微分積分学自然数･整数･有理数
微分積分学の土台となる数列の極限を理解するために，まずは数の集合について整理しておく．厳密な理論体系は集合論や数学基礎論の記事に委ねることにし，ここでは最低限必要な事柄に絞って解説する．自然数自然数とは\のような数である，と高校までの数学で...
大学数学
微分積分学
微分積分学上限と下限の性質
順序集合には上限と下限が定義され，特に実数の重要な性質である連続性の理解に欠かせない．ここでは，上限と下限の性質について詳しく解説する．上限と下限上限と下限の定義や基本的な性質は次の記事で詳しくまとめている．ここではその概要を簡単にまとめて...
微分積分学実数の連続性
実数とは，ある17個の性質が成り立つ数の集合のことである．ここでは，そのうち実数の連続性に関わる性質について詳しく扱う．実数の公理日本の数学教育においては，算数で正の整数や$0$，正の有理数，円周率を教わり，中学数学で負の整数や負の有理数，...
微分積分学最大値と最小値･上界と下界･上限と下限
実数を土台とした微分積分では，実数を用いて定義される集合上の関数を考え，微分や積分を行うことが多い．実数の大小関係を用いて，こうした集合の範囲を捉えることは非常に重要であり，ここではそのために必要な6つの指標を取り扱う．最大値と最小値実数の...
微分積分学絶対値･三角不等式
微分や積分は極限を用いて定義され，極限は絶対値の不等式を用いて定義される．そのため，極限について考える場合は絶対値とその不等式評価が欠かせない．ここでは，絶対値の定義と，それに付随する重要な不等式である三角不等式について解説する．絶対値絶対...
微分積分学実数の大小関係
実数とは，ある17個の性質が成り立つ数の集合のことである．ここでは，そのうち大小関係に関わる6個の性質について詳しく扱う．実数の公理日本の数学教育においては，算数で正の整数や$0$，正の有理数，円周率を教わり，中学数学で負の整数や負の有理数...
微分積分学実数の四則演算
実数とは，ある17個の性質が成り立つ数の集合のことである．ここでは，そのうち四則演算に関わる10個の性質について詳しく扱う．実数の公理日本の数学教育においては，算数で正の整数や$0$，正の有理数，円周率を教わり，中学数学で負の整数や負の有理...
数学基礎論共通部分と和集合
共通部分とは，すべての集合に属する元全体の集合，和集合とは，いずれかの集合に属する元全体の集合のことである．2つの集合の共通部分･和集合の定義(素朴集合論)定義1集合$A,B$に対し，$A,B$の両方に属する元全体の集合を$A$と$B$の共...
数学基礎論部分集合･冪集合
部分集合とは，簡単に言えば｢集合の一部分からなる集合｣のことであり，冪集合は部分集合全体の集合である．部分集合定義1集合$A,B$について，$A$の任意の元が$B$の元であるとき，$A$を$B$の部分集合(subset)といい，$B$を$A...
数学基礎論集合
集合とは，｢ものの集まり｣を表す，ほとんどすべての数学の土台を築いている概念である．集合の定義(素朴集合論)定義1明確に定義された数学的対象の集まりを集合(set)といい，集合を構成する各数学的要素を，その集合の元(または元素，要素)(el...