transposition)という．
$i<n$を満たす$i\in \mathbb{N}$に対し，$(i,i+1)$を基本互換(fundamental transpositions)(または隣接互換(adjacent transpositions))という．
$\sigma \in S_4$が
\[ \sigma (1)=1,\sigma (2)=2,\sigma (3)=4,\sigma (4)=3\]
により定められているとき，$\sigma$は互換であり，$(3,4)$で表す($(4,3)$と表しても良い)．
互換を考えることの意義は，次の定理にある．
任意の置換は基本互換の積で表される．
定理1の証明は直感的に理解するとよい．まず，置換は$1,2,\dots ,n$の並び替えに対応する．任意の$1,2,\dots ,n$の並び替えは
\[ 1,2,\dots ,n\]
から始めて，以下の操作
$n$個の正の整数の列から隣り合う2つの数を選び，順序を交換する(場所を入れかえる)
を繰り返すことで得られる．これを厳密に議論すると，次のようになる．
$n$未満の正の整数$i$に対し，互換の列$\{ \sigma _i\} _{i=1}^{n-1}$を
\[ \sigma _i=(i,i+1)\quad (i=1,2,\dots ,n-1)\]
により定める．
$\sigma \in S_n$とする．任意の$j\in \mathbb{N}$に対し，次の操作を繰り返し行う．
$j-1$以下の任意の正の整数$k$に対し，$\sigma (k)=k$であり，$\sigma (j)\neq j$であるとき，$j+1$以上$n$以下の整数$i$が存在し，$\sigma (i)=j$となる．このとき
\[ \tau _j=\sigma _j\circ \sigma _{j+1}\circ \dots \circ \sigma _{i-1}\circ \sigma \in S_n\]
とおくと，$\tau _j(j)=j$である．
このとき，$\sigma =\tau _{n-1}\circ \tau _{n-2}\circ \dots \circ \tau _1$であるから，$\sigma$は基本互換の積で表すことができる．$\blacksquare$
置換の符号
置換の符号は，次のように定義される．
置換$\sigma$が奇数個の互換の積で表されるとき，$\sigma$を奇置換(odd permutation)といい，$\sigma$が偶数個の互換の積で表されるとき，$\sigma$を偶置換(even permutation)という．
置換$\sigma$の符号(sign, signature)$\operatorname{sgn}\sigma$を次のように定義する．
\[ \operatorname{sgn}\sigma =\begin{cases}1&(\sigma は偶置換)\\ -1&(\sigma は奇置換)\end{cases}\]
定義7がwell-definedである(置換を互換の積で表したとき，用いる互換の個数の偶奇はその表し方に依らない)ことを確認するために，次の多項式を導入する．
変数$x_1,x_2,\dots ,x_n$の差積(product of differences, difference product)(またはヴァンデルモンド多項式(Vandermonde polynomial))$\Delta (x_1,x_2,\dots ,x_n)$を次のように定義する．
\[ \Delta (x_1,x_2,\dots ,x_n)\coloneqq \prod _{i<j\\ i,j\in \{ 1,2,\dots ,n\} }(x_i-x_j)\]
差積と互換の間には，次のような関係がある．
$x_1,x_2,\dots ,x_n$を変数，$\sigma$を互換とすると，次が成り立つ．
\[ \Delta (\sigma (x_1),\sigma (x_2),\dots ,\sigma (x_n))=-\Delta (x_1,x_2,\dots ,x_n)\]
$\sigma =(p,q)\in S_n$とし，$p<q$とする．
\[ x_{\sigma (p)}-x_{\sigma (q)}=x_q-x_p=-(x_p-x_q)\]
$i<p$のとき
\[ (x_{\sigma (i)}-x_{\sigma (p)})(x_{\sigma (i)}-x_{\sigma (q)})=(x_i-x_q)(x_i-x_p)=(x_i-x_p)(x_i-x_q)\]
$p<i<q$のとき
\[ (x_{\sigma (p)}-x_{\sigma (i)})(x_{\sigma (i)}-x_{\sigma (q)})=(x_q-x_i)(x_i-x_p)=(x_p-x_i)(x_i-x_q)\]
$i>q$のとき
\[ (x_{\sigma (p)}-x_{\sigma (i)})(x_{\sigma (q)}-x_{\sigma (i)})=(x_q-x_i)(x_p-x_i)=(x_p-x_i)(x_q-x_i)\]
$i,j$が$p,q$とは異なるとき
\[ x_{\sigma (i)}-x_{\sigma (j)}=x_i-x_j\]
であるから，$\sigma$によって$x_p-x_q$のみが$-1$倍され，それ以外は不変であるから
\[ \Delta (\sigma (x_1),\sigma (x_2),\dots ,\sigma (x_n))=-\Delta (x_1,x_2,\dots ,x_n)\]
が成り立つ．$\blacksquare$
これを用いて，定義7がwell-definedであることを確認しよう．
$s,t\in \mathbb{N}$とする．また，変数$x_1,x_2,\dots ,x_n$と置換$\sigma \in S_n$に対して
\[ \Delta (\sigma (x_1),\sigma (x_2),\dots ,\sigma (x_n))\]
を$\sigma \Delta$で表すことにする．
$\sigma$が，互換$\tau _1,\tau _2,\dots ,\tau _s,\upsilon _1,\upsilon _2,\dots ,\upsilon _t\in S_n$を用いて
\[ \sigma =\tau _1\tau _2\dots \tau _s=\upsilon _1\upsilon _2\dots \upsilon _t\]
と表されるとき，命題3より
\[ \sigma \Delta =(\tau _1\tau _2\dots \tau _s)\Delta =\tau _1(\tau _2(\dots (\tau _s \Delta )))=(-1)^s\Delta \]
\[ \sigma \Delta =(\upsilon _1\upsilon _2\dots \upsilon _t)\Delta =\upsilon _1(\upsilon _2(\dots (\upsilon _t \Delta )))=(-1)^t\Delta \]
よって$(-1)^s=(-1)^t$であるから，$s$と$t$の偶奇は一致する．
置換の符号に関して，次の命題が成り立つ．
$\sigma ,\tau \in S_n$とするとき，次が成り立つ．
- $\operatorname{sgn}\sigma \tau =(\operatorname{sgn}\sigma )(\operatorname{sgn}\tau )$
- $\operatorname{sgn}\sigma =\operatorname{sgn}\sigma ^{-1}$
- $r,s\in \mathbb{N}$とする．$\sigma$が$r$個の互換の積で，$\tau$が$s$個の互換の積で表されるとすると，$\sigma \tau$は$r+s$個の積で表されるから
\[ \mathrm{sgn}\ \sigma \tau =(-1)^{r+s}=(-1)^r(-1)^s=(\mathrm{sgn}\ \sigma )(\mathrm{sgn}\ \tau )\quad \blacksquare \] - $r\in \mathbb{N}$とする．$\sigma$が$r$個の互換$\tau _1,\tau _2,\dots ,\tau _r\in S_n$の積で
\[ \sigma =\tau _1\tau _2\dots \tau _r\]
と表されるとき，$\tau _1^{-1},\tau _2^{-1},\dots ,\tau _r^{-1}$も互換であり
\[ \sigma ^{-1}=\tau _r^{-1}\dots \tau _2^{-1}\tau _1^{-1}\]
となるから，$\mathrm{sgn}\ \sigma ^{-1}=(-1)^r=\mathrm{sgn}\ \sigma \blacksquare$
行列式の定義
行列式は次のように定義する．
$n\in \mathbb{N}$，$A=(a_{ij})_{n\times n}$を$n$次正方行列とする．
\[ \sum _{\sigma \in S_n}(\operatorname{sgn}\sigma )\prod _{i=1}^na_{i\sigma (i)}\]
を$A$の行列式(determinant)といい，$\det A$(または$|A|$，$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}$)で表す．
行列式は正方行列に対して定義される概念である．
- $2$次正方行列の行列式を考える．
\[ \begin{aligned}\sigma _1=&\begin{pmatrix}1&2\\ 1&2\end{pmatrix}\\ \sigma _2=&\begin{pmatrix}1&2\\ 2&1\end{pmatrix}\end{aligned}\]
とすると
\[ S_2=\{ \sigma _1,\sigma _2\} \]
であるから
\[ \begin{aligned}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=&\sum _{\sigma \in S_2}(\operatorname{sgn}\sigma )a_{1\sigma (1)}a_{2\sigma (2)}\\ =&(\operatorname{sgn}\sigma _1)a_{11}a_{22}+(\operatorname{sgn}\sigma _2)a_{12}a_{21}\\ =&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\end{aligned}\] - $3$次正方行列の行列式を考える．
\[ \begin{aligned}\sigma _1=&\begin{pmatrix}1&2&3\\ 1&2&3\end{pmatrix}\\ \sigma _2=&\begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&1&3\end{pmatrix}\\ \sigma _3=&\begin{pmatrix}1&2&3\\ 1&3&2\end{pmatrix}\\ \sigma _4=&\begin{pmatrix}1&2&3\\ 3&2&1\end{pmatrix}\\ \sigma _5=&\begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&3&1\end{pmatrix}\\ \sigma _6=&\begin{pmatrix}1&2&3\\ 3&1&2\end{pmatrix}\end{aligned}\]
とすると
\[ S_3=\{ \sigma _1,\sigma _2,\sigma _3,\sigma _4,\sigma _5,\sigma _6\} \]
であるから
\[ \begin{aligned}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=&\sum _{\sigma \in S_3}(\operatorname{sgn}\sigma )a_{1\sigma (1)}a_{2\sigma (2)}a_{3\sigma (3)}\\ =&(\operatorname{sgn}\sigma _1)a_{11}a_{22}a_{33}+(\operatorname{sgn}\sigma _2)a_{12}a_{21}a_{33}\\ &+(\operatorname{sgn}\sigma _3)a_{11}a_{23}a_{32}+(\operatorname{sgn}\sigma _4)a_{13}a_{22}a_{31}\\ &+(\operatorname{sgn}\sigma _5)a_{12}a_{23}a_{31}+(\operatorname{sgn}\sigma _6)a_{13}a_{21}a_{32}\\ =&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\ &-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}\end{aligned}\]
$2$次正方行列や$3$次正方行列の行列式の計算方法は，以下のように理解するとよい．これはサラスの方法(Sarrus’ rule, Sarrus’ scheme)と呼ばれている．
$2$次正方行列や$3$次正方行列の行列式は，｢左上から右下の方向にプラス｣，｢右上から左下の方向にマイナス｣を付けて計算する．
- $2$次正方行列の場合
\[ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}={\color{red}a_{11}a_{22}}-{\color{blue}a_{12}a_{21}}\]- 左上から右下の方向にプラス
\[ \begin{pmatrix}{\color{red}a_{11}}&a_{12}\\ a_{21}&{\color{red}a_{22}}\end{pmatrix}\] - 右上から左下の方向にマイナス
\[ \begin{pmatrix}a_{11}&{\color{blue}a_{12}}\\ {\color{blue}a_{21}}&a_{22}\end{pmatrix}\]
- 左上から右下の方向にプラス
- $3$次正方行列の場合
\[ \begin{aligned}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=&{\color{red}a_{11}a_{22}a_{33}}+{\color{orange}a_{12}a_{23}a_{31}}+{\color{pink}a_{13}a_{21}a_{32}}\\ &-{\color{blue}a_{12}a_{21}a_{33}}-{\color{cyan}a_{11}a_{23}a_{32}}-{\color{teal}a_{13}a_{22}a_{31}}\end{aligned}\]- 左上から右下の方向にプラス
\[ \begin{pmatrix}{\color{red}a_{11}}&{\color{orange}a_{12}}&{\color{pink}a_{13}}\\ {\color{pink}a_{21}}&{\color{red}a_{22}}&{\color{orange}a_{23}}\\ {\color{orange}a_{31}}&{\color{pink}a_{32}}&{\color{red}a_{33}}\end{pmatrix}\] - 右上から左下の方向にマイナス
\[ \begin{pmatrix}{\color{cyan}a_{11}}&{\color{blue}a_{12}}&{\color{teal}a_{13}}\\ {\color{blue}a_{21}}&{\color{teal}a_{22}}&{\color{cyan}a_{23}}\\ {\color{teal}a_{31}}&{\color{cyan}a_{32}}&{\color{blue}a_{33}}\end{pmatrix}\]
- 左上から右下の方向にプラス
ただし，$4$次以上の正方行列について，サラスの方法は適用できないため，注意が必要である．
一般に，$4$次以上の正方行列の行列式を定義に従って計算するのは非常に面倒である．
- \[ \begin{vmatrix}2&-3\\ -1&4\end{vmatrix}=2\cdot 4-(-1)\cdot (-3)=11\]
- \[ \begin{aligned}\begin{vmatrix}1&4&-7\\ 2&3&5\\ -4&-3&1\end{vmatrix}=&1\cdot 3\cdot 1+4\cdot 5\cdot (-4)+(-7)\cdot 2\cdot (-3)\\ &-1\cdot 5\cdot (-3)-4\cdot 2\cdot 1-(-7)\cdot 3\cdot (-4)\\ =&-112\end{aligned}\]
行列式の求め方については，以下の記事で詳しく解説している．